1、第24章圆小结与复习一、教学目标(一)知识与技能：复习本章的重点内容，整理本章知识，形成知识体系，体会利用圆的知识综合解决问题的思路和方法.(二)过程与方法：经历系统地归纳总结本章的知识内容，学会整理归纳知识的方法，使其条理化、系统化.(三)情感态度与价值观：通过师生共同活动，使学生在交流和反思的过程中建立本章的知识体系，从而体验学习数学的成就感.二、教学重点、难点重点：垂径定理、圆周角定理、切线的性质和判定.难点：综合运用所学知识解决问题.三、教学过程知识梳理一、与圆有关的概念1.圆：平面内到定点的距离等于定长的所有点组成的图形.2.弦：连接圆上任意两点的线段.3.直径：经过圆心的弦是圆的直
2、径，直径是最长的弦.4.劣弧：小于半圆周的圆弧.5.优弧：大于半圆周的圆弧.6.等弧：在同圆或等圆中，能够互相重合的弧.7.圆心角：顶点在圆心，角的两边与圆相交.8.圆周角：顶点在圆上，角的两边与圆相交.9.外接圆、内接正多边形：将一个圆n(n3)等分，依次连接各等分点所得到的多边形叫作这个圆的内接正多边形，这个圆是这个正多边形的外接圆.10.三角形的外接圆外心：三角形的外接圆的圆心叫做这个这个三角形的外心.11.三角形的内切圆内心：三角形的内切圆的圆心叫做这个这个三角形的内心.12.正多边形的相关概念正多边形的外接圆的圆心叫做这个正多边形的中心，外接圆的半径叫做正多边形的半径，正多边形每一边
3、所对的圆心角叫做正多边形的中心角，中心到正多边形的一边的距离叫做正多边形的边心距.二、与圆有关的位置关系1.点和圆的位置关系设O的半径为r，点P到圆心的距离OP=d，则有：点P在圆外dr；点P在圆上dr；点P在圆内dr.2.直线和圆的位置关系设O的半径为r，圆心O到直线l的距离为d，则有：直线l和O相交dr；直线l和O相切dr；直线l和O相离dr.三、圆的基本性质1.圆的对称性圆是轴对称图形，它的任意一条直径所在的直线都是它的对称轴.2.有关圆心角、弧、弦的性质在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧和两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等.四、圆的有关定理及其推论1.垂径定
4、理(1)垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧.(2)垂径定理的推论：平分弦(不是直径)的直径垂直于这条弦，并且平分这条弦所对的两条弧；平分弧的直径垂直平分这条弧所对的弦.2.圆周角定理(1)圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半.(2)推论1：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等；相等的圆周角所对弧相等.(3)推论2：半圆(或直径)所对的圆周角是直角，90的圆周角所对的弦是直径.(4)推论3：圆的内接四边形的对角互补.3.与切线相关的定理(1)判定定理：经过圆的半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线.(2)性质定理：圆的切线垂直于经过切点的半径.
5、(3)切线长定理：从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角.五、圆的有关计算1.弧长公式 2.扇形面积公式S扇形=或S扇形=3.弓形面积公式：弓形面积扇形面积三角形的面积4.圆锥的侧面积(1)圆锥的侧面展开图是一个扇形.(2)如果圆锥母线长为l，底面圆的半径为r，那么这个扇形的半径为l，扇形的弧长为2r.(3)圆锥的侧面积为rl.(4)圆锥的全面积为r2+rl.5.圆内接正多边形的计算正n边形的中心角：设正多边形的边长为a，半径为R，边心距为r. ，周长：l=na，面积：S=lr考点讲练考点一 圆周角定理例1 在图1中，BC是O的直径，ADBC，若D
6、36，则BAD的度数是( ) A.72 B.54 C.45 D.36图1 图2 图3针对训练1.如图2，四边形ABCD为O的内接正方形，点P为劣弧BC上的任意一点(不与B，C重合)，则BPC的度数是_.2.如图3，线段AB是直径，点D是O上一点，CDB20，过点C作O的切线交AB的延长线于点E，则E等于_.考点二 垂径定理例2 工程上常用钢珠来测量零件上小圆孔的宽口，假设钢珠的直径是10mm，测得钢珠顶端离零件表面的距离为8mm，如图所示，则这个小圆孔的宽口AB的长度为_mm.例3 ABC是O的内接三角形，ABAC，O的半径为2，O到BC的距离为1.(1)求BC的长；(2)求BAC的度数.解：
7、(1)当ABC为锐角三角形时，如图1所示.过A作ADBC，由题意得到AD过圆心O，连接OB. OD=1，OB=2 在RtOBD中，由勾股定理得： BC=2BD=当ABC为钝角三角形时，如图2所示.过A作ADBC，由题意得到AD延长线过圆心O，连接OB. OD=1，OB=2 在RtOBD中，由勾股定理得： BC=2BD=故综合，BC的长为.(2)图1中， OD=1，OB=2， OBD=30 BOD=60， BAD=30， BAC=2BAD=60图2中， OD=1，OB=2， OBD=30 BOD=60， BAD=60 BAC=2BAD=120故BAC的度数为60或120.针对训练3.如图1，点C
8、是扇形OAB上的AB的任意一点，AOB90，OA2，连接AC，BC，过点O作OEAC，OFBC，垂足分别为E，F，连接EF，则EF的长度等于_.4.如图2，AB是O的直径，且AB2，C，D是同一半圆上的两点，并且AC与BD的度数分别是96和36，动点P是AB上的任意一点，则PCPD的最小值是_. 图1 图2考点三 与圆有关的位置关系例4 如图，O为正方形对角线上一点，以点O为圆心，OA长为半径的O与BC相切于点M.(1)求证：CD与O相切；(2)若正方形ABCD的边长为1，求O的半径. (1)证明：过点O作ONCD于N，连接OM. BC与O相切于点M， OMBC 四边形ABCD是正方形，点O在
9、AC上 AC是BCD的角平分线 ON=OM CD与O相切(2)解： 正方形ABCD的边长为1， AC=设O的半径为r，则OC=-r又易知OMC是等腰直角三角形 由勾股定理得 r2+r2=(-r)2解得 r1=2-，r2=-2-(舍去) O的半径为2-方法总结1.证切线时添加辅助线的解题方法有两种： 有公共点，连半径，证垂直；无公共点，作垂直，证半径.2.设未知数，通常利用勾股定理建立方程.针对训练5.O的半径为R，圆心到点A的距离为d，且R、d分别是方程x26x80的两根，则点A与O的位置关系是( ) A.点A在O内部 B.点A在O上 C.点A在O外部 D.点A不在O上6.如图，直线AB，CD
10、相交于点O，AOD30，半径为1cm的P的圆心在射线OA上，且与点O的距离为6cm，如果P以1cm/s的速度沿由A向B的方向移动，那么_秒钟后P与直线CD相切.7.如图，O的弦AD4，BD8，ADBD，C是BD延长线上一点，CD2，求证：AC是O的切线. 证明：连接AB ADBD， ADB=90 AB为O的直径在RtACD和RtABD中，由勾股定理得： AC2=CD2+AD2=22+42=20 AB2=BD2+AD2=82+42=80 BC2=(CD+BD)2=(2+8)2=100 AC2+AB2=BC2， BAC=90 AC是O的切线考点四 圆中的计算问题例5 如图所示，O的内接正方形ABC
11、D内有一条折线段，其中AEEF，EFFC，已知AE6，EF8，FC10，求图中阴影部分的面积. 解：延长AE与O相交于点G，连接CG，AC. 四边形ABCD是正方形， B=90 AC是O的直径， G=90 AEEF，EFFC， FEG=F=G=90 四边形EFCG是矩形， EG=FC=10，CG=EF=8 AG=AE+EG=6+10=16由勾股定理得： O的半径为 S阴影=SO-S正方形ABCD =()2- ()2 =80-160针对训练8.(1)一条弧所对的圆心角为135，弧长等于半径为5cm的圆的周长的3倍，则这条弧的半径为_.(2)若一个正六边形的周长为24，则该正六边形的面积为_.9.
12、如图，已知C，D是以AB为直径的半圆周上的两点，O是圆心，半径OA6，COD120，则图中阴影部分的面积等于_.能力提升10.如图，矩形ABCD中，AB5，AD3.点E是CD上的动点，以AE为直径的O与AB交于点F，过点F作FGBE于点G.(1)若E是CD的中点时，求证：FG是O的切线.(2)试探究：BE能否与O相切？若能，求出此时DE的长；若不能，请说明理由.(1)证明：连接OF、EF AE是O的直径， AFE=90 四边形ABCD是矩形， DAB=D=90，AB=CD 四边形ADEF是矩形， AF=DE AB-AF=CD-DE，即CE=BF E是CD的中点， F是AB的中点 OF是ABE的中位线 OFBE FGBE FGOF FG是O的切线(2)解：若BE能与O相切 AE是O的直径 AEBE，即AEB=90设DE=x，则EC=5-x由勾股定理得：AE2+BE2=AB2即 (9+x2)+(5-x)2+9=25整理得 x2-5x+9=0 b2-4ac=25-36=-110 该方程无实数根 点E不存在，BE不能与O相切
