1、全国万人“新常态课堂”全国万人“新常态课堂” 精品课件 小学生可以学习哪些数学推理？小学生可以学习哪些数学推理？ 华东师范大学数学系华东师范大学数学系 XX 引子：数学核心素养 正在修订的我国正在修订的我国普通高中数学课程标准普通高中数学课程标准中提出了六个数学核心素养，中提出了六个数学核心素养， 其中之一就是“逻辑推理”，课标将从三个方面进行说明：其中之一就是“逻辑推理”，课标将从三个方面进行说明： 1.内涵内涵：逻辑推理是指从一些事实和命题出发，依据逻辑规则推出一个命题的思逻辑推理是指从一些事实和命题出发，依据逻辑规则推出一个命题的思 维过程。主要包括两类：一类是从小范围成立的命题推断更大
2、范围内成立的命维过程。主要包括两类：一类是从小范围成立的命题推断更大范围内成立的命 题的推理，推理形式主要有归纳、类比；一类是从大范围成立的命题推断小范题的推理，推理形式主要有归纳、类比；一类是从大范围成立的命题推断小范 围内也成立的推理，推理形式主要有演绎推理。围内也成立的推理，推理形式主要有演绎推理。 2.学科价值学科价值：逻辑推理是得到数学结论、构建数学体系的重要方式，是数学严谨逻辑推理是得到数学结论、构建数学体系的重要方式，是数学严谨 性的基本保证。逻辑推理是数学交流的基本品质，使数学交流具有逻辑性。性的基本保证。逻辑推理是数学交流的基本品质，使数学交流具有逻辑性。 3.教育价值教育价
3、值：通过逻辑推理核心素养的培养，学生能够发现和提出命题，掌握推通过逻辑推理核心素养的培养，学生能够发现和提出命题，掌握推 理的基本形式，表述论证的过程，理解数学知识之间的联系；能够理解一般结理的基本形式，表述论证的过程，理解数学知识之间的联系；能够理解一般结 论的来龙去脉、形成举一反三的能力；能够形成有论据、有条理、合乎逻辑的论的来龙去脉、形成举一反三的能力；能够形成有论据、有条理、合乎逻辑的 思维习惯和交流能力。思维习惯和交流能力。 提纲 一一什么是数学推理什么是数学推理 二二关于数学推理的教学活动关于数学推理的教学活动 三三小学数学推理举例小学数学推理举例 一、什么是数学推理？ 首先你要自
4、己琢磨某件事，看出其中的规律，并且确认这种首先你要自己琢磨某件事，看出其中的规律，并且确认这种 规律是不变的；然后你要找到证据，让那些支持你的想法的规律是不变的；然后你要找到证据，让那些支持你的想法的 人也确信有这个规律；当还有人向你提出质疑时，你要能够人也确信有这个规律；当还有人向你提出质疑时，你要能够 说服他们，抵制各种可能的反例。说服他们，抵制各种可能的反例。 从中小学的观点看数学证明的教与学从中小学的观点看数学证明的教与学 小学阶段数学推理的基本活动 寻找寻找 规律规律 空间空间 形式形式 数量数量 关系关系 形状相同形状相同/相似相似 度量：长度、角度、周长与面积度量：长度、角度、周
5、长与面积 守恒与等价守恒与等价 包含与大小关系包含与大小关系 运算规则和运算律运算规则和运算律 图形的分类：依据，类别关系图形的分类：依据，类别关系 图形的变换：变与不变图形的变换：变与不变 函数关系，递归关系函数关系，递归关系 相关文献中的数学推理价值相关文献中的数学推理价值 推理是数学的本质特征；推理是数学的本质特征； 推理是一种思维习惯（推理是一种思维习惯（你为什么认为它是正确的？你为你为什么认为它是正确的？你为 什么这样说？什么这样说？）；）； 推理是产生猜想和判断真伪的工具；推理是产生猜想和判断真伪的工具； 推理是数学能力的基础（推理是数学能力的基础（美国高中数学课程焦点美国高中数学
6、课程焦点） 推理是一种学习和理解数学的方式。推理是一种学习和理解数学的方式。 推理是理解和应用数学的基础推理是理解和应用数学的基础 现在我们已经逐渐认识到：推理是理解和应用数学的基础现在我们已经逐渐认识到：推理是理解和应用数学的基础 。我们应该通过让学生参与数学探究、表征、猜想、解释和判。我们应该通过让学生参与数学探究、表征、猜想、解释和判 断等各种数学活动来加强数学推理与证明的教学。断等各种数学活动来加强数学推理与证明的教学。 (Baroody, 1998; Clements, Sarama, NCTM, 2000; Russell, 1999; Stiff, 1999). 二、关于数学推理
7、的教学活动 推理与证明的教学目标推理与证明的教学目标: 认识到推理与证明是数学的基本特征认识到推理与证明是数学的基本特征; 学会提出和探讨数学猜想学会提出和探讨数学猜想; 能够考察和评估数学论证与证明过程能够考察和评估数学论证与证明过程; 能够选择和运用各种推理和证明的方法能够选择和运用各种推理和证明的方法. 推理和证明应该成为推理和证明应该成为K-12学生数学经历学生数学经历 的一个重要组成部分。数学推理的一个重要组成部分。数学推理 是一种思维方式，就像其它的思维方式一样，必是一种思维方式，就像其它的思维方式一样，必 须在各种背景下、持之须在各种背景下、持之 以恒的发展。以恒的发展。 推理与
8、证明必须成为一种自然的、持续不断的课堂讨论形式，不管涉及的推理与证明必须成为一种自然的、持续不断的课堂讨论形式，不管涉及的 是什么内容。在一个富有成效的数学课堂环境中，应该要求学生去解是什么内容。在一个富有成效的数学课堂环境中，应该要求学生去解 释释 和论证他们得到的结论。和论证他们得到的结论。 美国美国NCTM标准（标准（2000） 对数学思维的界定（英国） 1. 能够运用一系列的数学问题解决策略能够运用一系列的数学问题解决策略; 2. 能够灵活地、创造性地运用数学能够灵活地、创造性地运用数学; 3. 理解数学工具在什么时候运用是合适的，完成某个任务的最好的数学工具理解数学工具在什么时候运用
9、是合适的，完成某个任务的最好的数学工具 是什么？是什么？ 4. 能够探究事物的模式和一般化结果能够探究事物的模式和一般化结果; 5. 在数学问题解决过程中能够进行系统的、逻辑地推理在数学问题解决过程中能够进行系统的、逻辑地推理; 6. 有能力用口头（用自己的语言和数学语言）和书面（图片、表格或符号）有能力用口头（用自己的语言和数学语言）和书面（图片、表格或符号） 为别人作出解释或评价为别人作出解释或评价; 7. 以团队的形式合作解决数学问题，其中，每个人不只是发表观点，还要学以团队的形式合作解决数学问题，其中，每个人不只是发表观点，还要学 会倾听、提问以及学习别人的长处会倾听、提问以及学习别人
10、的长处; 8. 在数学学习中具有较高的自信心和坚持不懈的精神在数学学习中具有较高的自信心和坚持不懈的精神; 9. 构建广泛的数学联系，不仅是数学内部的联系，也包括数学与其它学科的构建广泛的数学联系，不仅是数学内部的联系，也包括数学与其它学科的 联系；不仅是学校数学的联系，也包括学校内外的联系联系；不仅是学校数学的联系，也包括学校内外的联系; 10.通过评价自己的数学学习过程不断提高自己的数学成就。通过评价自己的数学学习过程不断提高自己的数学成就。 Doreen Drews and Alice Hansen，2007 数与测量数与测量中数学推理的教学要点中数学推理的教学要点 1. 判断答案的合理
11、性判断答案的合理性. 2. 对近似值和错误进行评估和分析对近似值和错误进行评估和分析. 3. 理解数系统和数的性质与意义理解数系统和数的性质与意义. 4. 学会合理的计数方法学会合理的计数方法 美国高中数学课程焦点美国高中数学课程焦点 关于推理的教学活动 Hsieh,F. et al.(2002). From Exploration to Proof Production. G. Hanna and M. de Villiers (eds.), Proof and Proving in Mathematics Education, New ICMI Study Series 15, DOI 1
12、0.1007/978-94-007-2129-6_12, Springer Science+Business Media B.V. 活动活动 进行推理进行推理 表示论据表示论据 寻找论据寻找论据 表征表征 利用具体的数字利用具体的数字 利用例子利用例子 画图、文字、符号画图、文字、符号 澄清想法澄清想法 提炼结论提炼结论 确定论据确定论据 教 师 教 师 建构活动建构活动 描述发现描述发现 提出猜想提出猜想 解释想法解释想法 形成论据形成论据 学 生 学 生 基于数学推理的学习空间（小学）基于数学推理的学习空间（小学） 属性属性2 2：过程：过程 关系关系 推理推理 归纳归纳 推理推理 类比类
13、比 推理推理 反例反例 规则规则 推理推理 数关系数关系 几何图形几何图形 属性属性1 1：内容：内容 数概念数概念 数运算数运算 测量测量 数据分析数据分析 属性属性4 4：情境：情境 数学情境数学情境 故事情境故事情境 游戏情境游戏情境 现实情境现实情境 科学情境科学情境 理解概念和法则理解概念和法则 属性属性3 3：产品：产品 形成概念和法则形成概念和法则 提出问题和猜想提出问题和猜想 养成说理习惯养成说理习惯 学习数学的思维方式学习数学的思维方式 寻找问题解决的策略寻找问题解决的策略 基于数学推理的学习空间（分数）基于数学推理的学习空间（分数） 属性属性2 2：过程：过程 关系关系 推
14、理推理 归纳归纳 推理推理 类比类比 推理推理 反例反例 规则规则 推理推理 比比(比值比值) 图形中整体图形中整体-部分部分 属性属性1 1：分数意义：分数意义 等分除的商等分除的商 小数小数 数轴上的一点数轴上的一点 子集子集-集合集合 属性属性4 4：情境：情境 数学情境数学情境 故事情境故事情境 游戏情境游戏情境 现实情境现实情境 科学情境科学情境 理解概念和法则理解概念和法则 属性属性3 3：产品：产品 形成概念和法则形成概念和法则 提出问题和猜想提出问题和猜想 养成说理习惯养成说理习惯 学习数学的思维方式学习数学的思维方式 寻找问题解决的策略寻找问题解决的策略 三、小学数学推理活动
15、举例 （一）与数及其运算相关的推理 说明为什么两个偶数的和还是偶数？ 1. 方法方法1：举例说明（：举例说明（偶数有无穷多，能举完吗？偶数有无穷多，能举完吗？） 2. 借助模型：两堆偶数个小方块的和借助模型：两堆偶数个小方块的和 3. 它们都可以写成它们都可以写成2的倍数，把它们放在一起后仍然是的倍数，把它们放在一起后仍然是2的倍数。的倍数。 4. 如果如果m和和n都是偶数，那么根据偶数的定义，存在整数都是偶数，那么根据偶数的定义，存在整数k和和j，使，使 得得m = 2k，n = 2j. 所以所以 m + n =2k +2j =2（k + j），即），即m + n 是某个整数的是某个整数的2
16、倍，所以倍，所以m + n是偶数是偶数. 三位数的加法 1. 花朵后面都躲着同样的数，它可能是什么数？花朵后面都躲着同样的数，它可能是什么数？ 2. 下面的方框填入什么数可以使结果变成四位数？下面的方框填入什么数可以使结果变成四位数？ 如果第如果第2个三位数的百位数是个三位数的百位数是8，那么两个数之和一定是四位数；，那么两个数之和一定是四位数； 如果第如果第3个三位数的百位数是个三位数的百位数是7，并且两个三位数的十位数之和大于或等于，并且两个三位数的十位数之和大于或等于10（如（如 28+73，24+76），那么两个数之和一定是四位数；），那么两个数之和一定是四位数； 如果第如果第3个三位
17、数的百位数是个三位数的百位数是7，并且两个三位数的十位数之和等于，并且两个三位数的十位数之和等于9，则需要两个三，则需要两个三 位数的各位数之和大于位数的各位数之和大于10（如（如284+717），这时，两个数之和一定是四位数。），这时，两个数之和一定是四位数。 这是一个这是一个open-ended问题，有问题，有5742个答案。个答案。 类似的例子 为什么下面的等式成立，请说明理由：为什么下面的等式成立，请说明理由： 1. 4 + 2 = 9 3 ？ 2. 如果如果 ？ + 3 = 6 2，那么？代表哪个数？，那么？代表哪个数？ 3. 猜想：相邻两个自然数的和有什么规律？（一定是奇数猜想：相
18、邻两个自然数的和有什么规律？（一定是奇数 ） ； 4. 32，46，84，24，18，62，57，15中哪些数字之和恰中哪些数字之和恰 好等于好等于100？（？（俄罗斯院士俄罗斯院士） 5. 比较比较2/3与与201/301的大小；的大小； 6. 写下你的年龄，加上写下你的年龄，加上5，再将刚得到的这个数乘以，再将刚得到的这个数乘以2，再，再 加上加上10，最后再乘以，最后再乘以5. 告诉我最后的结果，我可以猜出告诉我最后的结果，我可以猜出 你的年龄（你的年龄（NCTM，2000，56） 小学生可以“证明”的结论 1. 被减数相同时，减数越小，差就越大被减数相同时，减数越小，差就越大. 2.
19、加数交换不影响加法的结果加数交换不影响加法的结果. 3. 两个奇数的和是一个偶数；两个奇数的和是一个偶数； 4. 乘数和被乘数的位置不影响乘法的结果（乘法交换律）；乘数和被乘数的位置不影响乘法的结果（乘法交换律）； 5. 在一个加法算式中，如果在一个加数上减少一部分，同时在另一个加数在一个加法算式中，如果在一个加数上减少一部分，同时在另一个加数 上增加相同的部分，那么加法的结果不变；上增加相同的部分，那么加法的结果不变； 6. 在一个减法算式中，如果被减数和减数减少（或增加）相同的值，其差在一个减法算式中，如果被减数和减数减少（或增加）相同的值，其差 不变；不变； 7. 如果把一个乘数减少一半
20、，同时另一个乘数增加一倍，其积不变；如果把一个乘数减少一半，同时另一个乘数增加一倍，其积不变； 8. 一个数的因数也一定是这个数的倍数的因数；一个数的因数也一定是这个数的倍数的因数； 9. 在一个乘法问题中，可以把一个乘数拆成两项，每一项乘以另外一个乘在一个乘法问题中，可以把一个乘数拆成两项，每一项乘以另外一个乘 数后再相加（乘法对加法的分配律）。数后再相加（乘法对加法的分配律）。 从中小学的观点看数学证明的教与学从中小学的观点看数学证明的教与学 解释分数除法的意义 111 3 223 11 2=23232 33 因为，所以 111111 =33 223223 因为，所以 6=23632因为，
21、所以 为什么为什么 教学案例 案例名案例名：钟面数字问题：钟面数字问题 授课者授课者：戎伟琴：戎伟琴 年年 级级：小学六年级：小学六年级 学学 校校：浙江海宁先锋小学：浙江海宁先锋小学 （二）比例推理 比例推理比例推理的常见类型的常见类型 1. 基于分数单位的推理基于分数单位的推理 (如如, 4/5, 因为因为 1/8 比比 1/5 小小); 3. 基于模型的推理基于模型的推理 (数轴，积木，方格纸等数轴，积木，方格纸等); 4. 利用某个参照物，如利用某个参照物，如 1/2; 5. 利用等价性；利用等价性； 6. 利用比例的性质，如利用比例的性质，如b/a = d/c中已知三项求缺项中已知三
22、项求缺项 (Behr, Wachsmuth, Post, & Lesh, 1984) 比例推理比例推理基本策略基本策略 1. 利用分子相同、分母不同的大小规则利用分子相同、分母不同的大小规则 2211 (5(1-=1- ) 757755 3. 依据数轴依据数轴 1 1 11 7 2 6 13 9 比较， ，的大小 0 1 美国公共核心数学课程（CCSS）中的比例推理 马克知道用马克知道用2升蓝色颜料和升蓝色颜料和3升黄色颜料可以配成一种绿色颜料。现在他升黄色颜料可以配成一种绿色颜料。现在他 想配想配45升的这种绿色颜料，为此，他想画了一张下面的表，但只写了两升的这种绿色颜料，为此，他想画了一张
23、下面的表，但只写了两 行就不知道怎么写下去啦。你有什么建议吗？行就不知道怎么写下去啦。你有什么建议吗？ 美国公共核心数学课程（CCSS）中的比例推理 凯利和汤姆想把一张图片放大，放大后的图片的长宽之比和原凯利和汤姆想把一张图片放大，放大后的图片的长宽之比和原 来图片的长宽之比一样。如果要放大的一张图片的尺寸是来图片的长宽之比一样。如果要放大的一张图片的尺寸是344 ，那么放大后的图片的尺寸是多少？凯利认为是，那么放大后的图片的尺寸是多少？凯利认为是912912，汤姆，汤姆 则说是则说是11121112，你认为哪个是正确的，为什么？，你认为哪个是正确的，为什么？ 美国公共核心数学课程（CCSS）
24、中的比例推理 如图，钢琴通常由黑白两种键组成：如图，钢琴通常由黑白两种键组成： 1. 图中黑白键的比是多少？图中黑白键的比是多少？ 2. 如果一架钢琴有如果一架钢琴有35个白键，那么黑键有多少？个白键，那么黑键有多少？ 3. 如果一架钢琴总共有如果一架钢琴总共有240个键，那么黑键有多少？个键，那么黑键有多少？ 其它其它比例推理问题比例推理问题 1. 有两辆小车，有两辆小车，A车车3小时跑了小时跑了180 km. B车车7小时跑了小时跑了 400 km ，问：哪辆车更快，问：哪辆车更快? 2. 贝利和马拉多纳都是伟大的足球运动员。贝利在贝利和马拉多纳都是伟大的足球运动员。贝利在300场比赛中场
25、比赛中 进了进了300球，马拉多纳在球，马拉多纳在500场比赛中进了场比赛中进了400球。你认为谁球。你认为谁 的得分率更高的得分率更高? 3. 有两位大小一样的披萨，其中一块被有两位大小一样的披萨，其中一块被7个女孩平分，另一块被个女孩平分，另一块被 3位男孩平分。问：女孩和男孩哪个分得多（位男孩平分。问：女孩和男孩哪个分得多（Karplus et al., 1983) 4. 德文今天跑步的时间比昨天长，但跑的距离比昨天短。那么德文今天跑步的时间比昨天长，但跑的距离比昨天短。那么 ，和昨天相比，他今天的跑步速度：，和昨天相比，他今天的跑步速度： (a)比昨天快比昨天快, (b) 比昨天比昨天
26、 慢慢, (c) 和昨天一样，和昨天一样， (d) 无法判断，因为信息不够无法判断，因为信息不够 （三）关系推理 类比推理 请解释下列物体（图形）之间的关系？请解释下列物体（图形）之间的关系？ 递归推理 1. 下面的数列有什么规律？下面的数列有什么规律？ 1， 3， 6， 10， 2. 除了下面的例子外，你还能找出其它例子满足上面除了下面的例子外，你还能找出其它例子满足上面 的规律吗？的规律吗？ 谁的三分球最准？ 在在2008 2009 的的NBA赛季中，詹姆士、科比、韦德和安东尼投三分球赛季中，詹姆士、科比、韦德和安东尼投三分球 的情况如下：的情况如下： 球员球员 投中三分球的个数投中三分球
27、的个数 投三分球的总次数投三分球的总次数 詹姆士詹姆士 132 384 科比科比 118 336 韦德韦德 88 278 安东尼安东尼 63 170 如果按照第二列的数据，哪位球员投中最多？如果按照第二列的数据，哪位球员投中最多？ 只按照第二列来比较球员的三分球的准度合理吗？你认为应该怎样比只按照第二列来比较球员的三分球的准度合理吗？你认为应该怎样比 较？较？ （四）图形和空间推理 图形的分解 你可以把一个矩形三等分、四等分、五等分、你可以把一个矩形三等分、四等分、五等分、吗？吗？ 图形的分类 给一些提示，让你的同学猜猜是下面的哪个图形？给一些提示，让你的同学猜猜是下面的哪个图形？ 图形的分类
28、 下面的图形由两种颜色的五个小方块组成，如何把它们分类？下面的图形由两种颜色的五个小方块组成，如何把它们分类？ 阴影部分的面积 1. 已经两个等圆的半径为已经两个等圆的半径为5cm，求阴影部分的面积。，求阴影部分的面积。 2. 下面图形中的阴影部分哪个面积最大？下面图形中的阴影部分哪个面积最大？ 图形的周长 1. 如果一本书的厚度和宽度分别是如果一本书的厚度和宽度分别是3cm和和15cm，用，用16本这样的书本这样的书 堆成下图中的“台阶”，那么这个台阶的轮廓的周长是多少？堆成下图中的“台阶”，那么这个台阶的轮廓的周长是多少？ 划分平面问题 设圆周上有设圆周上有n个点，有这些点连成的弦可以把圆
29、面划分为几部分？个点，有这些点连成的弦可以把圆面划分为几部分？ 折纸中的推理 1. 最后图形的内角、边长和面积是多少最后图形的内角、边长和面积是多少? 2. 给你一个图形，你一定可以把它折出来吗？给你一个图形，你一定可以把它折出来吗？ 空间推理 （Visuospatial Reasoning） 下面哪个图形旋转后是一样下面哪个图形旋转后是一样 的？的？ 教学案例：数图形中的推理 课题：数图形课题：数图形 教材：北师大版数学上册教材：北师大版数学上册93-94页页 年级：四年级年级：四年级 任教：杨姣萍老师任教：杨姣萍老师 学校：浙江省义乌市义亭小学学校：浙江省义乌市义亭小学 时间：时间：201
30、4年年12月月4日日 围绕关键属性的变式设计围绕关键属性的变式设计 教材教材：北师大版小学数学四年级上册：北师大版小学数学四年级上册93-94页页 原题原题：鼹鼠去菜地旅行：鼹鼠去菜地旅行 小鼹鼠有多少条不同的线路？小鼹鼠有多少条不同的线路？ 基于关键属性的学习空间基于关键属性的学习空间 属性属性1：维度：维度 1维维 0维维 2维维 属性属性2：情境：情境 模型模型 图形图形 符号符号 故事故事 属性属性3：算法：算法 树形图树形图 公式公式 递归递归 图表图表 思考：这个课例中涉思考：这个课例中涉 及哪些数学推理？及哪些数学推理？ 相关文献 从中小学的观点看数学证从中小学的观点看数学证 明的教与学明的教与学 数学教育数学教育中中的论证与的论证与证证 明明 思维与推理的剑桥手册思维与推理的剑桥手册 谢谢！谢谢！
