1、 函数的极值点偏移问题，其实是导数应用问题，呈现的形式往往非常简洁，涉及函数的双零点，是一个多 元数学问题，不管待证的是两个变量的不等式，还是导函数的值的不等式，解题的策略都是把双变量的等 式或不等式转化为一元变量问题求解，途径都是构造一元函数. 例.（2010 天津理）已知函数( )() x f xxexR - =? ，如果 12 xx，且 12 ( )()f xf x=. 证明： 12 2.xx+ 构造函 数( )(1)(1),(0,1F xfxfx x=+-?， 则 2 1 ( )(1)(1)(1)0 x x x F xfxfxe e + =+-=-， 所以( )F x在(0,1x上单调
2、递增，( )(0)0F xF=， 也即(1)(1)fxfx+-对(0,1x恒成立. 由 12 01xx -=， 即 12 (2)()fxf x-，又因为 12 2,(1,)x x-?，且( )f x在(1,)+?上单调递减， 所以 12 2xx-学& 法三法三：由 12 ( )()f xf x=，得 12 12 xx x ex e - =，化简得 21 2 1 xx x e x - =， 不妨设 21 xx，由法一知， 12 01xx = +，代入式，得 1 1 t tx e x + =， 反解出 1 1 t t x e = - ，#网 则 121 2 2 1 t t xxxtt e +=+
3、=+ - ，故要证 12 2xx+，来源：Z,X,X,K 即证 2 2 1 t t t e + - ， 又因为10 t e -，等价于证明：2(2)(1)0 t tte+-， 构造函数( )2(2)(1),(0) t G tttet=+-，则( )(1)1,( )0 tt G tteG tte ? =-+=， 故( )G t 在(0,)t?上单调递增，( )(0)0G tG =， 从而( )G t也在(0,)t?上单调递增，( )(0)0G tG=，学& 来源:163文库 构造 (1)ln2 ( )(1)ln ,(1) 11 tt M tt t tt + =+ - ， 则 2 2 1 2 ln
4、 ( ) (1) ttt M t t t - = - ， 又令 2 ( )1 2 ln ,(1)tttt tj=- -，则( )22(ln1)2(1 ln )tttttj =-+=-， 由于1 lntt-对(1,)t?恒成立，故( )0tj ，来源:163文库 ( ) tj在(1,)t?上单调递增， 所以( )(1)0tjj=，从而( )0M t ， 故( )M t在(1,)t?上单调递增，来源：Z*X*X*K 由洛比塔法则知： 1111 (1)ln(1)ln )1 lim( )limlimlim(ln)2 1(1) xxxx ttttt M tt ttt + =+= - ， 即证( )2M
5、t ，即证式成立，也即原不等式 12 2xx+成立. 【点评】以上四种方法均是为了实现将双变元的不等式转化为单变元不等式，方法一、二利用构造新的函 数来达到消元的目的，方法三、四则是利用构造新的变元，将两个旧的变元都换成新变元来表示，从而达 到消元的目的.*网 例.（2013 湖南文）已知函数 2 1 ( ) 1 x x f xe x - = + ，证明：当 1212 ( )()()f xf xxx=?时， 12 0.xx+ 来源：ZXXK 【解析】易知，( )f x在(,0)-?上单调递增，在(0,)+?上单调递减. 学& 招式演练：招式演练： 已知函数 2 ( )lnf xxxx=+，正实
6、数 12 ,x x满足 1212 ( )()0f xf xx x+=. 证明： 12 5 1 2 xx - +?.来源： 【解析】由 1212 ( )()0f xf xx x+=，得 22 11122212 lnln0 xxxxxxx x+= 从而 2 12121212 ()()ln()xxxxx xx x+=-， 令 12 tx x=，构造函数( )lntttj= -， 得 11 ( )1 t t tt j - = -=，可知( ) tj在(0,1)上单调递减，在(1,)+?上单调递增，学& 所以( )(1)1tjj?，也即 2 1212 ()()1xxxx+?， 解得： 12 5 1 2
7、xx - +?. 已知函数 ( ) lnf xxx=- （）求函数 ( ) fx的单调区间； （）若方程 ( ) f xm= (2)m -有两个相异实根 1 x， 2 x，且 12 xx，证明： 2 12 2x x f (x)； （）若 x1(0, 1), x2(1, +), 且 f (x1) = f (x2), 求证：x1 + x2 2. 【答案】（1）在()内是增函数, 在()内是减函数.在 处取得极大值且（2）见解析(3) 见解析 【解析】=（1x）e x 令，则 x=1 当 x 变化时，f（x）的变化情况如下表： x （，1） 1 （1，+） + 0 f（x） 极大值 f（x）在（，1）上是增函数，在（1，+）上是减函数 f（x）在 x=1 处取得极大值 ； () 证明： 由()得： 在()内是减函数 ，即
