1、 1 山东省济南市历城区 2015-2016学年高二数学上学期期中试题 理 本卷满分 150分，考试时间 120分钟 第 ? 卷（选择题 ， 共 50分 ） 一、选择题 ：本大题共 10小题，每小题 5分，共 50分 .在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 . 1.下列命题错误的是 （ ） A命题“若 m 0，则方程 x2+x m=0有实数根”的逆否命题为“若方程 x2+x m=0无实数根， 则 m 0” B“ x=1”是“ x2 3x+2=0”的充分不必要条件 C对于命题 p： ? x R，使得 x2+x+1 0，则 p? ： ? x R，均有 x2+x+1 0 D若 p q为
2、假命题，则 p， q均为假命题 2.在 ABC? 中，已知 , 2, 45a x b B? ? ?，如果三角形有两解，则 x 的取值范围是 ( ) A 2 2 2x? B. 22x? C 22x? D.02x? 3.已知 1, , , , 4abc?成等比数列，则实数 b 为 （ ） A 4 B 2? C 2? D 2 4.若实数 x， y满足 04yx ? ，则 22 yx? 的最小值是（ ） A 12 B 4 C 8 D 7 5.两个等差数列 ?na 和 ?nb ，其前 n 项和分别为 nS ， nT ，且 ，则 2 207 15aabb? ? ( ) A B C D 6.如果实数 x、
3、y满足条件 ，那么 2x y的最大值为（ ） A 2 B 1 C 2 D 3 7.设 nS 是等差数列 ?na 的前 n 项和，公 差 d 0，若 11 132S ? ， 3 24kaa?，则正整数 k 的值（ ） A 9 B 10 C 11 D 12 2 8.如图，为测得河对岸塔 AB 的高，先在河 岸上选一点 C，使在 C塔底 B的正东方向上，测得点 A的仰角为 60，再由点 C 沿北偏东 15方向走 10 米到位置 D，测得 BDC=45，则塔 AB 的高度为（ ） A 10米 B.10 2米 C. 10 3米 D.10 6米 9.定义 为 n个正数 12, ,. np p p 的“均倒
4、数”若已知 数列 ?na 的前 n 项的“均倒数”为 ，又 14nn ab ?，则 =（ ） A B C D 10.不等式 2220x axy y? ? ?对于任意 的 x 1， 2， y 1， 3恒成立，则实数 a 的取值范围是（ ） A.a B.a C.a D.a 第 ? ? 卷（非选择题 ， 共 100分） 二、填空题 ：本大题共 5小题，每小题 5分，共 25分 . 11.已知命题 p： x 1，命题 q： 1，则命题 p是命题 q的 _条件 . 12.在 ABC中， 01, 45 , 2ABCa B S ? ? ?， 则 b =_. 13.已知关于 x 的不等式 0ax b? 的解集
5、是（ 3， +），则关于 x 的不等式 02ax bx ? ? 的解集是 _ 14.已知数列 ?na 满足 *+1 = ( )nnna a n N?（ -1 ） ， 1 1a? ， nS 是数列 ?na 的前 n项和，则 2015S ? _ 15.下列命题： 设 ,ab是非零实数，若 ab? ，则 22ab ab? ；若 0ab?，则 11ab? ； 函数 y= 的最小值是 2；若 x、 y是正数，且 + =1，则 xy 有最小值 16； 已知两个正实数 x， y满足 + =1，则 x+y的最小值是 42. 其中正确命题的序号是 _ 三、解答题：本大题 共 6小 题，共 75分，请写在答题卡
6、指定区域内 . 3 16.给定两个命题， p ：对任意实数 x 都有 2 10ax ax? ? ? 恒成立； q ： 2 8 20 0aa? ? ?如果 pq? 为真命题 ， pq? 为假命题，求实数 a 的取值范围 17.锐角ABC?的内角,所对的边分别为abc，向量( , 3 )m a b?与(cos ,sin )n A B?平行 . （ 1） 求 角 A； （ 2） 若2a?，求 周长的取值范围 . 18.等比数列 ?na 的前 n 项和为 nS ，已知 1 3 2,S S S 成等差数列，且 133aa?. （ 1）求 ?na 的公比 q 及通项公式 na ； （ 2）n nnb a?
7、，求数列 ?nb 的前 n项和 nT 19.已知函数 ()fx= （ sin2x cos2x+ ） sin2（ x ）， x R （ 1）求函数 ()fx的单调 递增区间； （ 2）在 ABC中，角 A， B， C 的对边分别为,abc，且 ( ) 1fB? ， 2b? ，求 ABC的面积的最大值 20.徐州、苏州两地相距 500千米，一辆货车从徐州匀速行驶到苏州，规定速度不得超过 100千米 /小时已知货车每小时的运输成本（以元为单位）由可变部分和固定部分组成：可变部分与速度 v（千米 /时）的平方成正比，比例系数为 0.01；固定部分为 a 元（ a 0） （ 1）把全程运输成本 y（元）
8、表示为速度 v（千米 /时）的函数，并指出这个函数的定义域； （ 2）为了使全程运输成本最小，汽车应以多大速度行驶？ 4 21.设数列 ?na 的前 n 项和为 nS .已知 1 1a? , 212 1233n nS a n nn ? ? ? ?, *n?N . （ 1） 求 2a 的值 ； （ 2） 求数列 ?na 的通项公式 ； （ 3） 证明 :对一切正整数 n ,有121 1 1 74na a a? ? ? ?. 5 高二 上学期 数学期中考试卷答案 1-5： DABCD 6-10： BADCD 11. 必要不充分 12. 5 13. ? ?3,2? 14. -1 15. 16.解：命
9、题 p ： ax2+ax+1 0恒成立 当 a=0时，不等式 恒成立，满足题意 ） 当 a 0时， ，解得 0 a 4 0 a 4（ 3分） 命题 q ： a2+8a 20 0解得 10 a 2 （ 6分） pq? 为真命题， pq? 为假命题 ,pq有且只有一个为真， 当 p 真 q 假时 0410 2aaa? ? ? ? 或得 24a?（ 9分） 当 p 假 q 真时 0410 2aaa? ? ? 或得 10 0a? ? ? 所以 10 a 0或 2 a 4 （ 12 分） 17.解： (I)因为/mn，所以si n 3 cos 0B b A?由正弦定理，得si n si n 3 si n
10、 c o s 0A B B A?， 又sin 0B?，从而tan 3A?，由于0 ?， 所以3A ?（ 4分） (II)由正弦定理知 2 2 6s in s in s in 332b c aB C A? ? ? ?（ 6分） ? ?262 s in s in3l a b c B C? ? ? ? ? ?（ 8分） 又 23CB?，所以 2s i n s i n s i n s i n ( ) 3 s i n ( )36B C B B B? ? ? ? ? ? 因为ABC?为锐角三角形，所以 62B? ， （ 10分） 26 3 3B ? ? ?， ， 3sin sin 32BC ? ?，所以
11、? 6 + 2,3 2l ? ?. （ 12分） 18.解：（ 1）依题意有 ， 6 a1 0， 2q2+q=0， q 0， q= ， （ 2分 ） ，解得 a1=4 （ 4分） （ 2） bn= = ， （ 6分） +? +n（ 2） n 1， 2Tn= 1（ 2） +2（ 2） 2+3（ 2） 3+? +n（ 2） n， （ 8分） 两式相减，得： 3Tn= 1+（ 2） +（ 2） 2+? +（ 2） n 1 n（ 2） n = ， （ 10 分） = （ 12 分） 19.解：（ 1） f（ x） = （ cos2x） 1 cos（ 2x ） = sin2x cos2x=sin（ 2x
12、 ）， （ 3分） 令 +2k 2x +2k， k Z，得到 k x k + ， k Z 则函数 f（ x）的单调递增区间 k ， k + ， k Z（ 6分） （ 2）由 f（ B） =1，得到 sin（ 2B ） =1， 2B = ，即 B= ， （ 8分） 由余弦定理得： b2=a2+c2 2accosB，即 4=a2+c2 ac 2ac ac=ac，即 ac 4， （ 10 分） S ABC= acsinB= ac ，则 ABC的面积的最大值为 （ 12分） 20.解：（ 1）依题意知汽车从甲地匀速行驶到乙地所用时间为 ，全程运输成本为 y=a +0.01v2 = （ 4分） 故所求
13、函数及其定义域为 ， v（ 0， 100 （ 6分） （ 2）依题意知 a， v都为正数， 故有 ，当且仅当 ， 即 v=10 时，等号成立 . （ 8分） 7 若 100，即 0 a 100时，则当 v= 时，全程运输成本 y最小 （ 10 分） 若 100，即 a 100时， 则当 v（ 0， 100时，由对号函数的单调性知函数在 v（ 0， 100上单调递减，也即当 v=100时，全程运输成本 y最小 （ 12分） 综上知，为使全程运输成本 y最小，当 0 a 100时行驶速度应为 v= 千米 /时；当 a 100时行驶速度应为 v=100 千米 /时 （ 13分） 21.解： (1)
14、解 : 212 1233n nS a n nn ? ? ? ?,nN? . ? 当 1n? 时 , 1 1 2 2122 2 1 233a S a a? ? ? ? ? ? ? 又 1 1a? , 2 4a? （ 2分） (2)解 : 212 1233n nS a n nn ? ? ? ?,nN? . ? ? ? ? ?3211 12122 3 3 3n n n n n nS n a n n n n a? ? ? ? ? ? ? ?当 2n? 时 , ? ? ? ? ? ?1 1121 3nn n n nS n a? ? ? ? 由 , 得 ? ? ? ?112 2 1 1n n n nS S
15、 n a n a n n? ? ? ? ? ?（ 4分） 12 2 2n n na S S ? ? ? ? ?12 1 1n n na n a n a n n? ? ? ? ? ? 1 11nnaa? ? ? （ 2n? ）又 211aa?（ 6分） ?数列 nan?是以首项为 1 11a? ,公差为 1的等差数列 . ? ? ? ?2*1 1 1 ,n na n n a n n Nn? ? ? ? ? ? ? ? ?（ 8分） (3)证明 :由 (2)知 , 2*,na n n N? 当 1n? 时 ,1171 4a ? ,?原不等式成立 . （ 9分） 当 2n? 时 , ? ? ? ? ? ? ? ?22111 1 , 11n n n n n n? ? ? ? ? ? ? ? ?（ 10分） ? ? ? ? ? ?2 2 2121 1 1 1 1 1 1 1 1 111 2 1 3 2 4 2 1 1na a a n n n n n? ? ? ? ? ? ?
