1、 - 1 - 2017 2018学年度高二上学期期中考试 数学（理）考试试题 第 卷（共 60 分） 一、 选择题：（本大题共 12 个小题 ,每小题 5分 ,共 60 分） . 1若 ,abc R? ， ab? ，则下列不等式恒成立的是 ( ) A. 11ab? B. 22ab? C. ac bc? D. 2211abcc?2为检验某校高一年级学生的身高情况，现采用先分层抽样后简单随机抽样的方法，抽取一个容量为 300 的样本，已知每个学生被抽取的概率为 0.25，且男女生的比例是 3:2 ，则该校高一年级男生的人数是（ ） A. 600 B. 1200 C. 720 D. 900 3在 A
2、BC? 中，内角 A ， B ， C 的对边分别为 a ， b ， c ，若 cos30sinaBb A?，则 B?（ ） A. 30? B. 45? C. 150? D. 135? 4已知 ，则不等式 的解集为（ ） A. B. C. D. ? ?5,1? 5各项都为正数的等比数列 ?na 中，首项 1 3a? ，前三项和为 21 ，则 345a a a?=（ ） A. 84 B. 52 C. 26 D. 13 6若实数 ,xy满足不等式组 20 4 0 2xyxyy? ? ? ? ?，则 2z x y?的最小值等于（ ） A. 1? B. 1C. 2? D. 2 7等差数列 1 2 3 9
3、, , .x x x x 的公差为 1，若以上述数据 1 2 3 9, , .x x x x 为样本，则此样本的方差为 A. 203 B. 103 C. 60 D. 30 8已知正数组成的等比数列 an，若 a1?a20=100，那么 a7+a14的最小值为（ ） A.20 B 25 C 30 D 50 9执行如图的程序框图，则输出 S 的值为（ ） - 2 - A. 13 B. 12? C. 2 D. 3? 10在 ABC? 中，内角 A、 b、 c 的对边长分别为 a、 b、 c.已知 222a c b? ，且sin 4 co s sinB A C? ，则 b=（ ） A 1 B 2 C
4、3 D 4 11要测量顶部不能到达的电视塔 AB 的高度 , 在 C 点测得塔顶 A 的仰角是 45 ,在 D 点测得塔顶 A 的仰角是 30 ,并测得水平面上的 1 2 0 , 4 0 mB C D C D? ? ?，则电视塔的高度为（ ） A. 10 2m B. 20m C. 20 3m D. 40m 12 已 知在 ? ?,1? 上 递减 的函 数 ? ? 2 21f x x tx? ? ?， 且对 任意的? ?12, 0, 1x x t?，总有 ? ? ? ?12 2f x f x?，则实数 t 的取值范围为（ ） A. 2, 2? B. 1, 2? C. ? ?2,3 D. ? ?1
5、,2 第 卷（共 90分） 二、填空题（每题 5分，满分 20 分，将答案填在答题纸上） 13高三（ 2）班现有 64名学生，随机编号为 0， 1， 2， ， 63，依编号顺序平均分成 8组，组号依次为 1， 2， 3， ， 8.现用系统抽样方法抽取一个容量为 8的样本，若在第一组中随机抽取的号码为 5，则在第 6组中抽取的号码为 _. 14设等差数列 ?na 的前 n 项和为 nS ，若 1 3a? ， 1 32ka? ?， 15kS ? ，则正整数k? _ 15设 表示不超过 的最大整数，如 ， ，则方程 的解集为_ 16设 ,abc是正实数，满足 b c a? ，则? ?2bcab?的最
6、大值为 _ 三、解答题 （本大题共 6小题，共 70分 .） - 3 - 17 （本小题满分 10 分）辽源市 市统计局就某地居民的月收入调查了 10000 人，并根据所得数据画了样本的频率分布直方图（每个分 组包括左端点，不包括右端点，如第一组表示收入在 ? ?1000,1500 ） . （ 1）求居民月收入在 ? ?3000,3500 的频率； （ 2）根据频率分布直方图算出样本数据的中位数； （ 3）为了分析居民的收入与年龄、职业等方面的关系，必须按月收入再从这 10000人中用分层抽样方法抽出 100人作进一步分析，问月收入在 ? ?2500,3000 的这段应抽多少人？ 18 （本小
7、题满分 12分） 设函数 . (1)若不等式 的解集为 ，求 的值； (2)若 ， ， ，求 的最小值 . 19 （本小题满分 12 分） 在 ABC? 中，角 A 、 B 、 C 的对边分别为 a 、 b 、 c ，且满足24 c o s c o s 2 4 c o s c o s 2CC C C? （ 1）求角 C 的大小； （ 2）若 1 22CA CB?，求 ABC? 面积的最大值 20 （本小题满分 12分） 已知数列 na 的各项均为正数，观察程序框图， 若 31?a ， 3?k 时，有 91?S （ 1）求数列 na 的通项； （ 2）令 nanb 2? ，求 mbbb ? ?2
8、1 的值 21 （本小题满分 12分） 已知 ? ? 22 c o s s in 3 s in c o s s in6f x x x x x x? ? ? ? ? ?， （ 1）求函数 ? ?y f x? 的单调递增区间； - 4 - （ 2）设 ABC? 的内角 A 满足 ? ? 2fA? ，而 3AB AC?，求证： 31BC?. 22 （本小题满分 12 分） 已知数列 ?na 、 ?nb ，其中， 1 12a?，数列 ?na 满足? ? ? ? 111nnn a n a ? ? ?,? ?*2,n n N?，数列 ?nb 满足 112, 2nnb b b? （ 1）求数列 ?na 、
9、?nb 的通项公式； （ 2）是否存在自然数 m ，使得对于任意 *, 2,n N n?有121 1 1 81 4nmb b b ? ? ? ? ?恒成立？若存在 ,求出 m 的最小值； （ 3）若数列 ?nc 满足 1 , ,nnnnnacbn? 为 奇 数为 偶 数，求数列 ?nc 的前 n 项和 nT - 5 - 辽源五中 2017 2018学年度高二上学期期中考试 数学（理）考试试题 参考答案 一、 选择题：（本大题共 12 个小题 ,每小题 5分 ,共 60 分） . 1 D2 C3 C4 B5 A6 C7 A8 A9 A10 D11 D12 B 二、 填空题（每题 5分，满分 20
10、分） 13 45 14 1715 ? ? ? ?1,0 2,3? 16 18 三、解答题 （本大题共 6小题，共 70分 .） 17：（本小题满分 10 分）（ )月收入在 的频率为 （ ) ， ， ， 所以，样本数据的中位数 （元 )； （ 3)居民月收入在 的频率为 ， 所以 人中月收入在 的人数为 （人 )， 再从 人用分层抽样方法抽出 人，则月收入在 的这段应抽取 人 18（本小题满分 12分） (1) ;(2) . 19（本小题满分 12分）（ 1） C 3? （ 2） 23（ 1）由 2 C4 c o s C c o s 2 C 4 c o s C c o s 2?得 ? ?24
11、c o s C 2 c o s C 1 2 c o s C 1 c o s C? ? ? ?解得 1cosC 2? ， 由 0C?，所以 C 3? （ 2 ）取 C? 中点 D ，则 1C C 2 D2? ? ? ? ? ?在 DC? 中， 2 2 2D C C D 2 C C D c o s C? ? ? ? ? ? ? （注：也可将 1C C 2 D2? ? ? ? ? ?两边平方） 即 22422a abb ? ? ?2224 2 2a b ab ab? ? ?，所以 8ab? ，当且仅当 4a? ， 2b? 时取等- 6 - 号此时C 13s in C24S a b a b? ? ?，
12、其最大值为 23 20（本小题满分 12分）（ 1） 21nan?；（ 2） 23283m? ? ： （ 1）由程序框图可知：13221111? kk aaaaaaS ?且 na 是等差数列，公差为 d ， 则有 )11(1111 ? ? kkkk aadaa?1 2 2 3 11 1 1 1 1 1 1()kkS d a a a a a a ? ? ? ? ? ? ?111 1 1()kd a a ?若 31?a ， k=3时，有 91?S ? 91)11(141 ? aad得 2?d 故 122)1(3 ? nna n （ 2） ? nanb 2? ， 12 ? nan b ? 122 ?
13、 nnb ? 12 mb b b? ? ? 3 5 2 12 2 2 m ? ? ? ? 3 2 1 22 2 214m? ? 23283m? ? 21（本小题满分 12分）（ 1） ? ? 2312 c o s s i n c o s 3 s i n c o s s i n22f x x x x x x x? ? ? ? ?222 3 s i n c o s c o s s i n 3 s i n 2 c o s 2 2 s i n 2 6x x x x x x x ? ? ? ? ? ? ? ? 由 2 2 22 6 2k x k? ? ? ? ? ? ?得 36k x k? ? ? ?，
14、 故所求单调递增区间为 ? ?,36k k k Z? ? ?（ 2）由 ? ? 2 s in 2 2 , 06f A A A? ? ? ? ? ?得 6? ， 3AB AC?，即 cos 3bc A? ， 2bc?， 又 ABC? 中， ? ?2 2 2 2 22 c o s 3 2 3 2 3a b c b c A b c b c b c b c b c? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?2 3 2 4 2 3? ? ? ? ?， 4 2 3 3 1BC? ? ? ? ? 22（本小题满分 12分） - 7 - 试题解析：（ 1）由 ? ? ? ? 111nnn a n a ? ?
15、 ?，即111nna nan? ? 又1 12a?， 所 以1 2 3 2 11 2 3 2 1n n nnn n na a a a aaaa a a a a? ? ? ? ? ? ? ?1 2 3 2 1 11 1 4 3 2n n nn n n? ? ? ? ? ? ? ? ? ?1 1nn? ? . 当1n? 时，上式成立， 因为 112, 2nnb b b?，所以 ?nb 是首项为 2，公比为 2的等比数列，故 2nnb? . (2) 由（ 1）知 2nnb? ，则2121 1 1 1 1 1 11 1 22 2 2 2nnnb b b? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?. 假设
16、存在自然数 m ，使得对于任意 *, 2,n N n?有121 1 1 81 4nmb b b ? ? ? ? ?恒成立，即182 24n m? 恒成立，由 8 24m? ? ，解得 16m? 所以存在自然数 m ，使得对于任意 *, 2,n N n?有121 1 1 81 4nmb b b ? ? ? ? ?恒成立，此时， m 的最小值为 16. （ 3）当 n 为奇数时， ? ?2 4 1131 1 13nnnT b b ba a n a ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?2 4 12 4 1 2 2 2 nn ? ? ? ? ? ? ? ? ? 124 1 42 1 12 2 1 4nnn? ? ? ? ? ? ? ? ?2 14 3 4 2143 nnn ? ? ?； 当 n 为偶数时， ? ? ? ?241 3 11 1 131 nT b b ba a n a ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?242 4 2 2 2 nn? ? ? ? ? ? ? ? 24 1 422 2 1 4nnn? ? ? ? ? ?2 24 2143 nnn? ? ?. - 8 - 因此? ? ?2124 3 4 2 1 ,43 24 2 1 ,43nnnnn nT nnn? ? ?为 奇 数为 偶 数
