1、 1 定远民族中学 2017-2018学年度下学期期中考试卷 高二理科数学 （本卷满分 150分，考试时间 120分钟） 注意事项： 1答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2请将答案正确填写在答题卡上 第 I卷（选择题 60分） 一、选择题 （本题有 12 小题，每小题 5分，共 60 分。） 1.设 为虚数单位，则复数 的共轭复数为 （ ） A. B. C. D. 2.已知复数 在复平面对应的点在第四象限，则实数 的 取值范围是 （ ） A. B. C. D.-1,4 3.计算：=（ ）A.2 B. 2 C.2i D. 2i 4.已知复数 z= 2+i，则复数的模为（ ）A.1 B.
2、C. D.2 5.已知函数 ? ? 3232f x ax x? ? ?，若 ? ? 1 4f ?，则 a 的值等于（ ） A. 193 B. 163 C. 103 D. 83 6.已知函数 f（ x） = ，则 y=f（ x）的图象大致为（ ） A. B. C. D. 2 7.已知函数 f（ x）是定义在 R上的奇函数，当 x 0时， f（ x） =（ x+1） ex则对任意的 mR ，函数 F（ x） =f（ f（ x） m的零点个数至多有（ ） A.3个 B.4个 C.6个 D.9个 8.定积分=（ ）A.10 ln3 B.8 ln3 C. D. 9.对任意的 0x? ，总有 ? ? lg
3、 0f x a x x? ? ? ?，则 a 的取值范围是（ ） A. ? ? lg lg lgee? ? ?， B. ? ?1?， C. ? ?1 lg lg lgee?， D. ? ?lg lg lgee? ? ?， 10.由曲线 y= ，直线 y=x 2 及 y轴所围成的图形的面积为（ ） A. B.4 C. D.6 11.用数学归纳法证明 1+a+a2+?+a n+1= （ a1 ， nN *），在验证当 n=1时，等式左边应为（ ） . A. 1 B. 1+a C. 1+a+a2 D. 1+a+a2+a3 12.用反证法证明 “ 若 a+b+c 3，则 a， b， c中至少有一个小于
4、 1” 时， “ 假设 ” 应为（ ） A. 假设 a， b， c至少有一个大于 1 B. 假设 a， b， c都大于 1 C. 假设 a， b， c至少有两个大于 1 D. 假设 a， b， c都不小于 1 第 II 卷（非选择题 90分 ） 二、填空题 （本题有 4 小题，每小题 5分，共 20 分。） 13.观察下列数表： 1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 21 23 25 27 29 设 2017是该表第 m 行的第 n 个数，则 mn? 的值为 _ 14.已知复数 ，则 |z|= 3 15.若函数 f(x) xsin x cos x， 则 f2? _ 16.已知函数
5、下列四个命题： f(f （ 1） )f（ 3）； x0(1,+),f(x 0)=-1/3； f(x) 的极大值点为 x=1； x1,x2(0,+),|f(x 1)-f(x2)|1 其中正确的有 （写出所有正确命题的序号） 三、解 答题 （本题有 6 小题，共 70分。） 17. （ 6分） 设复数 ，若 ，求实数 的值。 18. （ 14分） 已知函数 （ ） （ 1）求函数 的单调增区间； （ 2）若函数 在 上的最小值为 ，求 的值 . 19. （ 14分） 在数列 ?na 中， 1 1a? ，当 2n? 时， 1, 2nnna S S ?成等比数列。 （ 1）求 234,a a a ，并
6、推出 na 的表达式； （ 2）用数学归纳法证明所得结论 . 20. （ 12分） 设 ? ? ? ?202 8 ( 0 )xF x t t d t x? ? ? ? （ 1）求 ?Fx的单调区间； （ 2）求函数 ?Fx在 ? ?13， 上的最值 21. （ 12分） （ 1）当 0n? 时，试用 分析法证明： 2 1 1n n n n? ? ? ? ? ?； 4 （ 2）已知 xR? ， 2 1, 2 2a x b x? ? ? ?.求证： ab、 中至少有一个不小于 0. 22. （ 12分） 现有一张长为 108cm ，宽为 cma （ 108a? ）的长方形铁皮 ABCD ，准备用它
7、做成一个无盖长方体铁皮容器，要求材料利用率为 100%，不考虑焊接处损失 .如图，在长方形 ABCD 的一个角上剪下一块边长为 ? ?cmx 的正方形铁皮，作为铁皮容器的底面，用余下材料剪拼后作为铁皮容器的侧面，设长方体的高为 ? ?cmy ，体积为 ? ?3cmV . （ ）求 y 关于 x 的函数关系式； （ ）求该铁皮容器体积 V 的最大值 . 5 参 考 答案 1.B 【解析】 由于 ，所以 的共轭复数为 ，故答案为： B. 把分母实数化乘以分母的共轭复数整理即可得到该复数的共轭复数。 2.C 【解析】复数 ， 在复平面内对应的点 在第四象限，则 ， 解得 . 实数 a的取值范围是 (
8、?1,4). 故答案为： C. 3. 【解析】 = = =2， 故答案为： A 4.B 【解析】： z= 2+i， ， 则复数 的模 ， 故选： B 5.C 【解析】 ? ? 2 103 6 4 3 6 , 3f x a x x a a? ? ? ? ? ,选 C. 6 6.B 【解析】：设 g(x)=ln(x+1)-x, 则 g （ x） = g （ x）在（ 1， 0）上为增函数，在（ 0， + ）上为减函数 g （ x） g（ 0） =0 f （ x） = 0 得： x 0或 1 x 0 均有 f（ x） 0排除 A， C， 又 f（ x） = 中， ，能排除 D 故答案为： B 7.A
9、 【解析】当 x 0时， f（ x） =（ x+1） ex，可得 f （ x） =（ x+2） ex，可知 x （ ， 2），函数是减函数， x （ 2， 0）函数是增函数， f（ 2） = ， f（ 1） =0，且 x0 时， f（ x） 1 ，又 f（ x）是定义在 R上的奇函数，f（ 0） =0，而 x （ ， 1）时， f（ x） 0， 所以函数的图象如图：令 t=f（ x）则 f（ t） =m， 由图象可知：当 t （ 1， 1）时，方程 f（ x） =t至多 3个根，当 t?（ 1， 1）时，方程没有实数根， 而对于任意 mR ，方程 f（ t） =m 至多有一个根， t （ 1，
10、 1）， 从而函数 F（ x） =f（ f（ x） m的零点个数至多有 3个 故答案为： A 7 当 x 0时， f（ x） =（ x+1） ex，可得 f （ x） =（ x+2） ex可知 x （ ， 2），函数是减函数， x （ 2， 0）函数是增函数，并且 f（ 2） = ? ， f（ 1） =0，且 x0 时， f（ x） 1 ，根据 f（ x）为奇函数，其图像关于原点对称，根据分析结果，作出 f（ x）的大致图象，数形结合不难得出零点最多为 3个 . 8.B 【解析】 = =8 ln3， 故答案为： B 9.A 【解析】 原问题即 lgx x a? ? 在区间 ? ?0,? 上恒成
11、立，考查临界情况，即函数? ? lgg x x? 与 ? ?h x x a? ? 相切时的情形， 很明显切点横坐标位于区间 ? ?0,1 内，此时， ? ? ? ? 1lg , ln 1 0g x x g x x? ? ?， 由 ? ?1gx? 可得 ： 1 lgln10xe? ? ? ? ， 则切点坐标为： ? ? ?lg , lg lgee? ， 切线方程为 ： ? ?lg lg lgy e x e? ? ?， 令 0x? 可得纵截距为： ? ?lg lg lgee? ， 结合如图所示的函数图象可得则 a 的取值范围是 ? ? lg lg lgee? ? ?， . 8 10.C 【解析】联
12、立方程 得到两曲线的交点（ 4， 2）， 因此曲线 y= ，直线 y=x 2及 y轴所围成的 图形的面积为： S= 故答案为： C 11.C 【解析】本题难度适中，直接代入，当 时，左边 ，故选 C. 9 12.D 【解析】由于命题： “ 若 a， b， c中至少有一个小于 1” 的反面是： “a ， b， c都不小于 1” ， 故用反证法证明 “ 若 a+b+c 3，则 a， b， c中至少有一个小于 1” 时， “ 假设 ” 应为 “a ， b，c都不小于 1” ， 故选 D 13.508 【解析】 根据数表的数的排列规律， 1,3,5,. 都是连续奇数第一行 ， 有 1个数，第二行 ，
13、有2 个数 ,且第一个数是 221? ； 第三行 ， 有 3 个数，且第一个数是 321? ； 第四行 ， 有 4 个数 ，且第一个数是 42 1.? ， 第 n 行 ， 有 n 个数，且第一个数是 21n? ， 1 0 1 12 1 1 0 2 3 , 2 1 2 0 4 7? ? ? ?， 2017? 在第 10行 ， ? ?2 0 1 7 1 0 2 3 + 1 2 , 4 9 8nn? ? ? ?， 2017? 是第 10行的第 498 个数， 1 0 4 9 8 5 0 8mn? ? ? ? ?， 故答案为 508 . 14. 【解析】复数 = = i 1， 则 |z|= = 故答案
14、为： 15.0 【解析】 f(x) xsin x cos x， f(x) (xsin x cos x) (xsin x) (cos x) sin x xcos x sin x xcos x. 10 f2? 2? cos2? 0. 答案： 0 16. 【解析】 函数 的图形如图所示，对于 ， ， 正确；对于 ， 时， ，故 正确；对于 ，根据图形可判断 正确；对于 ， 时， ，故 正确 . 故答案为： . 17.a=-3,b=4. 【解析】 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?2221 3 1 3 23 5 512 2 5 51 1 2 1132 1 4i i i iiiziiiz a z b i a i b a b a i ia b aab? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?解 ：解 得 ：18.（ 1） 由题意， 的定义域为 ，且 .
