1、 1 广西桂林市 2016-2017 学年高二数学下学期期中试题 文 （考试时间 120分钟，满分 150分） 1本试卷分为第 卷（ 选择题）和第 卷（非选择题）两部分。 2所有的题目 请在规定的答题卷上做答，否则无效 。 第 卷 选择题 一 选择题 : 本题共 12 小题， 每小题 5 分，共 60 分 . 在每小题列出的四个选项中，选出最符合题目要求 的一项 . 1 若复数 z 满足 iiz ?1 ，其中 i 是虚数单位，则复数 ?z （ ） A. i?1 B. i?1 C. i?1 D. i?1 2 曲线 3 4y x x?在点 ? ?1, 3? 处的切线倾斜角为（ ） A. 34? B
2、. 4? C. 23? D. 56? 3 把二进制数 ?21010化为十进制数为（ ） A 20 B 12 C 11 D 10 4 变量 ,xy之间的一组相关数据如下表所示： 若 ,xy之间的线性 回归方程为 12 2? .8?y bx? ，则 ?b 的值为（ ） A. -0.96 B. -0.94 C. -0.92 D. -0.98 5 已知命题 :0pa? ， 1 2a a?，命题 0 0 0: , s i n c o s 3q x R x x? ? ? ?， 则下列判断正确的是（ ） A.p 是假 命题 B.q 是真命题 C. ? ?pq? 是真命题 D.? ?pq?是真命题 6 在等差
3、数列 ?na 中，已知 37,aa是函数 ? ? 2 43f x x x? ? ?的两个零点，则 ?na 的前 9项和等于（ ） x 4 5 6 7 y 8.2 7.8 6.6 5.4 2 A. -18 B. 9 C. 18 D. 36 7.阅读如右图所示的程序框图，运行相应的程序，输出的 S的值 等于 ( ) A 18 B 20 C 21 D 40 8 已知 02:;2: 2 ? xxqxp ，则 p 是 q 的 ( ） A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 9 已知双曲线 12222 ?byax 的一条渐近线方程为 xy 43? ，则此双曲线的离心
4、率为 ( ) A.45 B.34 C.35 D. 37 10 不等式 012222 ? baba 成立的 充要条件 是 ( ) A. 1?a 且 1?b B. 1?a 且 1?b C. 0)1)(1( ? ba D. 0)1)(1( ? ba 11 已知函数 ? ?27,1,lo g)( 3 ? xxxf ，则不等式 2)(1 0 ? xf 成立的概率是（ ） A.31 B. 61 C.133 D. 92 12 若函数 2ln)( 2 ? axxxf 在区间 ? 2,21内存在单调递增区间，则实数 a 的取值范围是 A. ? ?2,? B. ? ? ,81 C. ? ? 81,2 D. ? ?
5、 ,2 （ ） 第 卷 非选择题 二 填空题 ： 本题共 4小题，每小题 5分，共 20分 . 13 某校为了解学生 学习的情况，采用分层抽样的方法从高一 1000人、高二 1200人、高三 n 人中，抽取 80 人进行问卷调查，已知高二被抽取的人数为 30，那么 ?n 3 14 ABC? 的内角 A ， B ， C 的对边分别为 a ， b ， c ， 若 bcacb 3222 ? ，则 A 等于 15已知 0x? ，观察下列几个不等式：2 3 41 4 2 7 2 5 62 ; 3 ; 4 ; 5 ;x x x xx x x x? ? ? ? ? ? ? ?；归纳猜想一般的不等式为 16
6、从抛物线 xy 42? 图象上一点 P 引抛物线准线的垂线，垂足为 M ，且 5?PM ，设抛物线焦点为 F ，则 PFM? 的面积为 . 三 解答题： 本大题共 6小题，共 70 分，解答应给出文字说明、证明过程或演算步骤 . 17 (本小题满分 10分 ) 如图，在 ABC? 中， 6,10,192 ? BCACAB ， D 是边 BC 延长线 上的一点， 030?ADB ，求 AD 的长 . 18 (本小题满分 12分 ) 已知等差数列 ?na 的前 n 项和为 nS ，且满足 63,24 74 ? SS （ 1）求数列 ?na 的通 项公式； （ 2）若 nan ab n ?2 ，求数
7、列 ?nb 的前 n 项和 nT 19 (本小题满分 12分 ) 已知函数 Rxxexf x ? ,1)( 2 4 （ 1）求函数 )(xf 的图象在点 )0(,0( f 处的切线方程； （ 2）当 Rx? 时，求证： xxxf ? 2)( . 20 (本小题满分 l2分 ) 电视传媒公司为了了解某地区电视观众对某类体育节目的收视情况，随机抽取了 100名观众进行调查，其中女性有 55 名 .下面是根据调查结果绘制的观众日均收看该体育节目时间的频率分布直方图，将日均收看该体育节目时间不低于 40 分钟的观众称为 “ 体育迷 ” ，已知 “ 体育迷 ” 中有 10名女性 . （ 1）根据已知条件
8、完成下面的 22? 列联表，并据此资料判断你 是否有 95以上的把握认为 “ 体育迷 ” 与性别有关 ? 参考公 式 : （ 2）将日均收看该体育项目不低于 50 分钟的观众称为 “ 超级体育迷 ” ，已知 “ 超级体育迷 ” 中有2 名女性，若从 “ 超级体育迷 ” 中任意选取 2人，求至少有 1名女性观众的概 率。 21 (本小题满分 12分 ) 已知椭圆 C 的中心在原点，焦点在 x 轴上，且短轴长为 2，离心率等于 552 . 非体育迷 体育迷 合计 男 女 合计 0.050 0.010 0.001 3.841 6.635 10.828 22 ()( ) ( ) ( ) ( )n a
9、d b cK a b c d a c b d? ? ? ? ?5 （ 1）求椭圆 C 的方程； （ 2 ）过椭圆 C 的右焦点 F 作直线 l 交 椭 圆 C 于 BA, 两点，交 y 轴于 M 点 ， 若BFMBAFMA 21 , ? ? ，求证： 21 ? 为定值 . 22 (本小题满分 12分 ) 设函数 2( ) ln2xf x a x? （ 1）求函数 ()y f x? 的单调区间和极值； （ 2）若函数 ()fx在区间 2(1, e 内恰有两个零点，试求 a 的取值范围 6 高二数学（文）期中考答案 1【答案】 B 【解析】 因为 iiiz ? 1)1( ，应选答案 B。 2 【答
10、案】 A 【解析】 因为 2 3 4yx?，根据导数的几何意义可得曲线 3 4y x x?在点 ? ?1, 3? 处的切线的斜率为 1 | 3 4 1xky ? ? ? ? ?，设直线 的倾斜角为 (0 )? ? ? ，则有 tan 1k? ? ，从而 34? ，故选 A. 3 【答案】 D 【解析】 3121 0 1 0 1 2 1 2 1 0? ? ? ? ? 4 【答案】 A 【解析】 由表可得样本中心点为 ? ?5.5,7 ，由线性回归方程过样本中心点可得： ?7 5.5 12.28b?，即 ? 0.96b? ，故选 A. 5 【答案】 C 【解析】 依题意可知，命题 p 为真，命题
11、q 为假，故选 C. 6 【答案】 C 【解析】 等差数列 ?na 中， 37,aa是函数 ? ? 2 43f x x x? ? ?的 两个零点， ? ?37 4, na a a? ? ? ?的前 9 项和 ? ? ? ?9 1 9 3 79 9 9 4 1 82 2 2S a a a a? ? ? ? ? ? ?，故选 C. 7 【答案】 B 【解析】程序执行数据变化如下： 0 , 1 , 3 , 2 , 3 1 5 , 9 , 3 , 9 1 5 ,s n s n s n? ? ? ? ? ? ? ? 20, 4, 20 15sn? ? ?成立，所以输出 20s? 8【答案】 B 【解析】
12、解不等式可得 : 2 2 ; : 1 2p x q x? ? ? ? ? ?，所以 p 是 q 的必要不充分条件 9 【答案】 A 【解析】 双曲线 12222 ?byax 的一条渐近线方程为 xy 43? ，所以 43?ab ， 离心率4516911 22 ? abace.故选 A. 7 10【答案】 C 【解析】a2+b2-a2b2-10 ?a2(1-b2)+(b2-1)0 ?(b2-1)(1-a2)0 ?(a2-1)(b2-1)0 ?(|a|-1)(|b|-1)0. 11 【答案】 C 【解析】区间 ? ?27,1 的长度为 26，满足不等式 2)(1 0 ? xf 即不等式 2log1
13、 03 ? x ，解答93 0?x ， 对应区间 ? ?9,3 长度为 6，由几何概型公式可得使不等式 2)(1 0 ? xf 即成立的概率是133266? ；故本题正确答案是 C。 12 【答案】 D 【解析】由题意得， axxxf 21)( ? ，若 )(xf 在区间 )2,21( 内存在单调递增区间， 存 在区间 )2,21(的子区间使 0)( ?xf ，故 )21(2xa ?的最小值， 又221)( xxg ?在 )2,21( 上是单调递增函数，所以 81)21()( ? gxg ，所以实数 的取值范围是 81?a ，故选 D。 13 【答案】 1000 【解析】分层抽样是按比例抽样
14、,可得 3012001000 120080 ? n,可得 1000?n . 14.【答案】 6? 【解析】 由已知在 ABC? 中， 23232c o s 222 ? bcbcbc acbA ，所以 6?A 15 【答案】 1nnnxnx? ? ?【解析】对给出的等式变形得， ?,133,122,111 322 ?nxxxxxx，则一般的不等式为1? nxnx nn ，（ n 是正整数） . 16 【答案】 10 【解析】 抛物线 xy 42? 中 2?p ，设 ),( 00 yxp ，则 20 pxPM ?，即 15 0?x ， d 得 40?x ，所以 40 ?y ，所以 10210 ?
15、yPMS PFM 8 17 【解析】 在 中 ,由余弦定理得 ， 所以 , , 在 中， , , ，由正弦定理得 , 所以 18【解析】 （ 1）因为 ?na 为等差数列， 所以 （ 2） 19 【解析】 （ 1） xef x 2(x) ? ， 1)0( ? fk ， 又 010)0( 0 ? ef 切点坐标为 ）， 00( ，故所 求切线方程为 xy? （ 2）令 1)()( 2 ? xexxxfxg x，令 01)( ? xeg ，得 0? ， 当 ? ?0，?x 时， 0)( ?xg ， )(xg 单调递减； 当 ? ? ，0x 时， 0)( ?xg ， )(xg 单调递增 0)0()(
16、 min ? gxg ， 0)0()( ? gxg ， 从而 xxxf ? 2)( . 非体育迷 体育迷 合计 9 20【解析】 （ 1）根据频率分布直方图计算出 “ 体育迷 ” 共计： 名， 其中女生： 10名；非体育迷： 100-25=75名，其中女生为 55-10=45名，男生： 35名 .填入表格； 将 列联表中的数据代入公式计算，得 因为 841.3030.3 ? ,所以 没有 95%的把握认为 “ 体育迷 ” 与性别有关 . （ ）由 频率 分布直方图知， “ 超级体育迷 ” 为 5 人，从而一切可能的结果所组成的基本事件为， ， ， ， ， ， ， ， ， . 其中 表示男性，
17、. 表示女性， 由 10个基本事件组成，而且这些基本事件出现是等可能的， 由 表示 “ 任选 2人中，至少有 1人是女性 ” 这一事件，则 ， ， ， ， ， A 中有 7 个基本事件组成，所以 107)( ?AP . 21 【解析】（ 1）设椭圆 C 的方程为 )0(12222 ? babyax ，则由题意知 22?b ，所以 1?b . 5 52115 52 22 22 ? aa ba，解得 52?a ，所以椭圆 C 的方程为 15 22 ?yx . （ 2）证明：设 MBA , 的点的坐 标分别为 ),0(),(),( 02211 yMyxByxA ，易知 F 点的坐标为 )0,2( ，显然直线 l 的斜率存在，设直线 l 的斜率为 k ，则直线 l
