1、 1 2016-2017 学年度高二下期期中考试 数学试题 (文科 ) 注意事项： 1本试卷分第 卷和第 卷两个部分。 2. 本堂考试 120分钟，满分 150分。 3答题前，考生务必先将自己的姓名、班级、考号、座位号填写在答题卷的密封线内。 4考试结束后，将所有答题卷和机读卡交回。 第 卷（ 60 分） 一选择题（本大题共 12个小题，每小题 5分，共 60分，在每小题所给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的） 1. 不等式 的解集是（ ） A. （ ， -1） B. （ ,1） C. （ -1， 3） D. 【答案】 C 【解析】 ，故不等式的解集是 ，故选 . 2. 用反证法证明命题
2、“ 若整系数一元二次方程 有有理根，那么, , 中至少有一个是偶数 ” 时，下列假设中正确的是（ ） A. 假设 不都是偶数 B. 假设 至多有两个是偶数 C. 假设 至多有一个是偶数 D. 假设 都不是偶数 【答案】 D 【解析】试题分析： “ 中至少有一个是偶数 ” 包括一个、两个或三个偶数三种情况，其否定应为不存在偶数，即 “ 假设 都不是偶数 ” ，故选 D. 考点：命题的否定 . 3. 过椭圆 的左焦点 作直线交椭圆 于 两点， 是椭圆右焦点，则 的周长为（ ） A. B. C. D. 【答案】 A 2 【解析】 因为椭圆为 ， 所以椭圆的半长轴 ，由椭圆的定义可得 ，且 ， 的周长
3、为，故选 A. 4. 函数 的图象大致是（ ） A. B. C. D. 【答案】 B 【解析】 ，所以当 时 ；当 时 ；又当 时 ，选选 B. 点睛： (1)运用函数图象解决问题时，先要正确理解和把握函数图象本身的含义及其表示的内容，熟悉图象所能够表达的函数的性质 . (2)在研究函数性质特别是单调性、最值、零点时，要注意用好其与图象的关系，结合图象研究 . 5. 已知向量 ， ，且 与 互相垂直，则 的值为（ ） A. 2 B. 0 C. -1 D. 1 【答案】 B 【解析】 因为向量 ， 与 互相垂直， ，解得 ，故选 B. 6. 已知 与 之间的一组数据（如下表）： 3 0 1 2
4、3 1 3 5 7 则 对 的线性回归方程 必过点（ ） A. (2,2) B. (1,2) C. (1.5,0) D. (1.5,4) 【答案】 D 【解析】 的平均数： ， 的平均数： ，所以样本中心点的坐标是 ，样本中心点在回归方程上，故选 D. 7. 已知函数 则 （ ） A. B. C. D. 【答案】 A 【解析】 ,令 ，则，故选 A. 8. 已知双曲线 的左，右焦点分别为 ，点 P在双曲线的右支上，且 ，则此双曲线的离心率 e的最大值为（ ） A. B. C. D. 【答案】 B 【解析】 设 ，由焦半径得 ， ，化简得 在双曲线的右支上， ， ， 即双曲线离心率 的最大值为，
5、故选 B. 9. 已知正数 满足 ，则曲线 在点 处的切线的倾斜角的取值范围为 ( ) A. B. C. D. 【答案】 C 【解析】 设曲线在点 处的切线的倾斜角为 ， 4 则 ，故 故选 C. 10. 设函数 是定义在 上的可导函数，其导函数为 ，且有 ，则不等式 的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】 C 【解析】 令 ，则 ，则 在 递减，由，得 ，故 ，解得，故选 C. 【方法点睛】本题主要 考察抽象函数的单调性以及函数的求导法则，属于难题 .求解这类问题一定要耐心读题、读懂题，通过对问题的条件和结论进行类比、联想、抽象、概括，准确构造出符合题意的函数是解题的关键；解这类不
6、等式的关键点也是难点就是构造合适的函数，构造函数时往往从两方面着手： 根据导函数的 “ 形状 ” 变换不等式 “ 形状 ” ； 若是选择题，可根据选项的共性归纳构造恰当的函数 . 11. 已知 为抛物线 上一个动点， 为圆 上一个动点，那么点 到点的距离与点 到抛物线的准线距离之和的最小值是 （ ） A. B. C. D. 【答案】 A 【解析】 由已知得，设圆心为 ，因为圆 ， 抛物线 上一动点， 为抛物线的焦点 的最短距离为 ，则当 的直线经过点 时， 最小，则， 故选 A. 【方法点晴】本题主要考查抛物线的标准方程和抛物线的简单性质及利用抛物线的定义求最值，属于难题 .与抛物线的定义有关
7、的最值问题常常实现由点到点的距离与点到直线的距离5 的转化： (1)将抛物线上的点到准线的距化为该点到焦点的距离，构造出 “ 两点之间线段最短 ” ，使问题得解； (2)将拋物线上的点到焦点的距离转化为到准线的距离，利用 “ 点与直线上所 有点的连线中垂线段最短 ” 原理解决 .本题是将 到准线的距离转化为到焦点的距离，再根据几何意义解题的 . 12. 已知函数 ，若存在实数 使得不等式 成立，求实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】 D 【解析】 由 ，求导 ，当 时，则 ， ，则 ， ，则，令 ，解得 ，当 ，解得 ，当 ，解得 ，所以当 时，取极小值，极小值为 的最小值
8、为 ，由 ，则，则 ，解得 或 ，所以实数 的取值范围，故选 D. 第 卷（ 90分） 二填空题 (本大题共 4 个小题，每小 题 5分，共 20分，把答案填在答题卷上的相应位置 ) 13. 函数 的单调递减区间为 _ 【答案】 【解析】 函数 的开口向上，对称轴为 ，函数 的单调递减区间为 ，故答案为 . 14. 空间直角坐标系中，已知 ，则直线 AB 与 AC 的夹角为_ 【答案】 【解析】 空间直角坐标系中， ，6 ，所以向量 的夹角为 ，即直线 与的夹角为 ， 故答案为 . 15. 已知方程 是根据女大学生的身高预报她的体重的回归方程，其中 的单位是 cm， 的单位是 kg，那么针对某
9、个体（ 160,53）的残差是 _ 【答案】 -0.29 【解析】试题分析：因为回归方程为 ，所以当 x=160时，y=0.85160 -82.71=53.29，所以针对某个体（ 160， 53）的随机误差是 53-53.29=-0.29 考点：线性回归方程 16. 点 是焦点为 的双曲线 上的动点，若点满足 ,则点的横坐标为 _ 【答案】 【解析】 由点满足， ，则为焦点三角形 的内心，设双曲线的焦点三角形的内切圆且三边 于点 ，双曲线的两个顶点为，则 ，由 ， 在双曲线上，由 在 上， 是双曲线与 轴的交点，即，由 ，则所以点的横坐标为 ， 故答案为 . 【方法点睛】本题主要考查双曲线的定
10、义及简单的几何性质、数形结合思想的应用，属于难题 .数形结合是根据数量与图形之间的对应关系，通过数与形的相互转化来解决数学问题的7 一种重要思想方法，是中学数学四种重要的数学思想之一，尤其在解决选择题、填空题是发挥着奇特功效，大大提高了解题能力与速度 .运用这种方法的关键是将已知函数的性质研究透，这样才能快速找准突破点 . 充分利用数形结合的思想方法能够使问题化难为简，并迎刃而解 . 三解答题（本大题共 6个小题，共 70分，解答应写出文字说明、证明过程和演算步骤） 17. 已知 ,分别求 , , 的值，然后归纳猜想一般性结论，并证明你的结论 . 【答案】 详见解析 . 【解析】 试题分析：将
11、 代入 ，即可求得的值；观察 ，根据上一步的结果可以归纳出一般的结论：自变量的和为 ， 则函数值的和为 ， 根据结论的形式将 代入并化简求值即可完成证明 . 试题解析：由 ，得 , , . 归纳猜想一般性结论为 证明如下： 【方法点睛】本题通过观察几组等式，归纳出一般规律来考查函数的解析 式及归纳推理，属于中档题 .归纳推理的一般步骤 : 一、通过观察个别情况发现某些相同的性质 . 二、从已知的相同性质中推出一个明确表述的一般性命题 (猜想） . 常见的归纳推理分为数的归纳和形的归纳两类： (1) 数的归纳包括数的归纳和式子的归纳，解决此类问题时，需要细心观察，寻求相邻项及项与序号之间的关系，
12、同时还要联系相关的知识，如等差数列、等比数列等；(2) 形的归纳主要包括图形数目的归纳和图形变化规律的归纳 . 18. 如图，在三棱锥 中， ， ， ， 平面 平8 面 ， ， 分别为 ， 中点 （ 1）求证： 平面 ； （ 2）求证： ； （ 3）求三棱锥 的体积 【答案】 (1)详见解析 ;(2)详见解析 ;(3) . 【解析】试题分析：（ 1）根据三角形的中位线定理，证出 ，再由线面平行判定定理可证出 平面 ；（ 2）连结 ，由等腰三角形的三线合一，证出 ，结合 ，由此可得出 ；（ 3）由面面垂直性质定理，证出 平面 ，得 是三棱锥的高，结合题中已知条件，即可得到三棱锥 的体积 . 试题
13、解析：（ 1） ， 分别为 ， 的中点， ， 又 平面 ， 平面 ， 平面 （ 2）连接 ， ，又 ， ， 又 ， 为 中点， ， 平面 ， （ 3） 平面 平面 ， ， 平面 ， 考点： 1.线面平行的判定及性质； 2.线面垂直的判定及性质； 3.棱锥的体积 . 19. 已知函数 ，其中 为常数 （ 1）当 时，求 的极值； （ 2）若 是区间 内的单调递减函数，求实数 的取值范围 【答案】 (1)详见解析 ;(2) . 9 【解析】试题分析：（ 1）当 时， 在区间 内单调递减， 在 内单调递增 有极小值 ，无极大值；（ 2）易知 在区间 内单调递增 或 的取值范围是 . 试题解析：（ 1
14、）当 时， ，所以 在区间内 单调递减， 在 内单调递增 ，于是 有极小值 ， 无极大值 . （ 2）易知 在区间 内单调递增，所以由题意可得 在区间 内无解即 或 ，解得实数 的取值范围是 . 考点： 1、函数的单调性； 2、函数的极值 . 20. 已知椭圆 的离心率为，以原点 为圆心，椭圆的短半轴长为半径的圆与直线 相切 . （ 1）求椭圆 C的标准方程； （ 2）若直线 与椭圆 相交于 、 两点，且 ，求证： 的面积为定值并求出定值 . 【答案】 (1) ;(2) 详见解析 . 【解析】 试题分析：（ 1） 由椭圆的离心率等于，原点 到直线 的距离等于 及隐含条件 联立方程组求解 的值，则椭圆 的标准方程可求；（ 2）联立直线方程和椭圆方程，消去 后利用根与系数关系得到 两点的横坐标的和与积，由弦长公式求得，由点到直线的距离公式求得 到 的距离，代入三角形的面积公式证得答案 . 试题解析：（ 1）由题意得 椭圆的方程为 . （ 2）设 ， 则 A,B的坐标满足 消去 y化简得 ， ， 得 ， 10 = ，即 即 = O到直线 的距离 = = = 为定值 【方
