1、 - 1 - 2016-2017 学年天津市六校联考高二（下）期中数学试卷（理科） 一、选择题（本大题共 8小题，每小题 5分，共 40分） 1复数 等于（ ） A 4i B 4i C 2i D 2i 2正弦函数是奇函数，因为 f（ x） =sin（ x+1）是正弦函数，所以 f（ x） =sin（ x+1）是奇函数以上推理（ ） A结论正确 B大前提错误 C小前提错误 D以上都不对 3当 x 在（ ， + ）上变化时，导函数 f （ x）的符号变化如下表： x （ .1） 1 （ 1， 4） 4 （ 4， + ） f （ x） 0 + 0 则函数 f（ x）的图象的大致形状为（ ） A B
2、C D 4已知函数 y=f（ x）（ x R）上任一点（ x0， f（ x0）处的切线斜率 k=（ x0 2）（ x0+1） 2，则函数 f（ x）的极值点的个数（ ） A 0个 B 1个 C两个 D三个 5若 （ 2x+ ） dx=3+ln2，则 a的值是（ ） A 6 B 4 C 3 D 2 6已知函数 有最大值 4，则 a的值为（ ） A 1 B 1 C 4 D 4 - 2 - 7设 f（ x）， g（ x）在上可导，且 f（ x） g（ x），则当 a x b时有（ ） A f（ x） g（ x） B f（ x） g（ x） C f（ x） +g（ b） g（ x） +f（ b） D
3、f（ x）+g（ a） g（ x） +f（ a） 8将正奇数 1， 3， 5， 7， ? 排成五列（如表），按此表的排列规律， 2017所在的位置是（ ） A第一列 B第二列 C第三列 D第四列 二、填空题（本大题共 6小题，每小题 5分，共 30分） 9设 i 是虚数单位，复数 为纯虚数，则实数 a的值为 10若函数 f（ x） =ex ax（ x 0）有极值，则实数 a的取值范围是 11已知函数 f（ x）的导函数为 f（ x），且满足关系式 ，则 f（ 2）的值等于 12底面是正方形，容积为 16的无盖水箱，它的高为 时最省材料 13若曲线 f（ x） =ax3+ln（ 2x）存在垂直于
4、 y轴的切线，则实数 a取值范围是 14定义：如果函数 y=f（ x）在区间上存在 x1， x2（ a x1 x2 b），满足 f （ x1） = ，f （ x2） = ，则称函数 y=f（ x）在区间上的一个双中值函数，已知函数 f（ x） =x3 x2是区间上的双中值函数，则实数 a的取值范围是 三、解答题（本大题共 6小题，共 80分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15（ 13分）已知曲线 C1： y2=2x与 C2： y= 在第一象限内交点为 P （ 1）求过点 P且与曲线 C2相切的直线方程； （ 2）求两条曲线所围图形（如图所示阴影部分）的面积 S - 3 - 16（
5、13分）设 （ 1）当 a=1时，求曲线 y=f（ x）在点（ 1， f（ 1）处的切线方程； （ 2）当 时，求 f（ x）的极大值和极小值 17（ 13分）已知函数 f（ x） =x2 2lnx， h（ x） =x2 x+a （ 1）其求函数 f（ x）的极值； （ 2）设函数 k（ x） =f（ x） h（ x），若函数 k（ x）在上恰有两个不同零点求实数 a的取值范围 18（ 13分）已知数列 ， ， ? ， ， ? ， Sn为该数列的前n 项和， （ 1）计算 S1， S2， S3， S4， （ 2）根据计算结果，猜想 Sn的表达式，并用数学归纳法进行证明 19（ 14分）已知直线
6、 l： y=x+m与函数 f（ x） =ln（ x+2）的图象相切于点 P （ 1）求实数 m的值； （ 2）证明除切点 P外，直线 l总在函数 f（ x）的图象的上方； （ 3）设 a， b， c 是两两不相等的正实数，且 a， b， c 成等 比数列，试判断 f（ a） +f（ c）与2f（ b）的大小关系，并证明你的结论 20（ 14分）已知函数 f（ x） =lnx+ （ 1）当 a 0时，证明函数 f（ x）在（ 0， + ）是单调函数； （ 2）当 a e时，函数 f（ x）在区间上的最小值是 ，求 a的值； （ 3）设 g（ x） =f（ x） ， A， B 是函数 g（ x）图
7、象上任意不同的两点，记线段 AB 的中点的横坐标是 x0，证明直线 AB的斜率 k g（ x0） - 4 - 2016-2017学年天津市宝坻一中、杨村一中、静海一中等六校联考高二（下）期中数学试卷（理科） 参考答案与试题 解析 一、选择题（本大题共 8小题，每小题 5分，共 40分） 1复数 等于（ ） A 4i B 4i C 2i D 2i 【考点】 A7：复数代数形式的混合运算 【分析】化简分式，分子、分母分别平方，化简可得结果 【解答】解： 故选 C 【点评】复数代数形式的运算，是基础题 2正弦函数是奇函数，因为 f（ x） =sin（ x+1）是正弦函数，所以 f（ x） =sin（
8、 x+1）是奇函数以上推理（ ） A结论正确 B大前提错误 C小前提错误 D以上都不对 【考点】 F5：演绎推理的意义 【分析】根据题意，分析所给推理的三段论，找出大前提，小前提，结论，再判断正误即可得答案 【解答】解：根据题意，该推理的大前提：正弦函数是奇函数，正确； 小前提： f（ x） =sin（ x+1）是正弦函数，因为该函数 f（ x） =sin（ x+1）不是正弦函数，故错误； 结论： f（ x） =sin（ x+1）是奇函数，故错误 故选： C 【点评】本题考查演绎推理的基本方法，关键是理解演绎推理的定义以及三段论的形式 3当 x 在（ ， + ）上变化时，导函数 f （ x）的
9、符号变化如下表： - 5 - x （ .1） 1 （ 1， 4） 4 （ 4， + ） f （ x） 0 + 0 则函数 f（ x）的图象的大致形状为（ ） A B C D 【考点】 52：函数零点的判定定理； 51：函数的零点 【分析】 f （ x）在（ ， 1）上小于 0，在（ 1， 4）上大于 0，故 f（ 0）是函数的极小值，同理可得 f（ 4）是函数的极大值，由此得出结论 【解答】解：由图表可得函数 f （ x）在（ ， 1）上小于 0，在（ 1， 4）上大于 0， 即函数 f（ x）在（ ， 1）上是减函数，在（ 1， 4）上是增函数，故 f（ 0）是函数的极小值 同理，由图表可得
10、 函数 f （ x）在（ 1， 4）上大于 0，在（ 1， 4）上小于 0， 即函数 f（ x）在（ 1， 4）上是增函数，在（ 4， + ）上是增函数，可得 f（ 4）是函数的极大值， 故选 C 【点评】本题考查函数零点的定义和判定定理，属于基础题 4已知函数 y=f（ x）（ x R）上任一点（ x0， f（ x0）处的切线斜率 k=（ x0 2）（ x0+1） 2，则函数 f（ x）的极值点的个数（ ） A 0个 B 1个 C两个 D三个 【考点】 6D：利用导数研究函数的极值 【分析】由题意可知函数的导函数为（ x0 2）（ x0+1） 2 ，求 出函数的单调区间，求出函数的极值点的个
11、数即可 - 6 - 【解答】解：由题意可知函数的导函数为 f （ x） =（ x0 2）（ x0+1） 2， 令 f （ x） 0，解得： x 2， f（ x）在（ ， 2）递减，在（ 2， + ）递增， f（ x）在极小值是 f（ 2）， 故函数 f（ x）的极值点的个数是 1个， 故选： B 【点评】此题主要考查函数导函数的性质及函数的单调性，考查函数的极值点，是一道基础题 5若 （ 2x+ ） dx=3+ln2，则 a的值是（ ） A 6 B 4 C 3 D 2 【考点】 67：定积分 【分析】将 等式左边计算定积分，然后解出 a 【解答】解：因为 （ 2x+ ） dx=3+ln2， 所
12、以（ x2+lnx） | =a2 1+lna=3+ln2，所以 a=2； 故选 D 【点评】本题考查了定积分的计算；关键是正确找出被积函数的原函数 6已知函数 有最大值 4，则 a的值为（ ） A 1 B 1 C 4 D 4 【考点】 5A：函数最值的应用 【分析】利用换元法，结合基本不等式，根据函数 有最大值 4，即可求得 a的值 【解答】解：令 x 1=t（ t 0），则 x=t+1， y= =a （ +2） t 0， 2， +2 4 知函数 有最大值 4， a= 1 故选 B - 7 - 【点评】本题考查函数的最值，考查基本不等式的运用，考查学生的计算能力，属于基础题 7设 f（ x），
13、 g（ x）在上可导，且 f（ x） g（ x），则当 a x b时有（ ） A f（ x） g（ x） B f（ x） g（ x） C f（ x） +g（ b） g（ x） +f（ b） D f（ x）+g（ a） g（ x） +f（ a） 【考点】 6A：函数的单调性与导数的关系 【分析】比较大小常用方法就是作差，构造函数 F（ x） =f（ x） g（ x），研究 F（ x）在给定的区间上的单调性， F（ x）在给定的区间上是增函数从而 F（ x） F（ a），整理后得到答案 【解答】解：设 F（ x） =f（ x） g（ x）， 在上 f（ x） g（ x）， F （ x） =f （
14、x） g （ x） 0， F（ x）在给定的区间上是增函数 当 x a时， F（ x） F（ a）， 即 f（ x） g（ x） f（ a） g（ a） 即 f（ x） +g（ a） g（ x） +f（ a） 故选： D 【点评】本题考查的知识点是利用导数研究函数的单调性，其中根据已知条件构造函数 F（ x）=f（ x） g（ x），进 而判断其单调性是解答本题的关键 8将正奇数 1， 3， 5， 7， ? 排成五列（如表），按此表的排列规律， 2017所在的位置是（ ） A第一列 B第二列 C第三列 D第四列 【考点】 F1：归纳推理 【分析】该数列是等差数列， an=2n 1，四个数为一行，由通项公式算多少行比较容易；偶数行在第一列有数，并且，数的大小都是从右往左逐增从而能求出 2017是哪列 - 8 - 【解答】解：由题意，该数列是等差数列， 则 an=a1+（ n 1） d=1+（ n 1） 2=2n 1， 由公式得 n=（ 2017+1） 2=1008， 由四个数为一行得 1008 4=252， 由题意 2017这个数为第 252行 2列 故选： B 【点评】本题考查了数字的排列规律，找到相应行和相应列的规律是解决问题的关键 二、填空题（本大题共 6小题，每小题 5分，共 30分） 9设 i 是虚数单位，复数 为纯虚数，则实数 a的值为
