1、 - 1 - 四川省成都市 2011-2012学年高二数学上学期期中试题 1、本试卷分第卷（选择题）和第卷（非选择题）两部分 2、本堂考试 120分钟，满分 150分 3、答题前，考生务必先将自己的姓名、学号填写在答卷上， 4、考试结束后，将答题卷交回 一、选择题（每题 5分，共 60分） 1 已知直线 a和两个平面 ? ， ，给出下列四个命题： 若 a ? ，则 ? 内的任何直线都 与 a平行；若 a ? ，则 ? 内的任何直线都与 a垂直； 若 ? ，则 内的任何直线都与 ? 平行；若 ? ，则 内的任何直线都与 ? 垂直 则其中 _是真命题 A B C D 2、已知 ,? 是平面， ,l
2、mn 是直线，则下列命题正确的是 （ ） A若 ? ， ? 则 ? ? B .若 ,m ? ? ?，则 m ? C若 ,l ml n?则 m n D.若 ,lm?则 l m 3如图是一个几何体的三视图，根据图中数据， 可得该几何体的表面积为 ( ) A 12 B 16 C 32 D 8 4、如图，已知四边形 ABCD 的直观图是直角梯形 A1B1C1D1， 且 A1B1 B1C1 2A1D1 2，则四边形 ABCD的 面积为 ( ) A 3 B 3 2 C 6 2 D 6 5、已知 P为 三角形 ABC所在平面外一个点， O为点 P在面 ABC上的射影，若 PA BC, PB AC， O为三角
3、形 ABC的 （ ） A 重心 B 垂心 C 内心 D 外心 6、 在平行六面体 ABCD A1B1C1D1中， M为 AC 与 BD 的交点，若11AB=a ，11AD=b ，1AA=c .则下列向量中与1BM相等的向量是（ ） A 1122a b c? ? ? B 1122a b c? C 1122a b c? D 1122a b c? ? ? 7.P是两条异面直线 ,lm外任意一点，则 ( ) A过点 P有且仅有一条直线与 ,lm都平行 B过点 P有且仅有一条直线与 ,lm都垂直 C过点 P有且仅有一条直线与 ,lm都相交 D过点 P 有且仅有一条直线与 ,lm都异面 8已知 a =(3
4、， 2， 3)， b =（ 1， x 1， 1），且 a 与 b 的夹角为钝角，则 x 的取值范围是（ ） A（ 2， + ） B（ 2， 53 ） （ 53 ， + ） 图 - 2 - C（ ， -2） D（ 53 ， + ） 9.若二面角 ? ?l 为 56? ，直线 m ? ，直线 n ? ，则，直线 m,n所成角的取值范围是 （ ） A (0, )2? B , 62? C , 32? D , 63? 10 ? ?l 为 60 ，点 , lHlG ? 线段 , lFHlEGFHEG ? ? HFGHEG ? ,直线 EF 与平面 ? 所成角正弦值为 （ ） A 12 B 24 C 64
5、D 34 11. 设 A， B， C， D是空间四个不同的点，在下列命题中， 不正确 的是 ( ) A若 AC与 BD共面，则 AD 与 BC 共面 B若 AC与 BD是异面直线，则 AD 与 BC是异面直线 C若 AB AC， DB DC，则 AD BC D若 AB AC， DB DC，则 AD BC 12. 与正方体 1 1 1 1ABCD ABC D? 的三条棱1 1 1,AB CC AD，所在直线的距离相等的点 A有且只有 1个 B.有且 只有 2个 C有且只有 3个 D.有无数个 二、填空题（每空 4分，共 16分） 13. 一个直角三角形的两条直角边长为 2和 4，沿斜边高线折成直
6、三面角，则两直角边所夹角的余弦值为 _ 14.如图是一个几何体的三视图，根据图中的数据（单位： cm），可知几何体的体积是 _ 15四边形 ABCD 为矩形 ， EFBCAB ,1,3 ? BC 且 GEBAE ,2? 为 BC 的中点， K 为ADF? 的外心。沿 EF 将矩形折成一个 0120 的二面角 BEFA ? ，则此时 KG 的长是_ 16. 如图，在正方体 1111 DCBAABCD ? 中，给出下列四个命题： 2 2 主视图 2 2 侧视图 2 1 1 俯视图 1B C B A D 1A 1D 1C - 3 - 点 P 在直线1BC上运动时，三 棱锥 PCDA 1? 的体积不变
7、； 点 P 在直线 1BC 上运动时，直线 AP 与平面1ACD所成角的 大小不变； 点 P 在直线 1BC 上运动时，二面角 CADP ? 1 的大小不变； 点 M 是平面 1111 DCBA 上到点 D 和 1C 距离相等的点，则点 M 的轨迹是过 1D 点的直线 . 其中真命题的 编号是 _.（写出所有真命题的编号） 三、解答题 17 (12 分 ) 3 如图，在三棱柱 1 1 1ABC ABC? 中，侧面 11ABBA ， 11ACCA 均为正方形， =90BAC ,点 D是棱 11BC 的中点 . （）求证： 1AD平面 11BBCC ； （）求证： 1/AB 平面 1ADC ； 1
8、8（ 12分） 在四棱锥 P ABCD中 ， 底面 ABCD是一直角梯形 ，aBCABBCADBAD ? ,/,90 ? ， 2 , ,A D a P A A B C D P D? 底 面与底面成 30 角 . （ 1）若 ,AE PD E? 为垂足，求证： BE PD? ； （ 2）在（ 1）的条件下，求异面直线 AE与 CD所成角的正切值； 19、（ 12 分） 如图，在多面体 ABCDEF 中，四边形 ABCD 是矩形， 在四边形 ABFE ， /AB EF ， 90EAB?， 4 , 2A B A D A E E F? ? ? ?， 平面 ABFE? 平面 ABCD 。 （ 1 ） 求
9、 证 ： AF? 平面 BCF ；w.w.w.k.s.5*u.c.#om （ 2）求点 D 到平面 BCF 的距离。 A B C C1 B1 A1 D - 4 - GFDECBAFEDCBA20、（ 12分） 在如图所示的一个几何体中，底面 ABCD 是平行四边形，且 AB=9， BC=8， EF平面 ABCD，且 EF=3， EA=ED=FB=FC=13， （ 1）求异面直线 AE与 CF所成角的余弦值； （ 2）求二面角 F-BC-A 的平面角的正切值； 21、 （ 12 分）已知梯形 ABCD 中， ADBC ， ABC =BAD = 2? ， AB=BC=2AD=4， E、 F 分别是
10、AB、 CD 上的点， EFBC ， AE = x， G是 BC的中点沿 EF将 梯形 ABCD翻折，使平面 AEFD 平面 EBCF （如图） . （ 1）当 x=2时，求证： BDEG ； （ 2）若以 F、 B、 C、 D 为 顶点的三棱锥的体积记为 ()fx，求 ()fx的最大值； （ 3）当 ()fx取得最大值时，求二面角 D-BF-C的余弦值 22.在平面内， ABCD 是 60BAD? ? ? 且 AB a? 的菱形， 1ADDA? 和 1CDDC? 都是正方形 。将两个正方形分别沿 AD， CD 折起，使 D? 与 D? 重合于点 D1。设直线 l 过点 B 且垂直于菱形 AB
11、CD所在的平面，点 E是直线 l上的一个动点，且与点 D1位于平面 ABCD同侧，设 ( 0)BE t t? （ 1）设二面角 E-AC-D1的大小为 ? ，若 32? ，求 t 的 取值范围； （ 2） 在线段 1DE上是否存在点 P ，使平面 11/PAC 平面 EAC ，若存在，求出 P 分 1DE所成的比 ? ；若不存在，请说明理由。 高二数学答案 一、选择题 - 5 - 1-5 CDABB 6-10 ABBCC 11-12 DD 18、 （ 1）如图建立空间直角坐标系， ,0)232(232210)(),232,2,0(),23,21,()332,0,0(),0,2,0(),0,()
12、,23,21,0(),0,0,(),0,0,0(?aaaaPDBEaaPDaaaBEaPaDaaCaaEaBA则PDBE? （ 2）由（ 1）知， 13( 0 , , ) , ( , , 0 )22A E a a C D a a? ? ? ,420)()23()21(002321)(0|c o s222222?aaaaaaaaCDAECDAECDAE?则所成角为与设异面直线 AE与 CD所成角的余统值为 24 19、 (2) - 6 - 20、（ 1） 119169 （ 2） 26 21、 （ 1） 平面 AEFD? 平面 EBCF ， ,2,/ ?AEFADEF? ?AEEF ， AE 平面
13、 EBCF ， AEEF ， AEBE ， 又 BEEF ，故可如图建立空间坐标系 E-xyz 2,2 ? EBEA? ，又 G? 为 BC的中点， BC=4， 2?BG 则 A（ 0， 0， 2）， B（ 2， 0， 0）， G（ 2， 2， 0），D（ 0， 2， 2）， E（ 0， 0， 0）， BD? （ 2， 2， 2）， EG? （ 2， 2， 0）， BDEG?（ 2， 2 ， 2） （ 2， 2， 0） 0， BD EG? 4分 （ 2） AD 面 BFC，所以 ()fx? BCFDV? =VA-BFC AES BCF ? ?31 xx)4(42131 ? 22 8 8( 2
14、)3 3 3x? ? ? ? ?， 即 2x? 时 ()fx有最大值为 83 （ 3）设平面 DBF的法向量为 1 ( , , )n x y z? ， AE=2 ， B（ 2，0， 0）， D（ 0， 2， 2）， F（ 0， 3， 0）， ( 2,3,0),BF ? BD? （ 2， 2， 2）， 则 1100n BDn BF? ?，即 ( , , ) ( 2 , 2 , 2 ) 0( , , ) ( 2 , 3, 0 ) 0x y zx y z ?， 2 2 2 02 3 0 x y zxy? ? ? ? ? ?取 3, 2, 1x y z? ? ?， 1 (3,2,1)n ? BCFAE
15、 面? ， ?面 BCF一个法向量为 2 (0,0,1)n ? ，则 cos= 12121414| | |nnnn? ， 由于所求二面角 D-BF-C的平面角为钝角，所以此二面角的余弦值为 1414 22. 解：设菱形 ABCD 的中心为 O，以 O 为原点，对角线 AC， BD 所在直线分别为 x， y 轴，建立空间直角坐标系如图 3。设 BE = t （ t 0）。 （ 1）133( , 0 , 0 ) , ( , 0 , 0 ) , ( 0 , , ) , ( 0 , , ) .2 2 2 2aaA a C a D a E t?x GFDECBAy z - 7 - 1 3( , , )
16、, ( 3 , 0 , 0 ) ,22 aA D a a A C a? ? ? ? ?设平面 1DAC 的法向量为 1 1 1 1( , , )n x y z? ，则 11 1 1 11 130 022030an A D a x y z an A C ax? ? ? ? ? ? ?，令 1 1z? 得。 1 (0,2, )n ? 3( , , ),22aAE a t? 设平面 EAC 的法向量为 2 2 2 2( , , )n x y z? ，则 由 平面 11/PAC 平面 EAC ，得 1 /AP 平面 EAC ， 120.AP n? ? ? 1 011tat ? ? ? ? ? ?，化简得： ta? (t ? a)。 即在线段 1DE上是存在点 P ，使平面 11/PAC 平面 EAC ， P 分 1DE所成的比 ta? (t ? a)。
