1、 - 1 - 2016-2017 学年上海市高二（下）期中数学试卷 一、填空题 1抛物线 x2=4y的焦点到准线的距离为 2方向向量为 ，且过点 A（ 3， 4）的直线的一般式方程为 3若复数 z满足 ，则 = 4直线 x+y 2=0和 ax y+1=0的夹角为 ，则 a 的值为 5已知点（ 4， 0）是椭圆 kx2+3ky2=1的一个焦点，则 k= 6如果实数 x， y满足线性约束条件 ，则 z=x y+1的最小值等于 7正四棱锥的侧棱长与底面边长都是 1，则侧棱 与底面所成的角为 8参数方程 （ t为参数），化为一般方程为 9以椭圆 3x2+13y2=39 的焦点为顶点，以 为渐近线的双曲
2、线方程为 10 M 是抛物线 y=4x2+1 上的一个动点，且点 M 是线段 OP 的中点（ O 为原点）， P 的轨迹方程为 11某地球仪上北纬 60 纬线长度为 6cm ，则该地球仪的体积为 cm3 12若圆（ x a） 2+（ y a） 2=1（ a 0）上总存在两个点到原点的距离为 1，则 a的取值范围是 二、选择题 13命题 p： a 1；命题 q：关于 x的实系数方程 x2 2 x+a=0有虚数解，则 p是 q的（ ） A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 14若圆柱的底面直径和高都与球的直径相等，圆柱、球的表面积分别记为 S1、 S2，则 S1：
3、 S2=（ ） - 2 - A 1： 1 B 2： 1 C 3： 2 D 4： 1 15如图，在下列四个几何体中，它们的三视图（主视图、左视图、俯视图）中有且仅有两个相同，而另一个不同的几何体是（ ） A（ 2）（ 3）（ 4） B（ 1）（ 2）（ 3） C（ 1）（ 3）（ 4） D （ 1）（ 2）（ 4） 16如果函数 y=|x| 2的图象与曲线 C： x2+y2= 恰好有两个不同的公共点，则实数 的取值范围是（ ） A 2 （ 4， + ） B（ 2， + ） C 2， 4 D（ 4， + ） 三、简答题 17直角坐标系中，已知动点 P（ x， y）到定点 F（ 0， 2）的距离与它
4、到 y= 1 距离之差为 1， （ 1）求点 P的轨迹 C （ 2）点 A（ 3， 1）， P在曲线 C上，求 |PA|+|PF|的最小值，并求此时点 P的坐标 18在长方体 ABCD A1B1C1D1中， AB=BC=2， AA1=3，过 A1、 C1、 B三点的平面截去长方体的一个角后，得到如下所示的几何体 ABCD A1C1D1 （ 1）若 A1C1的中点为 O1，求异面直线 BO1与 A1D1所成角的大小（结果用反三角函数值表示）； （ 2）求点 D到平面 A1BC1的距离 d - 3 - 19复数 z满足 z +（ 1 2i） z+（ 1+2i） =3，求 |z|的最大值 20已知直
5、线 l： kx y+1+2k=0， k R （ 1）直线过定点 P，求点 P坐标； （ 2）若直线 l交 x轴负半轴于点 A，交 y轴正半轴于点 B， O为坐标原点，设三角形 OAB的面积为 4，求出直线 l方程 21椭圆 C： 过点 M（ 2， 0），且右焦点为 F（ 1，0），过 F 的直线 l 与椭圆 C 相交于 A、 B 两点设点 P（ 4， 3），记 PA、 PB 的斜率分别为 k1和k2 （ 1）求椭圆 C的方程； （ 2）如果直线 l的斜率等于 1，求出 k1?k2的值； （ 3）探讨 k1+k2是否为定值？如果是，求出该定值；如果不是，求出 k1+k2的取值范围 - 4 - 2
6、016-2017 学年上海市师大二附中高二（下）期中数学试卷 参考答案与试题解析 一、填空题 1抛物线 x2=4y的焦点到准线的距离为 2 【考点】 K8：抛物线的简单性质 【分析】直接利用抛物线的性质求解即可 【解答】解：抛物线 x2=4y的焦点到准线的距离为： p=2 故答案为： 2 2方向向量为 ，且过点 A（ 3， 4）的直线的一般式方程为 2x y 2=0 【考点】 IG：直线的一般式方程 【分析】根据点向式方程计算即可 【解答】解：方向向量为 ，且过点 A（ 3， 4）的方程为 = ，即 2x y 2=0， 故答案为： 2x y 2=0 3若复数 z满足 ，则 = 【考点】 A5：
7、复数代数形式的乘除运算； A8：复数求模 【分析】利用复数代数 形式的乘除运算化简，再由复数模的计算公式求值 【 解 答 】 解 ： = =， 故答案为： - 5 - 4直线 x+y 2=0和 ax y+1=0的夹角为 ，则 a的值为 2 【考点】 IV：两直线的夹角与到角问题 【分析】先求出两条直线的斜率，再利用两条直线的夹角公式求得 a的值 【解答】解：直线 x+y 2=0的斜率为 1，和 ax y+1=0的斜率为 a，直线 x+y 2=0和 axy+1=0的夹角为 ， tan = =| |，求得 a= =2 ，或 a= =2+ ， 故 答案为： 2 5已知点（ 4， 0）是椭圆 kx2+
8、3ky2=1的一个焦点，则 k= 【考点】 K4：椭圆的简单性质 【分析】利用椭圆的焦点坐标，列出方程求解即可 【解答】解：点（ 4， 0）是椭圆 kx2+3ky2=1的一个焦点， 可得： ， 解得 k= 故答案为： 6如果实数 x， y 满足线性约束条件 ，则 z=x y+1 的最小值等于 2 【考点】 7C：简单线性规划 【分析】作出可行域，变形目标函数，平移直线 y= x 可得当直线经过点 A（ 2， 1）时， z取最小值，代值计 算可得 【解答】解：作出线性约束条件 ，所对应的可行域（如图）， - 6 - 变形目标函数可得 y=x+1+z，平移直线 y=x可知， 当直线经过点 A（ 2
9、， 1）时，截距取最小值， z取最小值， 代值计算可得 z的最小值为 z= 2 1+1= 2 故答案为： 2 7正四棱锥的侧棱长与底面边长都是 1，则侧棱与底面所成的角为 45 【考点】 MI：直线与平面所成的角； L3：棱锥的结构特征 【分析】先做出要求的线面角，把它放到一个直角三角形中，利用直角三角形中的边角关系求出此角 【解答】解：如图，四棱锥 P ABCD中，过 P作 PO 平面 ABCD于 O，连接 AO， 则 AO是 AP在底面 ABCD上的射影 PAO即为所求线面角， AO= ， PA=1， cos PAO= = PAO=45 ，即所求线面角为 45 故答案为 45 - 7 -
10、8参数方程 （ t为参数），化为一般方程为 x+y 2=0 【考点】 QH：参数方程化成普通方程 【分析】参数方程消去参数 t，能求出其一般方程 【解答】解： 参数方程 （ t为参数）， 消去参数 t，得： x=1+（ 1 y）， 整理，得一般方程为： x+y 2=0 故答案为： x+y 2=0 9以椭圆 3x2+13y2=39 的焦点为顶点，以 为渐近线的双曲线方程为 【考点】 KI：圆锥曲线的综合 【分析】求出椭圆的焦点坐标，得到双曲线的顶点坐标，结合双曲线的渐近线方程，求解即可 【解答】解：以椭圆 3x2+13y2=39的焦点为（ ， 0），则双曲线的顶点（ ，0），可得 a= ， 以
11、为渐近线的双曲线，可得 b= ， 所求的双曲线方程为： 故答案为： 10 M 是抛物线 y=4x2+1 上的一个动点，且点 M 是线段 OP 的中点（ O 为 原点）， P 的轨迹方程为 y=2x2+2 【考点】 KK：圆锥曲线的轨迹问题 【分析】设出 P的坐标，求出 M的坐标，动点 M在抛物线 y=4x2+1上运动，点 M 满足抛物线方- 8 - 程，代入求解，即可得到 P的轨迹方程 【解答】解：设 P的坐标（ x， y），由题意点 M为线段 OP的中点，可知 M（ ， ）， 动点 M在抛物线 y=4x2+1上运动，所以 =4 +1，所以 y=2x2+2 动点 P的轨迹方程为： y=2x2+
12、2 故答案为： y=2x2+2 11某地球仪上北纬 60 纬线长度为 6cm ，则该地球仪的体积为 288 cm3 【考点】 LG：球的体积和表面积 【分析】地球仪上北纬 60 纬线的周长为 6cm ，可求纬圆半径，然后求出地球仪的半径，再求体积 【解答】解：由题意：地球仪上北纬 60 纬线的周长为 6cm ， 纬圆半径是： 3cm， 地球仪的半径是： 6cm； 地球仪的体积是： 63=288cm3， 故答案为： 288 12若圆（ x a） 2+（ y a） 2=1（ a 0）上总存在两个点到原点的距离为 1，则 a的取值范围是 （ 0， ） 【考点】 JA：圆与圆的位置关系及其判定 【分析
13、】转化题目，为两个圆的 位置关系，通过圆心距与半径和与差的关系列出不等式求解即可 【解答】解：圆（ x a） 2+（ y a） 2=1（ a 0）上总存在两个点到原点的距离为 1，转化为：以原点为圆心 1为半径的圆与已知圆相交， 可得 1 1 1+1， 可得 0 2，即 a （ 0， ） 故答案为：（ 0， ） 二、选择题 - 9 - 13命题 p： a 1；命题 q：关于 x的实系数方程 x2 2 x+a=0有虚数解，则 p是 q的（ ） A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 【考点】 2L：必要条件、充分条件与充要条件的判断 【分析】根据复数的有关性质，利
14、用充分条件和必要条件的定义进行判断 【解答】解：若关于 x 的实系数方程 x2 2 x+a=0有虚数解， 则判别式 0，即 8 4a 0，解得 a 2， p是 q的必要不充分条件， 故选： B 14若圆柱的底面直径和高都与球的直径相等，圆柱、球的表面积分别记为 S1、 S2，则 S1： S2=（ ） A 1： 1 B 2： 1 C 3： 2 D 4： 1 【考点】 LG：球的体积和表面积 【分析】根据圆柱的底面直径和高都与球的直径相等，设为 球的半径为 1，结合圆柱的表面积的公式以及球的表面积即可得到答案 【解答】解：由题意可得：圆柱的底面直径和高都与球的直径相等，设球的半径为 1， 所以等边圆柱的表面积为： S1=6 ， 球的表面积为： S2=4 所以圆柱的表面积与球的表面积之比为 S1： S2=3： 2 故选 C 15如图，在下列四个几何体中，它们的三视图（主视图、左视图、俯视图）中有且仅有两个相同，而另一个不同的几何体是（ ） - 10 - A（ 2）（ 3）（ 4） B（ 1）（ 2）（ 3） C（ 1）（ 3）（ 4） D（ 1）（ 2）（ 4） 【考点】 L7：简单空间图形的三视图 【分析】主视图、左视图、俯视图中有且仅有两个相同，需要看出四个图形的三视图
