1、 1.什么叫因式分解？2.因式分解的方法有几种？如何确定多项式的公因式？什么特点的多项式用平方差公式分解？什么特点的多项式用完全平方公式分解？因式分解的定义：因式分解的定义：把一个多项式化成几个整式的把一个多项式化成几个整式的积积的形式叫做多项式的因式分解。的形式叫做多项式的因式分解。你学过分解因式的哪些方法呢？你学过分解因式的哪些方法呢？a.提公因式法提公因式法（将多项式各项系数的（将多项式各项系数的最最大公约数大公约数，相同因式的，相同因式的最低次幂提出最低次幂提出）b.运用公式法：运用公式法：平方差公式：平方差公式：a2-b2=(a+b)(a-b)完全平方公式：完全平方公式：a2+2ab
2、+b2=(a+b)2 a2-2ab+b2=(a-b)2否否否否是是A A层练习层练习1.1.下列代数式的变形当中哪些是因式下列代数式的变形当中哪些是因式分解，哪些不是？分解，哪些不是？(1)3a2+6a=3a(a+2)(2)(2y+1)(2y-1)=4y2-1(3)18a3bc=3a2b6ac(4)a2+2a-1=a（a+2）-1sure?sure?sure?基本概念基本概念sure?否否是是否否是是A A层练习层练习2.2.检验下列因式分解是否正确？检验下列因式分解是否正确？(1)(1)2ab2+8ab3=2ab(b+4b2)(2)4(2)4x x2 2-9=-9=(4x+3x+3)(4x-
3、3x-3)(3)(3)x4-81=(x2+9)(x2-9)(4)(4)36a2-12a-1=(6a-1)2答答案案答答案案答答案案答案答案基本概念基本概念初步应用初步应用 巩固新知巩固新知144)12(22xxx在下列等式中，从左到右的变形是因式分解在下列等式中，从左到右的变形是因式分解的有（的有（）cbamcbmam)(xyxyx83242)1)(1(12xxx )11(22xxxx2 2)32(264zyxzyx B B层练习层练习填空：填空：1.1.若若 x x2 2+mx-n+mx-n能分解成能分解成(x-2)(x-5),(x-2)(x-5),则则m=m=,n=,n=。2 2x x2
4、2-8x+m=(x-4)-8x+m=(x-4)2 2,则则m=m=。3.3.给给4a4a2 2+1+1 添上一项使它能分解为添上一项使它能分解为两数的和或差的平方。两数的和或差的平方。-7-1016基本概念基本概念第一步第第一步第二环节二环节 如果一个多项式的各项含有公因式，那么如果一个多项式的各项含有公因式，那么就可以把这个公因式提出来，从而将多项式就可以把这个公因式提出来，从而将多项式化成两个因式乘积的形式，这种分解因式的化成两个因式乘积的形式，这种分解因式的方法叫做方法叫做提公因式法提公因式法。(a+b+c )ma+mb+mcm=例例:找找 3 x 2 6 xy 的公因式的公因式。系数：
5、最大系数：最大公约数。公约数。3字母：相同字母：相同的字母的字母x 所以，公因式是所以，公因式是3x。指数：相同指数：相同字母的最低字母的最低次幂次幂1正确找出多项式各项公因式公因式的关键关键是：1 1、定系数定系数：公因式的系数是多项式各项系公因式的系数是多项式各项系数的最大公约数。数的最大公约数。2 2、定字母定字母：字母取多项式各项中都含有的字母取多项式各项中都含有的相同的字母。相同的字母。3 3、定指数定指数：相同字母的指数取各项中最小相同字母的指数取各项中最小的一个，即字母最低次幂的一个，即字母最低次幂 你知道吗？你知道吗？(1)8a3b2+12ab3c例例1:把下列各式分解因式把下
6、列各式分解因式分析：提公因式法步骤（分两步）分析：提公因式法步骤（分两步）第一步第一步:找出公因式；找出公因式；第二步第二步:提取公因式提取公因式 ，即将多项式化为两个因式的乘积。即将多项式化为两个因式的乘积。(2)2a(b+c)-3(b+c)注意：注意：公因式公因式既可以是一个既可以是一个单项式单项式的形式，的形式，也可以是一个多项式的形式也可以是一个多项式的形式整体思想整体思想是数学中一种重要而且常用的思想方法。是数学中一种重要而且常用的思想方法。例例2 2 把把 12b(a-b)2 18(b-a)3 分解因式分解因式解：解：12b(a-b)2 18(b-a)3 =12b(a-b)2+18
7、(a-b)3 =6(a-b)2 2b+3(a-b)=6(a-b)2(2b+3a-3b)=6(a-b)2(3a-b)练习：练习：(x-y)2+y(y-x)3.指出下面多项式的公因式（1）2a2y4-10 x2y3（2）9xn+2-27xn+1（3）x（x-y）-y（y-x）4.下面那些多项式能用公式法分解（1）x2+y2 （2）-x2+4y2（3）4x4-9 （4）-x2-4y2（5）4x2+4x+1（6）2a-1-a（7）a2+a+（8）2a2-16ab+32b241(1)13.80.125+86.21/8(2)已知已知a+b=5,ab=3,求求a2b+ab2的值的值.解：原式解：原式=13.
8、80.125+86.20.125 =0.125(13.8+86.2)=0.125100 =12.5 解解:a2b+ab2=ab(a+b)=3 5=15巧妙计算巧妙计算看你能否过关看你能否过关？把下列各式分解因式：把下列各式分解因式：(1)8 m2n+2mn(2)12xyz-9x2y2(3)p(a2+b2)-q(a2+b2)(4)-x3y3-x2y2-xy 例1.分解因式（1）2x3-18x （2）4（x+y）2-9（x-y）2（3）-2a3b+4a2b-2ab平方差公式：平方差公式：(a+b)(a-b)=a -ba -b=(a+b)(a-b)整式乘法整式乘法因式分解因式分解两个数的平两个数的平
9、方差，等于方差，等于这两个数的这两个数的和与这两个和与这两个数的差的积数的差的积下列多项式能否用平方差公式来分下列多项式能否用平方差公式来分解因式？解因式？(1)x2+y2(2)x2-y2(3)-x2+y2(4)-x2-y2(2)(3)能，能，(1)(4)不能不能2222222169)4(01.094)3()2(251)1(1anmzyxb：把下列各式分解因式例(1)1-25b(1)1-25b2 2=1=12 2-(5b)-(5b)2 2=(1+5b)(1-5b)=(1+5b)(1-5b)(2)x(2)x2 2y y2 2-z-z2 2=(xy)=(xy)2 2-z-z2 2=(=(xy+z)
10、(xy-zxy+z)(xy-z)2201.094)3(nm 22)1.0(32nm）（)1.032)(1.032(nmnm(4)-9+16a(4)-9+16a2 2=16a=16a2 2-9-9=(4a)=(4a)2 2-3-32 2=(4a+3)(4a-3)=(4a+3)(4a-3)因式分解：因式分解：、a4+16 2、4(a+2)2-9(a-1)2 3、(x+y+z)2-(x-y-z)2 4、(a-b)n+2-(a-b)n把下列各式分解因式把下列各式分解因式 x x2 2y y2 2 1 1m m2 2 a a2 2b b2 2 x x2 2y y2 2 9 916x16x2 2 x x2
11、 29y9y2 2 4x 4x2 29y9y2 2 0.09a 0.09a2 24b4b2 2 0.36x 0.36x2 2y y2 2 x x4 4y y2 2 x x2 2y y2 2z z2 2 (12)x (12)x2 2(x(xy)y)2 2 (13)9(x(13)9(xy)y)2 2y y2 2 (14)(x (14)(x2y)2y)2 2(2x(2xy)y)2 2(15)16(a(15)16(ab)b)2 29(a9(ab)b)2 2(16)(a(16)(a2 2b b2 2)2 2a a2 2b b2 23、设、设n为整数，用因式分解说明为整数，用因式分解说明(2n+1)2 -
12、25能被能被4整除。整除。4、若、若a、b、c是三角形的三边长且满足是三角形的三边长且满足(a+b)2-(a-c)2=0，则此三角形是（，则此三角形是（）A、等腰三角形、等腰三角形 B、等边三角形、等边三角形C、直角三角形、直角三角形 D、不能确定、不能确定 1、运用简便方法计算：、运用简便方法计算：1、20032 92、（、（1-）（）（1-）（）（1-）（1-）（）（1-）122132142192 1 102探究完全平方公式的结构特征完全平方公式的结构特征：（1）左边是三项式，有两项都为正且能够写成平方的形式，另一项是刚才写成平方项两底数乘积的2倍。（2）右边是两平方项底数和的平方。利用完
13、全平方公式进行因式分解例3 把下列各式进行因式分解：后退继续9)(6)(2(4914)1(22nmnmxx利用完全平方公式进行因式分解把下列各式进行因式分解把下列各式进行因式分解2422423422)(9)(124)4(44)3(5105)2(44)1(yxyxyyxxxxxyxyx._4)3(2的值是进行因式分解，则实数可用完全平方式若mxmx利用完全平方公式进行因式分解利用完全平方公式进行因式分解若a+b=1,a+c=2,b+c=3,利用因式分解求值:a2+b2+c2+ab+bc+ac1.x2(y-4)-（y-4）分解的正确结果是（）A.（y-4）（x2-1）B.（y-4）（x2+1）C.
14、（y-4）（x+1）（x-1）D.（y+2）（y-2）（x+1）（x-1）2.若a2+b2+2a-6b+10=0，则（）A.a=1，b=3 B.a=-1，b=-3 C.a=-1，b=-3 D.a=-1,b=3例2、运用因式分解简算：（1）2.6252.14-1.122.14+2.148.495（2）7.2852-2.7152（3）6372-2637537+5372 己知x+y=4，xy=5,求 x3y+2x2y2+xy3的值。试说明x2+4x+5的值为正。335,6,_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _xyxyxyxy若则基本方法基本方法1.公因式确定公因式确定（1）系数：）系数：取
15、各系数的取各系数的最大公约数；最大公约数；（2）字母：）字母：取各项取各项相同相同的字母的字母；（3）相同字母的指数：）相同字母的指数：取取最低最低指数指数。2.变形规律：变形规律：（1）x-y=-(y-x)(2)-x-y=-(x+y)(3)(x-y)2=(y-x)2 (4)(x-y)3=-(y-x)33.一般步骤一般步骤（1）确定应提取的公因式；）确定应提取的公因式；（2）多项式除以公因式，所得的商作为另一个因式；）多项式除以公因式，所得的商作为另一个因式；（3）把多项式写成这两个因式的积的形式。）把多项式写成这两个因式的积的形式。用平方差公式分解因式的关键：用平方差公式分解因式的关键：多项
16、式是否多项式是否能看成两个数的平方的差；能看成两个数的平方的差；用完全平方公式分解因式的关键：用完全平方公式分解因式的关键：在于判断在于判断一个多项式是否为一个完全平方式；一个多项式是否为一个完全平方式；平方差公式：平方差公式：a2-b2=(a+b)(a-b)完全平方公式：完全平方公式：a2+2ab+b2=(a+b)2 a2-2ab+b2=(a-b)2 A A层练习层练习将下列各式分解因式：将下列各式分解因式：-a-ab；m-n；x+2xy+y(4)3am-3an；(5)3x+6xy+3xy基本方法基本方法=-a(a+b)=(m+n)(m-n)=(x+y)=3a(m+n)(m-n)=3x(x+
17、y)B B层练习层练习将下列各式分解因式：将下列各式分解因式：18a 18ac-8bc-8bc c m m4 4 -81n-81n4 4 x xy y-4xy+4-4xy+4基本方法基本方法=2c(3a+2b)(3a-2b)=(m2 2+9n2 2)(m+3n)(m-3n)=（x y 2）C C层练习层练习将下列各式分解因式：将下列各式分解因式：(2a+b)(2a+b)(a(ab)b)；(2)(x+y)(2)(x+y)-10(x+y)+25-10(x+y)+25(3)4a(3)4a3b(4a3b(4a3b)3b)基本方法基本方法=(2a-3 b)=(x+y-5)=3a(a+2b)第二步第第二步
18、第一环节一环节因式分解的一般步骤：因式分解的一般步骤：一提：一提：先看多项式各项有无公因式，如有公因式则要先先看多项式各项有无公因式，如有公因式则要先提取公因式；提取公因式；二套：二套：再看有几项，再看有几项，如两项，则考虑用平方差公式；如三项，则考虑用完全平方公如两项，则考虑用平方差公式；如三项，则考虑用完全平方公 式；式；四查：四查：最后用整式乘法检验一遍，并看各因式能否再分解最后用整式乘法检验一遍，并看各因式能否再分解，如能分解，应分解到不能再分解为止。，如能分解，应分解到不能再分解为止。一般步骤一般步骤三变：三变：若以上两步都不行，则将考虑将多项式变形，使之能若以上两步都不行，则将考虑
19、将多项式变形，使之能“提提”或能或能“套套”。如如(x+y)(x+y)-x-y=(x+y)(x+y-1-x-y=(x+y)(x+y-1）第二步第第二步第二环节二环节简化计算简化计算主要应用主要应用多项式的除法多项式的除法解方程解方程简化计算简化计算(1)56(1)562 2+56+5644 (2)10144 (2)1012 2-99-992 2变式变式若若a=99,b=-1,a=99,b=-1,则则a a2 2-2ab+b-2ab+b2 2=_=_；超级变变变超级变变变解方程：解方程：x x-9x=0-9x=0超级变变变超级变变变变式变式解下列方程：解下列方程：(3x-4)-(3x+4)=48335,6,_x yxyx y xy 若则（20分）分）大大 已知已知a a、b b、c c是一个三角是一个三角形的三边，判断代数式形的三边，判断代数式a a2 2-b-b2 2-c-c2 2 2bc2bc 的正负性。的正负性。（提示：（提示：a a2 2-b-b2 2-c-c2 2 2bc2bc =a=a2 2-（b b2 2+c+c2 2+2bc+2bc ）（20分）分）比比 将将4x4x2 2+1+1加上一项，使加上一项，使它成为完全平方式，你有它成为完全平方式，你有几种方法几种方法?（20分）分）拼拼通过复习这节课你有那些新的收获与与感受感受?说出来与大家一起分享！
