1、 - 1 - 2017 2018学年度第一学期期中测试 高二数学试题 注意事项 考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求 1、 本试卷共 4页，包含填空题 (第 1题第 14题 )、解答题 (第 15题第 20 题 )两部分。本试卷满分 160分，考试时间为 120分钟。考试结束后，请将答题纸上交。 2、 答题前，请务必将自己的姓名、考试证号、座位号用 0.5毫米黑色签字笔填写在试卷及答题纸上。 3、 作答时必须用 0.5 毫米黑色签字笔写在答题纸上的指定位置，在其它位置作答一律无效。 4、 如有作图需要，可用 2B铅笔作答，并请加黑加粗，描写清楚。 一、填空题 ： (本大题共 14 小
2、题，每小题 5分，共 70 分 ) 1. 命题“ ? 0x? R， 02x 0”的否定是 . 2. 经过点 ? ?2,1P 且与直线 0943 ? yx 垂直的直线方程是 . 3. 已知正四棱柱的底面边长为 2cm ，高为 1cm ，则正四棱柱的侧面积 是 2cm . 4. 圆心是（ -1， 0）且过原点的圆的方程是 . 5. 已知 m 为实数，直线 1 : 3 0l mx y? ? ?， 2 : (3 2 ) 2 0l m x m y? ? ? ?， 则“ 1m? ”是“ 12/ll”的 条件 .（请 在“充要、充分不必要、必要不充分、既不充分也不必要” 中选择一个） 6. 设直线 xy?
3、与圆 C： 0222 ? ayyx 相交于 A， B 两点，若 32?AB ，则圆 C 的半径为 . 7. 已知圆柱 M 的底面半径为 3，高为 2，圆锥 N 的底面直径和高相等，若圆柱 M 和圆锥 N的体积相同，则圆锥 N 的高为 . 8. 已知平面 ， ，直线 nm, ，给出下列命题： 若 ? ， ,mn?，则 mn? . 若 /m? ， / ,n m n? ? ，则 ? ， 若 /?， / / , / /mn?，则 |mn， 若 ,m n m n? ? ?，则 ? ， 其中是真命题的是 .（填写所有真命题的序号） - 2 - 9. 圆 221 : 4 4 5 0C x y x y? ?
4、? ? ?与圆 222 : 8 4 7 0C x y x y? ? ? ? ?的公切线有 条 . 10. 如图，长方体 1 1 1 1ABCD A B C D? 中， O 为 1BD 的中点，三棱锥 O ABD? 的体积为 1V ，四棱锥 11O ADDA? 的体积为 2V ，则 12VV 的值为 . 11. 已知命题 12: ?xp ，命题 0)4)(: ? axaxq ，若 qp是 成立的充分非必要 条件，则实数 a的取值范围是 . 12. 关于 x 的方程 22 2 ? kxxx 有两个不同的实数根，则 k 的范围为 . 13. 在平面直角坐标系 xOy 中，圆 C的方程为 2240x
5、y x? ? ? 若直线 )2( ? xky 上存在一点 P ，使过 P 所作的圆的两条切线相互垂直 ， 则实数 k 的 取值范围为 . 14. 已知圆 O： x2 y2 1，圆 M： (x a)2 (y a 4)2 1若圆 M上存在点 P，过点 P作圆 O的两条切线，切点为 A， B，使得 APB 60 ，则实数 a的取值范围为 . 二、解答题： (本大题共 90 分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 ) 15 (本小题满分 14分 ) 设命题 p： 032, 2 ? aaRa ；命题 q：不等式 x2 ax 10? x R 恒成立，若 p且 q为假， p或 q为真，求 a的取值范围
6、16 (本小题满分 14分 ) 如图，在三棱锥 ABCP? 中， D ， E， F分别为棱 ABACPC , 的中点 .已知 ACPA? , ,6?PA .5,8 ? DFBC 求证 : (1)直线 /PA 平面 DEF ； (2) 平面 ?BDE 平面 ABC. - 3 - 17.(本小题满分 14分 ) 矩形 ABCD 的两条对角线相交于点 M(2， 0),AB 边所在直线的方程为 ,063 ? yx 点? ?1,1?T 在 AD 边所在直线上 . (1)求 AD 边所在的直线方程及 A的坐标 . （ 2）求矩形 ABCD 外接圆方程 . 18.(本小题满分 16分 ) 在三棱锥 P- A
7、BC中，已知平面 PBC? 平面 ABC (1)若 AB? BC， CP? PB，求证： CP? PA： (2)若过点 A作直线 ?l 平面 ABC，求证： l /平面 PBC 19. (本小题满分 16分 ) 已知圆 O: 122 ?yx 和 A(4， 2) (1)过点 A 向圆 O 引 切 线 l ,求切线 l的 方 程 . - 4 - (2)设 P为圆 A： 9)2-()4-( 22 ? yx 上的任意一点，过点 P向圆 O引切线，切点为 B. 试探究：平面内是否存在一定点 C,使得 PCPB 为定值，若存在，求出此定值，若不存在，说明理由 . 20. (本小题满分 16分 ) 已知圆
8、M的方程为 062222 ? yxyx ，以坐标原点为圆心的圆 N与圆 M相切 . (1)求圆 N的方程； (2)圆 N与 x轴交于 E， F两点，圆 N内的动点 D 使得 DE， DO， DF成等比数列，求 DEDF?的取值范围； (3)过点 M作两条直线分别与 圆 N相交于 A， B两点，且直线 MA和直线 MB的倾斜角互补，试判断直线 MN和 AB是否平行 ?并说明理由 . - 5 - 2017 2018 学年度第一学期期中测试 高二数学试题参考答案 一、 填空 1、 02, 00 ? xRx 2、 0234 ? yx 3、 8 4、 ? ? 11 22 ? yx 5、 充分不必要 6、
9、 6 7、 6 8、 9、 3 10、 21 11、 ? ?5,3 12、 ? ? 43,113、 ? ?1,1- 14、 ? ? 222,222 二、解答 15. 解：由题知 qp, 一真一假。? 1分 由 p真得 （ a-3） (a+1)0, a3 或 a3 ? 9分 P假 q真时? ? 22 31 aa 即 21 ? a ? 13分 综上知 a范围是 ? ? ? ? ? ? ,32,12, . ? 14分 16 证明： (1)因为 D， E分别为棱 PC， AC 的中点，所以 DE PA ? ? .2 分 又因为 PA ? 平面 DEF， 平面 DEF，所以直线 PA 平面 DEF ?
10、? 6分 (2)因为 D， E， F分别为棱 PC， AC， AB的中点， PA = 6， BC = 8， 所以 DE PA， 321 ? PADE 421 ? BCEF 又因为 DF = 5，故 DF2 = DE2 + EF2，所以 DEF = 90 ，即 DE丄 EF ? 8分 又 PA AC， DE PA，所以 DE AC ? .10分 因为 AC EF = E ， 平面 ABC， 平面 ABC，所以 DE 平面 ABC ?1 3分 - 6 - 又 平面 BDE，所以平面 BDE 平面 ABC ? 14分 17. 解：（）因为 AB边所在直线的方程为 x-3y-6=0， 且 AD与 AB
11、垂直，所以直线 AD的斜率为 -3，? 2分 又因为点 T（ -1， 1）在直线 AD上， 所以 AD 边所在的直线的方程为 )1(31 ? xy ，即 023 ? yx ? 5分 （）由? ? ? 023 063yx yx，解得点 A 的坐标为（ 0， -2），? 7分 因为矩形 ABCD两条对角线的交点为 M（ 2， 0）， 所以 M为矩形 ABCD外接圆的圆心， ? 10 分 又 22)20()02( 22 ?AM ，? 12分 从 而矩形 ABCD外接圆的方程为 8)2( 22 ? yx .? 14分 18 解： （ 1） 因为平面 PBC 平面 ABC ，平面 PBC 平面 ABC
12、BC? ， AB? 平 面 ABC ， AB BC ，所以 AB 平面 PBC ? 2分 因为 CP? 平面 PBC ， 所以 CP AB . ? 4分 又因为 CP PB ，且 PB AB B? ， ,ABPB? 平面 PAB , 所以 CP 平面 PAB ，? ? 6分 又因为 PA? 平面 PAB ，所以 CP PA ? 7分 （ 2） 在平 面 PBC 内 过点 P 作 PD BC ，垂足为 D ? 8分 因为 平 面 PBC 平 面 ABC ，又 平 面 PBC 平 面 ABC BC， PD? 平 面 PBC ，所以 PD 平 面 ABC ? 12分 又 l 平 面 ABC ， 所以
13、 l /PD ? 14分 又 l? 平 面 PBC ， PD? 平 面 PBC ， l /平 面 PBC ? 16分 19. - 7 - 解： (1)设切线 l 方程为 )4(2 ? xky ，易得 11|24| 2 ?kk，解得 5198?k ? 4分 切 线 l 方程为 2)4(5 198y ? x? 6分 （ 2）假设存在这样的点 ),( baC ，点 P 的坐标为 ),( yx ，相应的定值为 ? ， 根据题意可得 122 ? yxPB ，? ? 22 22 )()( 1 byax yx? 8分 即 )22(1 2222222 babyaxyxyx ? ? （ *）， 又点 P 在圆上
14、 9)2()4( 22 ? yx ，即 114822 ? yxyx ，代入（ *）式得： ? ?)11()24()28(1248 222 ? baybxayx ? 11分 若系数对应相等，则等式恒成立，?12)11(4)24(8)28(22222baba?， 解得 310,51,522,1,2 ? ? baba 或，? 14 分 可以找到这样的定点 R ，使得 PCPB 为定值 . 如点 R 的坐标为 )1,2( 时，比值为 2 ； 点 C 的坐标为 )51,52( 时，比值为 310 ? 16分 20. 解： 圆 M的方程可化为 (x-1)2+(y-1)2=8，故圆心 M(1， 1)，半径
15、R= 22 . (1) 圆 N的圆心为 (0， 0)，因为 MN= 2 22 ，所以点 N在圆 M内， 故圆 N只能内切于圆 M.? 2分 设其半径为 r，因为圆 N内切于圆 M，所以有 MN=R-r，即 2 = r-22 ，解得 r= 2 ， 所以圆 N的方程为 222 ?yx ? 4分 (2) 由题意可知 E(- 2 ， 0)， F( 2 ， 0).设 D(x， y)，由 DE， DO， DF成等比数列， 得 DO2=DEDF ， 即 222222 )2()2( yxyxyx ? ? 6分 整理得 122 ?yx .而 ),2( yxDE ? ， ),2( yxDF ? , ),2)(,2
16、( yxyxDFDE ? = 222 ? yx = 12 2?y ? 8- 8 - 分 由于点 D在圆 N内 ， 故有? ? ? 122222yx yx由此得 212?y ， 所以 )0,1? DFDE ? 10分 (3) 因为直线 MA和直线 MB的倾斜角互补，故直线 MA和直线 MB的斜率存在且互为相反数， 设直线 MA的斜率为 k，则直线 MB的斜率为 -k.故直线 MA的方程为 )1(1 ? xky ， 直线 MB的方程为 )1(1 ? xky 。 ? 11分 由? ? ? )1(1 222 xky yx 得 02)1()1(2)k1 222 ? kxkkx（ 因为点 M在圆 N上，故其横坐标 x=1一定是该方程的解，可得221 1k2- kkxA ? ?， ? 13分 同理可得221 1k2kkxB ? ?,? 14分 所以ABABABABAB xx xkxkxx yy ? ? )1()1(k =ABABxx xxkk ? ? )(2 =1= MNk 所以直线 AB和 MN一定
