1、 - 1 - 2017-2018 学年高二上学期期中考试 数学试卷（理科） 注意：本试卷包含 、 两卷。第 卷为选择题，所有答案必须用 2B铅笔涂在答题卡中相应的位置。第 卷为非选择题，所有答案必须填在答题卷的相应位置。答案写在试卷上均无效，不予记分。 一、选择题（本大题共 12小题，共 60.0 分） 1. 已知全集 U=1， 2， 3， 4， 5， 6， 7， 8， 9， 10，集合 A=2， 3， 5， 9，集合 B=4， 5， 6，7， 9，则（ ?UA） （ ?UB） =（ ） A. 5， 9 B. 2， 3 C. 1， 8， 10 D. 4， 6， 7 2. 已知在 ABC中，角
2、A， B， C的对边是 a， b， c，若 A： B： C=1： 2： 3，则 a： b： c=（ ） A. 1： 2： 3 B. C. D. 3. 设 x 1，则 x+ 的最小值是（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 4. 设等差数列 an的前 n项和为 Sn，若 2a8=6+a11，则 S9的值等于（ ） A. 54 B. 45 C. 36 D. 27 5. 已知数列 an为等比数列，其前 n项和 Sn=3n-1+t，则 t的值为（ ） A. -1 B. -3 C. D. 1 6. 在 ABC中， a=x， b=2， B=45 ，若该三角形有两个解，则 x的取值范围是（ ） A.
3、 x 2 B. x 2 C. D. 7. 裴波那契数列的通项公式为 an= （ ） n-（ ） n，又称为 “ 比内公式 ” ，是用无理数表示有理数的一个范例，由此， a5=（ ） A. 3 B. 5 C. 8 D. 13 8. 在正项等比数列 an中， a1008?a1009= ，则 lga1+lga2+? +lga2016=（ ） A. 2015 B. 2016 C. -2015 D. -2016 9. 关于 x的不等式 ax-b 0的解集为（ - ， 1），则不等式 0的解集为（ ） A. （ -1， 2） B. （ - ， 1） （ 1， 2） - 2 - C. （ 1， 2） D.
4、（ - ， -1） （ -1， 2） 10. 在 ABC中，若 = ，则 ABC 的形状是（ ） A. 锐角三角形 B. 直角三角形 C. 等腰三角形 D. 等腰或直角三角形 11. 某单位安排甲、乙、丙三人在某月 1日至 12日值班，每人 4天 甲说：我在 1日和 3日都有值班； 乙说：我在 8日和 9日都有值班； 丙说：我们三人各自值班的日期之和相等据此可 判断丙必定值班的日期是（ ） A. 2日和 5日 B. 5日和 6日 C. 6日和 11 日 D. 2日和 11 日 12. 若关于 x的方程 x2+ax+a2-a-2=0的一根大于 1，另一根小于 1，则 a的取值范围为（ ） A.
5、0 a 1 B. a -1 C. -1 a 1 D. a 1 二、填空题（本大题共 4小题，共 20.0 分） 13. 已知数列 an的前 n项和为 Sn，且满足 a1=-1， an+1=2Sn，（ n N*），则 Sn= _ 14. 在约束条件 下，目标函数 z=|x-y+4|的最大值为 _ 15. 在 ABC中， C=90 ， CD 是斜边上的高，已知 CD=60， AD=25，求 BD= _ 16. 若 -1 a 0，则不等式 - 的最大值为 _ 三、解答题（本大题共 6小题，共 70.0 分） 17. 解不等式： ax2-2（ a+1） x+4 0 - 3 - 18. 已知数列 an满
6、足： an0 ， a1= ， an-an+1=2an?an+1（ n N*） （ 1）求证： 是等差数列，并求出 an； （ 2）证明： a1a2+a2a3+? +anan+1 19. 在 ABC中，角 A， B， C的对边分别为 a， b， c，已知 acosC-bcosC=ccosB-ccosA，且 C=120 （ 1）求角 A； （ 2）若 a=2，求 c 20. 已知数列 an的前 n项和为 Sn，且 an是 Sn与 2的等差中项，数列 bn中， b1=1，点 P（ bn，bn+1）在直线 x-y+2=0上 （ 1）求 a1和 a2的值； （ 2）求数列 an， bn的通项 an和 b
7、n； （ 3）设 cn=an?bn，求数列 cn的前 n项和 Tn - 4 - 21. 小张打算在 2001年初向建行贷款 50万元先购房，银行贷款的年利率为 4%，按复利计算，要求从贷款 开始到 2010年要分 10 年还清，每年年底等额归还且每年 1次，每年至少要还多少钱呢（保留两位小数）？（提示：（ 1+4%） 101.48 ） 22. 在 ABC中， a， b， c分别表示角 A， B， C对边的长，满足（ 2b-c） cosA=acosC （ 1）求角 A的大小； （ 2）已知 BC=6，点 D在 BC 边上， 若 AD 为 ABC的中线，且 b=2 ，求 AD长； 若 AD 为 A
8、BC的高，且 AD=3 ，求证： ABC为等边三角形 - 5 - 答案和解析 【答案】 1. C 2. C 3. B 4. A 5. C 6. C 7. B 8. D 9. C 10. D 11. C 12. C 13. -3n-1 14. 5 15. 144 16. -3-2 17. 解： ax2-2（ a+1） x+4 0， （ ax-2）（ x-2） 0， 1、 a=0 时，原不等式的解集为 x|x 2； 2、 a 0时，原不等式的解集为 x| x 2； 3、 0 a 1时，原不等式的解集为 x|x 或 x 2； 4、 a=1 时，原不等式的解集为： x|x2 ， x R； 5、 a 1
9、时，原不等式的解集为 x|x 或 x 2 18. 证明：（ 1） a1= ， an-an+1=2an?an+1可得 - =2，则 是首项为 3，公差为 2的等差数列， = +2（ n-1） =3+2（ n-1） =2n+1， 即有 an= ； （ 2）证明： a1a2+a2a3+? +anan+1= + +? + = （ - + - +? + - ） = （ - ） = - ? 19. 解：由正弦定理，得： sinAcosC-sinBcosC=sinCcosB-sinCcosA， 整理得： sinAcosC+sinCcosA=sinCcosB+sinBcosC，即 sin（ A+C） =sin
10、（ B+C）， sin B=sinA，又 C=120 ， - 6 - B=A=30 ， a=2， b=2， 由余弦定理得： a2+b2-2abcosC=4+4-222 （ - ） =12， c=2 20. 解：（ 1） an是 Sn与 2的等差中项 Sn=2an-2 a1=S1=2a1-2，解得 a1=2 a1+a2=S2=2a2-2，解得 a2=4 （ 2） Sn=2an-2， Sn-1=2an-1-2， 又 Sn-Sn-1=an， n2 an=2an-2an-1， an0 ， =2（ n2 ），即数列 an是等比数列， a1=2， an=2n 点 P（ bn， bn+1）在直线 x-y+2
11、=0上， bn-bn+1+2=0， bn+1-bn=2，即数列 bn是等差数列，又 b1=1， bn=2n-1， （ 3） cn=（ 2n-1） 2n Tn=a1b1+a2b2+? +anbn=12+32 2+52 3+? +（ 2n-1） 2n， 2 Tn=12 2+32 3+? +（ 2n-3） 2n+（ 2n-1） 2n+1 因此： -Tn=12+ （ 22 2+22 3+? +22 n） -（ 2n-1） 2n+1， 即： -Tn=12+ （ 23+24+? +2n+1） -（ 2n-1） 2n+1， Tn=（ 2n-3） 2n+1+6 21. 解： 50 万元 10年产生本息和与每年
12、存入 x万元的本息和相等，故有 购房款 50万元十年的本息和： 50（ 1+4%） 10? 4 分 每年存入 x万元的本息和： x?（ 1+4%） 9+x?（ 1+4%） 8+? +x? （ 8分） = ?x? （ 10分） 从而有 50（ 1+4%） 10= ?x 解得： x6.17 （万元） ? 12分 22. （本小题满分 16 分） 解：（ 1）由正弦定理得 （ 2sinB-sinC） cosA=sinAcosC ? （ 2分） - 7 - 所以 2sinBcosA=sinB，所以 cosA= ， ? （ 4分） 因为 0 A 180 ，所以 A=60 ? （ 5分） （不给 A的范围
13、扣 1分） （ 2） 由正弦定理得 = ， 又因为 BC=6， b= ， A=60 ，所以 sinB= ? （ 7分） 因为 0 B 180 ，所以 B=30 或 B=150 ? （ 8分） 因为 A+B 180 ，所以 B=30 ? （ 10分） 因为 D是 BC 的中点，所以 DC=3 由勾股定理知 AD= ? （ 11分） 因为 = ， 又因为 AD= ， BC=6， sinA= ，所以 AB AC=36? （ 13分） 因为 BC2=AB2+AC2-2ABACcosA，所以 AB2+AC2=72， ? （ 15 分） 所以 AB+AC=12，所以 AB=AC=6 所以 ABC为等边三角
14、形 ? （ 16 分） 本题第 3问若用两角和与差的正切公式也给分 【解析】 1. 解： 全集 U=1， 2， 3， 4， 5， 6， 7， 8， 9， 10，集合 A=2， 3， 5， 9，集合 B=4， 5，6， 7， 9， ?UA=1， 2， 4， 6， 7， 8， 10， ?UB=1， 2， 3， 8， 10， 则（ ?UA） （ ?UB） =1， 8， 10 故选： C 根据全集 U，以及 A与 B，求出 A与 B的补集，找出两补集的交集即可 此题考查了交、并、补集的混合运算，熟练掌握各自的定义是解本题的关键 2. 解：由题意： 角 A， B， C是 ABC的内角， B+A+C= -
15、 8 - A： B： C=1： 2： 3， A=30 ， B=60 ， C=90 根据正弦定理： sinA： sinB： sinC=a： b： c a： b： c=1： ： 2 故选 C 根据三角形内角和定理和正弦定理即可求解 本题考查三角形的正弦定理和内角和定理的运用，考查运算能力，属于基础题 3. 解： x 1， +1=5当且仅当 x=3时取等号 故选 B 利用基本不等式即可得出 熟练掌握基本不等式的性质是解题的关键 4. 解： 2 a8=a11+6 由等差数列的性质可得， 2a8=a11+a5=a11+6 从而可得， a5=6 由等差数列的前 n项和可得， 故选： A 由已知 2a8=a
16、11+6，结合等差数列的性质可得， 2a8=a11+a5=a11+6从而可得， a5=6，代入等差数列的前 n项和 ，然后利用利用等差数列的 性质及所求的 a5的值代入可求得答案 本题主要考查了等差数列的前 n项和的求解，关键是由已知 2a8=a11+6，结合等差数列的性质可得， 2a8=a11+a5=a11+6，求出 a5，在求和时利用等差数列的和时又一次利用了性质 a1+a9=2a5灵活利用等差数列的性质是解得本题的关键 5. 解： 等比数列 an的前 n项和 Sn=3n-1+t， n=1时， a1=S1=1+t； n2 时， an=Sn-Sn-1=3n-1+t-（ 3n-2+t） =23 n-2， n=1时上式成立， 1+ t=23 -1，解得 t=- 故选： C 等比数列 an的前 n项和 Sn=3n-1+t， n=1 时， a1=S1； n2 时， an=Sn-Sn-1， n=1 时上式成立，即可得出 - 9 - 本题考查了等比数列的通项公式与求和公式、数列递推关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题 6. 解：由 AC=b=2，要使三角形有两解，就是要使以 C为圆心，半径为 2的圆与 BA 有两个交点， 当 A=90 时，圆与 AB 相切； 当 A=45 时交于 B点，也就是只有一解， 45 A
