1、 专题专题 1 待定系数求方程，几何转至代数中待定系数求方程，几何转至代数中 【题型综述题型综述】 求圆锥曲线方程的策略一般有以下几种：几何分析法方 程思想；设而不求韦达定理；第二 定义数形结合；参数法方程思想。几何分析法，利用图形结合圆锥曲线的定义与几何性质，分析图 中已知量与未知量之间的关系，列出关于方程中参数的方程，解出参数值即可得到圆锥曲线方程，要求平 面几何中相似等数学知识必须十分熟练。设而不求、韦达定理是解圆锥曲线问题的通性通法，缺点是计算 量较大，费时费力，容易出错，通常根据题设条件，设出点的坐标和直线方程，将直线方程代入曲线方程， 化为关于x的一元二次方程，利用韦达定理用参数表
2、示出来，根据题中条件列出关于参数的方程，通过解 方程解出参数值，即可得出圆锥曲线的方程。不管是哪种方法，最终都要列出关于圆锥曲线方程中的参数 的方程问题，通过解方程解出参数值，即可得到圆锥曲线方程，故将利用平面几何知识和圆锥曲线的定义 与性质是将几何问题转化为代数问题，简化解析几何计算的重要途径. 【典例指引】【典例指引】 类型一类型一 待定系数法求椭圆方程待定系数法求椭圆方程 例 1 【2014 年全国课标，理 20】设 1 F, 2 F分别是椭圆 2 2 22 10 y x ab ab 的左右焦点，M 是 C 上一 点且 2 MF与 x 轴垂直，直线 1 MF与 C 的另一个交点为 N.
3、（）若直线 MN 的斜率为 3 4 ，求 C 的离心率； （）若直线 MN 在 y 轴上的截距为 2，且 1 5MNFN，求 a,b. 类型类型 2 参数法求椭圆方程参数法求椭圆方程 例 2.【2015 高考安徽，理 20】设椭圆 E 的方程为 22 22 10 xy ab ab ，点 O 为坐标原点，点 A 的坐标 为0a，点 B 的坐标为0 b，点 M 在线段 AB 上，满足2BMMA，直线 OM 的斜率为 5 10 . （I）求 E 的离心率 e； （II）设点 C 的坐标为0b，N 为线段 AC 的中点，点 N 关于直线 AB 的对称点的纵坐标为 7 2 ，求 E 的方程. 类型类型
4、3 设而不求思想与韦达定理求抛物线方程设而不求思想与韦达定理求抛物线方程 例 3【2013 年高考数学湖南卷】过抛物线 2 :2(0)E xpy p的焦点 F 作斜率分别为 12 ,k k的两条不同的 直线 12 , l l，且 12 2kk， 1 lE与相交于点 A，B， 2 lE与相交于点 C，D.以 AB，CD 为直径的圆 M，圆 N （M，N 为圆心）的公共弦所在的直线记为l. （I）若 12 0,0kk，证明； 2 2FM FNP； （II）若点 M 到直线l的距离的最小值为 7 5 5 ，求抛物线 E 的方程. 类型类型 4 待定系数法求抛物线方程待定系数法求抛物线方程 例 4 （
5、2012 全国课标理 20）.设抛物线C： 2 2xpy（p0）的焦点为F，准线为l，A为C上一点， 已知以F为圆心，FA为半径的圆F交l于B,D两点. ()若 0 90BFD,ABD的面积为4 2，求p的值及圆F的方程； ()若A，B，F三点在同一条直线m上，直线n与m平行，且n与C只有一个公共点，求坐标原点到m， n距离的比值. 【扩展链接】【扩展链接】 1. 焦 点 三 角 形 面 积 公 式 ：焦 点 三 角 形 面 积 公 式 ： 圆 锥 曲 线 的 左右焦点分别为 F1， F 2， 点 P 为曲线上任意一点 12 FPF， （1）若 P 在椭圆上，则椭圆的焦点角形的面积为 12 2
6、 tan 2 F PF Sb . （2）若 P 在双曲线上，则双曲线的焦点角形的面积为 12 2 tan 2 F PF b S . 2.椭圆椭圆 22 22 1 xy ab （ab0）的焦半径公式：）的焦半径公式： 10 |MFaex, 20 |MFaex( 1( ,0)Fc , 2( ,0) F c 00 (,)M xy). 【新题展示】【新题展示】 1 【2019 四川绵阳二诊（节选） 】己知椭圆 C：的左右焦点分别为 F1，F2，直线 l：ykx+m 与椭 圆 C 交于 A，B 两点O 为坐标原点 （1）若直线 l 过点 F1，且AF2十BF2 ，求直线 l 的方程； 【思路引导】 （1
7、） 设 A(x1， y1)， B(x2， y2) 联立 整理得(1+2k2)x2+8k2x+8k2-8=0 根据弦长公式|AB|=， 代入整理得，解得得到直线 l的方程 2 【2019 广东省模（节选） 】已知点，都在椭圆 ：上 （1）求椭圆 的方程； 【思路引导】 （1）把点，代入椭圆方程，得即可； 3 【2019 闽粤赣三省十校联考（节选） 】已知椭圆经过点，离心率为 ， 左右焦点分别为， （1）求椭圆 的方程； 【思路引导】 （1）利用椭圆的离心率和椭圆上的点，构造关于的方程，求解得到椭圆方程； 4 【2019 四川凉山二诊（节选） 】椭圆长轴右端点为 ，上顶点为， 为椭圆中心， 为椭圆
8、的右焦点，且 ，离心率为 （1）求椭圆的标准方程； 【思路引导】 （1）由条件布列关于 a，b 的方程组，即可得到椭圆的标准方程； 5 【2019 陕西榆林一模（节选） 】已知椭圆的离心率，左顶点到直线的 距离， 为坐标原点 （1）求椭圆 的方程； 【思路引导】 （1）结合离心率，计算出 a，b，c 之间的关系，利用点到直线距离，计算 a，b 值即可。 【同步训练】【同步训练】 1设椭圆C： 22 22 1 xy ab （0ab）的左右焦点分别为 1 F， 2 F，下顶点为B，直线 2 BF的方程为 0 xyb. （）求椭圆C的离心率； （）设P为椭圆上异于其顶点的一点， P到直线 2 BF的
9、距离为2b，且三角形 12 PFF的面积为 1 3 ，求 椭圆C的方程； 2已知抛物线 2 :2C xpy（0p ）和定点0,1M，设过点M的动直线交抛物线C于,A B两点，抛物 线C在,A B处的切线交点为N. （）若N在以AB为直径的圆上，求p的值； （）若三角形ABN的面积最小值为 4，求抛物线C的方程. 3已知抛物线C： 2 2xpy（0p）的焦点为F，直线220 xy交抛物线C于A、B两点，P是 线段AB的中点，过P作x轴的垂线交抛物线C于点Q. （1）D是抛物线C上的动点，点1,3E，若直线AB过焦点F，求DFDE的最小值； （）是否存在实数p，使2 uuruuu r QAQB2
10、uuruuu r QAQB？若存在，求出p的值；若不存在，说明理由. 4设直线 l：y=k（x+1）与椭圆 x2+3y2=a2（a0）相交于 A、B 两个不同的点，与 x 轴相交于点 C，O 为坐 标原点 （）证明： 2 2 2 31 3 k k a ； （）若，OAB 的面积取得最大值时椭圆方程 5已知点 F 是椭圆 C 的右焦点，A，B 是椭圆短轴的两个端点，且ABF 是正三角形. （）求椭圆 C 的离心率； （）直线 l 与以 AB 为直径的圆 O 相切，并且被椭圆 C 截得的弦长的最大值为 2，求椭圆 C 的标准方 程 6如图，椭圆 C：+=1（ab0）的右焦点为 F，右顶点、上顶点分
11、别为点 A、B，且|AB|=|BF| （）求椭圆 C 的离心率； （）若点 M（，）在椭圆 C 内部，过点 M 的直线 l 交椭圆 C 于 P、Q 两点，M 为线段 PQ 的中 点，且 OPOQ求直线 l 的方程及椭圆 C 的方程 7已知 A、B 分别为曲线 C：+y2=1（a0）与 x 轴的左、右两个交点，直线 l 过点 B 且与 x 轴垂直，P 为 l 上异于点 B 的点，连结 AP 与曲线 C 交于点 M （）若曲线 C 为圆，且|BP|=，求弦 AM 的长； （）设 N 是以 BP 为直径的圆与线段 BM 的交点，若 O、N、P 三点共线，求曲线 C 的方程 8若椭圆 ax2+by2=
12、1 与直线 x+y=1 交于 A、B 两点，且|AB|=2，又 M 为 AB 的中点，若 O 为坐标原点，直线 OM 的斜率为，求该椭圆的方程 9已知直线 x+y1=0 与椭圆相交于 A，B 两点，线段 AB 中点 M 在直线xyl 2 1 : 上 （）求椭圆的离心率； （）若椭圆右焦点关于直线 l 的对称点在单位圆 x2+y2=1 上，求椭圆的 方程 10.已知抛物线 C 的顶点在坐标原点， 焦点在 x 轴上， ABC 的三个顶点都在抛物线上， 且ABC 的重心为抛物线的焦点，若 BC 所在直线 l 的方程为 4xy200. （）求抛物线 C 的方程； （）若 O 是坐标原点，P，Q 是抛物线 C 上的两动点，且满足 POOQ，证明：直线 PQ 过 定点 11.已知拋物线 y2)0(2ppx的焦点为 F，斜率为 3 4 的直线l与该抛物线交于BA,，且存在实数 ，使0BFAF，| AB25 4 . （）求该抛物线的方程； （）求AOB 的外接圆的方程
