1、A AB B 如图，在春陵江岸的一侧有相隔一段距如图，在春陵江岸的一侧有相隔一段距离的离的A A、B B两个仓库，要在江岸边建造一个码两个仓库，要在江岸边建造一个码头，使它到头，使它到A A、B B两个仓库的距离相等，码两个仓库的距离相等，码头应建在什么位置头应建在什么位置?春陵江春陵江1.1.结合具体例子认识什么是线段的结合具体例子认识什么是线段的垂直垂直 平分平分线，理解线段的垂直平分线所满线，理解线段的垂直平分线所满 足的两个条件足的两个条件.2.2.探索掌握线段探索掌握线段垂直平分垂直平分线的性质定理及线的性质定理及 其逆定理其逆定理.3.3.能应用线段能应用线段垂直平分垂直平分线的性
2、质定理找出线的性质定理找出 线段相等线段相等.：如图，人字形屋顶的框架中，点如图，人字形屋顶的框架中，点A 与点与点A关于线段关于线段CD 所在的直线所在的直线l 对称对称，你发现线段，你发现线段CD 所在的所在的直线直线l 与与线段线段AA 有哪些关系？有哪些关系？已知点已知点A与点与点 关于直线关于直线l 对称对称lAAD21(A)现在把人字形屋顶框架图进行简化得到如下图：现在把人字形屋顶框架图进行简化得到如下图：lAA：l 垂直垂直AAAD=A D：l 平分平分AA如果沿直线如果沿直线l折叠，折叠，则点则点A与点与点 重合重合，所以所以AD=AD，1=2=90，即直线即直线l 既既垂直垂
3、直线段线段AA，又，又平分平分线段线段AA直线直线l 就叫做就叫做线段线段AA 的的垂直平分线垂直平分线 _且且_一条线段的一条线段的直线直线叫作这条线叫作这条线段的段的垂直平分线垂直平分线.想一想：想一想：线段是轴对称图形吗？线段是轴对称图形吗？它的对称轴是什么？它的对称轴是什么？lABC（中垂线）（中垂线）由上得到由上得到线段的垂直平分线线段的垂直平分线的定义：的定义：垂直垂直平分平分用符号语言表示：如图用符号语言表示：如图_，_直线直线l 是是线段线段AA 的的垂直平分线垂直平分线线段是轴对称图形，线段是轴对称图形，线段的垂直平分线是它的对称轴线段的垂直平分线是它的对称轴.l AB AC
4、=BCNMP PO OAB B（1 1）在纸上画一条线段）在纸上画一条线段ABAB，再画出线段，再画出线段ABAB的的 垂直平分线垂直平分线 MNMN；（2 2）在线段）在线段ABAB的垂直平分线的垂直平分线MNMN上上 任取一点任取一点P,P,连接连接PAPA，PBPB，（3 3）测量）测量PAPA、PBPB的长度，的长度，你有什么发现？你有什么发现？PA=PB线段线段垂直平分线上的点垂直平分线上的点到线段两端的到线段两端的距离距离相等相等（4 4）你能用语言表达这个结论吗？）你能用语言表达这个结论吗？NMP PO OAB B（5 5）理由：）理由：线段线段垂直平分线上的点垂直平分线上的点到
5、线段两端的到线段两端的距离相等距离相等直线直线MN是线段是线段AB 的垂直平分线，的垂直平分线，沿沿直线直线MN折叠，点折叠，点A与点与点B重合重合.点点A与点与点B关于直线关于直线MN对称对称从而线段从而线段PA与线段与线段PB重合重合于是于是PA=PB.由此得出由此得出线段垂直平分线的性质定理：线段垂直平分线的性质定理：条件：点在线段的条件：点在线段的垂直平分线上垂直平分线上结论：这个结论：这个点点到线段两端的到线段两端的距离相等距离相等A AB BP PO O如图，在春陵江岸的一侧有相隔一段距离的如图，在春陵江岸的一侧有相隔一段距离的A A、B B两个仓库，要在两个仓库，要在江岸边江岸边
6、建造一个码头，使建造一个码头，使它到它到A A、B B两个仓库的距离相等两个仓库的距离相等，码头应建在什么位置，码头应建在什么位置?春陵江春陵江1.1.解答前面所提出的问题：解答前面所提出的问题：分析：分析：（1 1）所建造的码头要满足几个条件？）所建造的码头要满足几个条件？在江岸边在江岸边到到A A、B B两个端点两个端点 的距离相等的距离相等（2 2）码头位置）码头位置应为应为江岸边江岸边与与线段线段ABAB的垂直的垂直平分线平分线的交点的交点.答：码头应答：码头应 建在点建在点P P 的位置的位置2.2.如图，如图，ABCABC中，中，AB=9cm,ACAB=9cm,AC15cm15cm
7、，BCBC的的 垂直平分线垂直平分线DEDE交交ACAC于点于点D D，交，交BCBC于点于点E E，求求ABDABD的周长的周长A AB BE ED DC C解解:DEDE是是BCBC的垂直平分线的垂直平分线 BD=BD=DCDC ABDABD的周长的周长 =AB+BD+AD =AB+BD+AD=AB+=AB+DCDC+AD+AD=AB+AC=AB+AC=9+15=24(cm)=9+15=24(cm)方法小结：方法小结：应用线段的垂直平分线性质定理可帮应用线段的垂直平分线性质定理可帮助我们找到线段相等关系，即线段助我们找到线段相等关系，即线段垂直平分线上垂直平分线上的点的点到这条线段两个端点
8、的到这条线段两个端点的距离相等距离相等(线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等)B BA AD DE EC C3.3.如图，如图，ABCABC中，中，ABABACAC，AA3636，ACAC的的 垂直平分线交垂直平分线交ABAB于于E E，D D为垂足，连接为垂足，连接EC.EC.(1)(1)求求ECDECD的度数；的度数；(2)(2)若若CECE5 5，求，求BCBC长长解解(1)DEDE是是ACAC的垂直平分线的垂直平分线 EA EA=ECEC ECD ECDAA3636（等边对等角）（等边对等角）(2)AB=AC AAB=AC A3636 B B
9、ACBACB（等边对等角）（等边对等角）2_1800-36072720 0又又BECBECA+ECA=72A+ECA=72 B BBECBEC BC BC=ECEC=5 5（等角对等边）（等角对等边）(线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等)（1 1）如图，在）如图，在ABC中，中，AB的垂直平分线的垂直平分线 分别交分别交AB，BC于点于点D，E，B=30，BAC=80，求求CAE的度数的度数.解解 DEDE是是ABAB的垂直平分线的垂直平分线 AE AE=BEBE BAE BAEBB3030又又CAE+BAE=BAC CAE+BAE=BAC CAE
10、 CAEBAC-BAEBAC-BAE80-30-305 50C CA AB B E ED D（2 2）如图，在）如图，在ABCABC中，中，ABAB ACAC，B BC C边上的边上的 垂直平分线垂直平分线DEDE交交BCBC于点于点E E，ACAC=15cm=15cm，ABDABD的周长是的周长是24cm24cm，求，求ABAB的长的长.如图，在如图，在ABC中，中，BC=8cm，AB的垂直平的垂直平分线交分线交AB于点于点D，交边，交边AC于点于点E，BCE的周的周长等于长等于18cm，则，则AC的长等于（的长等于（）.A.6cm B.8cm C.10cm D.12cm中考中考 试题试题解
11、析解析CDE是是AB的垂直平分线，的垂直平分线，AE=BE(线段垂直平分线上的线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等点到线段两端的距离相等).).又又在在BCE中，中，BE+CE+BC=18cm，BC=8cm，BE+CE=10cm.AC=AE+CE=BE+CE=10cm.故应选择故应选择C.课本课本72页页A组组2，31._且且_一条线段的直线叫作这条一条线段的直线叫作这条 线段的垂直平分线线段的垂直平分线.垂直垂直平分平分3.3.如图，直线如图，直线l 是是线段线段AB的垂直平分线的垂直平分线,则则PC_ABPC_AB，AC=_AC=_，PA=_.PA=_.BC2.2.线段垂直平分线上的点
12、线段垂直平分线上的点 _ _到这条线段两个端点的距离相等到这条线段两个端点的距离相等Al B CPPB4._4._点确定一条直线点确定一条直线.两两C CA AB BD D如图，现在知道点如图，现在知道点C C到线段到线段AB 两端的距离两端的距离相等，即相等，即CA=CBCA=CB，点，点D D到线段到线段AB 两端的距两端的距离也相等，即离也相等，即DA=DBDA=DB，那么根据上面条件你，那么根据上面条件你能画出线段能画出线段ABAB的垂直平分线吗？的垂直平分线吗？1.1.理解掌握线段的垂直平分线的性质定理理解掌握线段的垂直平分线的性质定理 的逆定理，并会应用这个逆定理的逆定理，并会应用
13、这个逆定理判断一判断一 个点是否在线段的垂直平分线上个点是否在线段的垂直平分线上.2.2.能够运用能够运用直尺和圆规直尺和圆规作出一条线段的垂作出一条线段的垂 直平分线直平分线.1.1.想一想：想一想：我们知道线段垂直平分线上的点到线段两端我们知道线段垂直平分线上的点到线段两端 的距离相等，反过来，它的逆命题怎么说？的距离相等，反过来，它的逆命题怎么说？(1)当点当点P在线段在线段AB上时，上时，2.2.证明：证明：已知一已知一点点P到线段到线段AB 两端的两端的 距离距离PA与与PB相等相等，那么，那么点点P在在 线段线段AB的垂直平分线上吗？的垂直平分线上吗？到线段两端距离相等的点在线段的
14、垂直到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上平分线上.lABP显然此时点显然此时点P在线段在线段AB的垂直平分线上的垂直平分线上.因为因为PA=PB，所以点所以点P为线段为线段AB的中点，的中点，（2）当点当点P在线段在线段AB外时外时,因此直线因此直线PC是线段是线段AB的垂直平分线，的垂直平分线，此时点此时点P也在线段也在线段AB的垂直平分线上的垂直平分线上.PA=PB点点P在线段在线段AB的垂直平分线上的垂直平分线上由此得到线段垂直平分线的性质定理的逆定理：由此得到线段垂直平分线的性质定理的逆定理：因为因为PA=PB，所以所以PAB是等腰三角形是等腰三角形.ABP过顶点过顶点P 作作P
15、CAB，垂足为点，垂足为点C则则AC=BC.（三线合一）（三线合一）C到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上.几何语言：几何语言：条件：条件：点点到线段两端的到线段两端的距离相等距离相等结论：这个点在线段的结论：这个点在线段的垂直平分线上垂直平分线上C CA AB BD D如图，现在知道点如图，现在知道点C C到线段到线段AB 两端的距离相等，两端的距离相等，即即CA=CBCA=CB，点，点D D到线段到线段AB 两端的距离也相等，两端的距离也相等，即即DA=DBDA=DB，那么根据上面条件你能画出线段，那么根据上面条件你能画出线段ABAB的的垂直
16、平分线吗？垂直平分线吗？1.1.解答前面所提出的问题：解答前面所提出的问题：由由CA=CBCA=CB可知点可知点C C在什么在什么 线上？根据是什么？线上？根据是什么？分析：分析：点点C 在线段在线段AB的垂直平分线上的垂直平分线上由由DA=DBDA=DB可知点可知点D D在什么线上？根据是什么？在什么线上？根据是什么？点点D D也在线段也在线段AB的垂直平分线上的垂直平分线上由上可见直线由上可见直线CDCD是是线段线段AB的垂直平分线吗？的垂直平分线吗？2.2.已知：如图，在已知：如图，在ABC中，中，AB，BC的垂直平的垂直平 分线相交于点分线相交于点O，连接，连接OA，OB，OC.求证：
17、点求证：点O 在在AC的垂直平分线上的垂直平分线上.分析：分析：根据根据“到线段两端距离相等的点在线段的到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上垂直平分线上”可知需要证明可知需要证明_._.OA=OC证明证明点点O在线段在线段AB的垂直平分线上的垂直平分线上OA=OB同理同理OB=OC OA=OC 点点O 在在AC的垂直平分线上的垂直平分线上小结：判断证明一个点在线段的垂直平分线上，小结：判断证明一个点在线段的垂直平分线上，需要需要找出找出这个点到线段两端的距离相等这个点到线段两端的距离相等1.1.课本课本7070页练习页练习2 2 已知：已知：如图，点如图，点C，D是线段是线段AB外的两点
18、，且外的两点，且 AC=BC，AD=BD，AB与与CD相交于点相交于点O.求证：求证：AO=BO.证明证明AC=BCAC=BC点点C 在线段在线段AB的垂直平分线上的垂直平分线上AD=BDAD=BD点点D D也在线段也在线段AB的垂直平分线上的垂直平分线上CD为线段为线段AB的垂直平分线的垂直平分线又又AB与与CD相交于点相交于点OAO=BOC CA AB B E ED D2.2.如图，在如图，在ABCABC中，中，A AC=15cm,AB=10cm,C=15cm,AB=10cm,E E是是B BC C 的中点的中点，若，若ABDABD的周长是的周长是25cm25cm，求证：求证：DEDE是线
19、段是线段BCBC的垂直平分线的垂直平分线分析：分析：由于由于E E是是B BC C的中点，根据线段垂直平分线的中点，根据线段垂直平分线的定义需要证明的定义需要证明_DEBC证明证明ABDABD的周长是的周长是25cm25cmAB+BD+AD=25cmBD+AD=15cm又又CD+AD=AB=15cmBD+AD=CD+ADBD=CD即即BDCBDC是等腰三角形是等腰三角形E E是是B BC C的中点的中点DEBC（三线合一）（三线合一）DEDE是线段是线段BCBC的垂直平分线的垂直平分线做一做做一做如图，已知线段如图，已知线段AB，作线段，作线段AB的垂直平分线的垂直平分线分析：分析：根据根据“
20、到线段两端距离相等的点在线段的垂直到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上平分线上”，要作线段，要作线段AB的垂直平分线，关键的垂直平分线，关键是找出到线段是找出到线段AB两端距离相等的两点两端距离相等的两点.1.1.作线段的中点作线段的中点.因为线段因为线段AB的垂直平分线的垂直平分线CD与线段与线段AB的交点的交点就是线段就是线段AB的中点，所以可以用这种方法作出的中点，所以可以用这种方法作出线段的中点线段的中点.2.2.过一点作已知直线的垂线过一点作已知直线的垂线由于两点确定一条直线，由于两点确定一条直线，因此我们可以通过因此我们可以通过在已知直线上作线段的垂直平分线来找出垂线在已知直线上作线段的垂直平分线来找出垂线上的另一点，从而确定已知直线的垂线上的另一点，从而确定已知直线的垂线.练习练习用尺规完成下列作图用尺规完成下列作图（只保留作图痕迹，不要求写出作法只保留作图痕迹，不要求写出作法）.课本课本7272页练习页练习1,21,2课本课本73页页4，7
