1、 - 1 - 2017-2018 年度高二第一学期期中考试 数学试题（文科） 本试卷分第 I卷（选择题）、第 II 卷（非选择题）两部分。共 150分，考试时间 120分钟。 注意事项： 1、 答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名、班级和考号填写在答题卷上。 2、 必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卷各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答的答案无效。 第 卷（选择题 共 60分） 一、选择题（ 本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分 . 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合
2、题目要求的 ） 1 已知集合 ? ? ? ? ?33 0 , lo g 1A x Z x x B x x? ? ? ? ?，则 AB? （ ） A. ? ?0,1,2 B. ? ?1,2,3 C. ? ?1,2 D. ? ?2,3 2 如果直线 2 2 0ax y? ? ? 与直线 3 2 0xy? ? ? 垂直，那么 a 等于（ ） A. 32? B. 6? C. 3? D. 23 3在等差数列 ?na 中， 4816aa?，则 2 10aa?（ ） A.12 B.16 C.20 D.24 4 满足以下条件的三角形无解的是 （ ） A. 3, 4, 30b c B? ? ? B. 5, 8,
3、 30a b A? ? ? C. 6, 3 3, 60c b B? ? ? D. 9, 12, 60c b C? ? ? 5下列命题中，正确的是（ ） A 3sin cos2? ?B常数数列一定是等比数列 C若 10 a b? ，则 1ab? D 1 2x x? 6设实数 ,xy满足 不等式组 2 5 02 7 000xyxyxy? ? ? ? ? ,，则 34xy? 的最大值为（ ） - 2 - A.13 B.10.5 C.10 D.0 7要得到函数 ? ?cos 2 1yx?的图像 ,只要将函数 cos2yx? 的图像（ ） A. 向左平移 1个单位 B. 向右平移 1个单位 C. 向左平
4、移 12 个单位 D. 向右平移 12个单位 8已知公差不为 0的等差数列 ?na 满足 1 3 4,a a a ，成等比数列， nS 为数列 ?na 的前 n 项和，则 3253SSSS? 的值为 （ ） A -3 B -2 C 3 D 2 9在 ABC? 中 , a 、 b 、 c 分别是角 A 、 B 、 C 的对边，若 2 2 23 , 2 3b a b c c b c? ? ? ?,则 A? （ ） A 30 B 60 C.120 D 150 10已知三角形 ABC? 的三边长是公差为 2的等差数列，且最大角的正弦值 为 32 ，则这个三角形的周长是（ ） A 18 B 21 C 2
5、4 D 15 11、由不等式?0200xyyx 确定的平面区域记为1? ，不等式 ? ? ? 21yx yx 确定的平面区域记为 2? ，在 1? 中随机取一点，则该点恰好在 2? 内的概率为（ ） A 81 B 87 C 43 D 41 12 已知实数 ? ? ? ?,0lg , 0xexfxxx? ? ?若关于 x的方程 ? ? ? ?2 0f x f x t? ? ?有三个不同的实根，则 t的取值范围为（ ） A. ? ?,2? B. ? ?1,? C. ? ?2,1? D. ? ? ? ?, 2 1,? ? ? 第 II卷（非选择题 共 90 分） 二、填空题 （ 本大题共 4小题，每
6、小题 5分，共 20 分） 13 函数 ? ?2log 12 xy x? ?定义域是 _ - 3 - A D 14在 ABC? 中 , 0 434 5 , 2 2 , 3B c b? ? ?，那么 A? _. 15、 已知直线 l经过点 ? ?3,0 和点 ? ?3,4? ，若点（ ,xy）在直线 l上移动且在第一象限内，则xy 的最大值为 16若关于 x 的不等式 2 60x x m? ? ? 对任意 ? ?0,1x? 恒成立，则实数 m 的取值范围是_. 三、解答题 （本大题共 6小题，共 70 分 . 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17 （本小题满分 10分） 在等差数列 ?
7、na 中， 2 4 74, 15a a a? ? ? （ 1）求数列 ?na 的通项 na ； （ 2）若 12 . nn a a ab n? ? ?，求数列 ? ?23nb 的前 n 项和 . 18 （本小题满分 10分） 已知关于 x 的不等式 2 2 3 0kx x k? ? ?. （ 1）若不等式的解集为 ? ?| 3 1x x x? ? ? ?或 ，求 k 的值； （ 2）若不等式的解集为 ? ，求实数 k 的取值范围 . 19 （本小题满分 12分） 设 ABC? 的内角 A B C、 、 所对应的边分别为 a b c、 、 ， 且4cos .5a C b c? ， 3a? ， 2
8、BA? . （ 1）求 b 的值； （ 2）求 ABC? 的面积 . 20、 （本小题满分 12分） 如图，四面体 ABCD 中， O 、 E 分别是 BD 、 BC 的中点， - 4 - 2 , 2 .C A C B C D B D A B A D? ? ? ? ? ? （ I）求证 ： /OE 平面 ACD （ II）求证： AO? 平面 BCD ； 21、 （本小题满分 13分） 已知数列 ?na 的前 项和为 nS ，且 ? ?,3,2,122 ? naS nn 数列 ?nb 中， 11?b ，点 ? ?1, ?nn bbP在直线 02?yx 上 . （）求数列 ?na ,?nb 的通
9、项 na 和 nb ； （）设 nnn bac ? ，求数列 ?nc 的前 n项和 nT ，并求满足 167?nT 的最大正整数n. 22 （本小题满分 13 分） 某科研机构研发了某种高新科技产品，现已进入实验阶段 .已知实验的启动资金为 10 万元，从实验的第一天起连续实验，第 x 天的实验需投入实验费用为? ?280px? 元 ? ?*xN? ，实验 30 天共投 入实验费用 17700元 . （ 1）求 p 的值及平均每天耗资最少时实验的天数； （ 2）现有某知名企业对该项实验进行赞助，实验 x 天共赞助 ? ?2 50000qx? 元 ? ?0q? .为了保证产品质量，至少需进行 5
10、0天实验，若要求在平均每天实际耗资最小时结束实验，求 q 的取值范围 .（实际耗资 =启动资金 +试验费用 -赞助费） - 5 - 2017-2018期中考试答案 一、 选择题 1-12： CDBDC ACDAD BA 二、填空题 13、 ? ?1,2 ； 14、 15 或 75 512 12?或； 15、 32 ； 16、 5m ? 三、解答题 17、 (1)设等差数列 ?na 的公差为 d ，由已知得 1114 3 6 15ada d a d? ? ? ?解得 1 3ad? ? ?3 1 1nan? ? ? ? ?，即 2nan? (2) 因为 2nan? ，所以 ? ? ? ?12 3
11、2 5. 22n n n n na a a ? ? ? ? ? ? ?，于是 12 . 522nn a a a nb ? ? ? ?，令 2 43 nbnc ? ，则 13nnc ? ，显然数列 ?nc 是等比数列，且21 3c? ，公比 3q? ，所以数列 ? ?23nb 的前 n 项和 ? ? ? ?2 21 1 3 1 3 391 1 3 2nn nn cqS q ? ? ? ?. 18、 （ 1）由不等式的解集为 ? ?| 3 1x x x? ? ? ?或 ， 可知 0k? ， -3和 -1是一元二次方程 2 2 3 0kx x k? ? ?的两根，（ 2分） 所以 ( 3) ( 1
12、=32( 3) ( 1 = k? ? ? ? ? ?），解得 12k? . （ 4分） （ 2）因不等式 2 2 3 0kx x k? ? ?的解集为 ? ， 若 0k? ，则不等式 20x?，此时 0x? ，不合题意； （ 6分） 若 0k? ，则 04 4 3 0k kx? ? ? ? ?，解得 30 3k? （ 9分） 综上实数 k 的取值范围为 30,3? ? ? ?. （ 10 分） 19、 （ 1）根据边角转换得 - 6 - A C D O B E ? ?44s i n c o s s i n s i n s i n s i n55A C B C A C C? ? ? ? ? 4
13、3 4c o s , s in , s in c o s5 5 5A A B A? ? ? ? ? 4sin sinab bAB? ? ?由 （ 2） 3cos sin 5BA? ? ? ? ? ? 42s i n s i n s i n c o s c o s s i n 25C A B A B A B? ? ? ? ? ? 1 4 2sin2 2 5ABCS ab C? ? ? 20、 （本小题满分 12分） （ I）证明：连结 OE ， O 、 E 分别是 BD 、 BC 的中点 /OE CD ，又 OE? 平面 ACD ， CD? 平面 ACD ， /OE 平面 ACD 5分 （ II
14、） 证明：连结 OC , , .B O D O A B A D A O B D? ? ? , , .B O D O B C C D C O B D? ? ? 7分 在 AOC? 中，由已知可得 1, 3.AO CO? 而 2,AC? 2 2 2 ,AO CO AC? .O OC? 10分 ,BD OC O? AO? 平面 BCD 12 分 21、 （） 112 2 , 2 2 ,n n n nS a S a? ? ? ? *1 2 , )n n nS S a n n N? ?又 ， （， 12 2 ,n n na a a ? ? ? 0,na ? ? ?*1 2 , ( 2 , ) ,即 数
15、列 是 等 比 数 列 .n nna n n N aa ? ? ? ? 1 1 1 1 1, 2 2 , 2 即 ， a S a a a? ? ? ? 2nna?. 11, ) 2 0n n n nP b b x y b b? ?点 （ 在 直 线 - + 2 = 0 上 ， ? ?112 , 1 2 1 ,即 数 列 是 等 差 数 列 ， 又 ，n n n nb b b b b n? ? ? ? ? ? - 7 - （） (2 1)2 ,nncn? 231 1 2 2 1 2 3 2 5 2 ( 2 1 ) 2 ,nn n nT a b a b a b n? ? ? ? ? ? ? ? ?
16、 ? ? ? ? 2 3 12 1 2 3 2 ( 2 3 ) 2 ( 2 1 ) 2nnnT n n ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 因此： 2 3 11 2 2 2 2 2 2 2 ) ( 2 1 ) 2nnnTn ? ? ? ? ? ? ? ? ( ， 即： 3 4 1 11 2 ( 2 2 2 ( 2 1 ) 2nnn ? ? ? ? ? ? ? ? ?） 1(2 3)2 6,nnTn ? ? ? ? 1115161 6 7 , 2 3 ) 2 6 1 6 7 ,( 2 3 ) 2 1 6 14 ( 2 3 ) 2 ( 2 4 3 2 1 6 05 ( 2 3 ) 2 ( 2
17、5 3 2 4 4 81 6 7 4 1 3nnnnnnnnnnnn? ? ? ? ? ? ? ? ? ?即 ： （于 是又 由 于 当 时 ， ） ，当 时 ， ） ，故 满 足 条 件 T 的 最 大 正 整 数 为 分 22、 （ 1）依题意得，试验开始后，每天的试验费用构成等差数列，公差为 p ，首项为 280p? ， 试验 30天共花费试验费用为 ? ? 3 0 2 93 0 2 8 0 1 7 7 0 02pp? ? ? ?， 解得， 20p? 2 分 设试验 x 天，平均每天耗资为 y 元，则 ? ?11 0 0 0 0 0 3 0 0 2 0 1000002 1 0 2 9 0xxxyxxx? ? ? ? ? ? 4分 1000002 1 0 2 9 0 2 2 9 0x x? ? ?， 当且仅当 10000010x x? ，即 100x? 时取等号， 综上得， 20p? ，试验天数为 100 天 6分 （
