1、 - 1 - 阿左旗高级中学 2017 2018学年第二学期期中考试试卷 高 二 数 学 （理科） 一 . 选择题 (每小题 5分，共 60分 ) 1下面四个推理不是合情推理的是 ( ) A由圆的性质类比推出球的有关性质 B由直角三角形、等腰三角形、等边三角形的内角和都是 180 ，归纳出所有三角形的内角和都是 180 C某次考试张军的成绩是 100分，由此推出全班同学的成绩都是 100分 D蛇、海龟、蜥蜴是用肺呼吸的，蛇、海龟、蜥蜴是爬行动物，所以所有的爬行动物都是用肺呼吸的 2若函数 y f(x)在区间 (a， b)内可导，且 x0( a， b)，则 limh0f x0 h f x0 hh
2、的值为 ( ) A f( x0) B 2f( x0) C 2f( x0) D 0 3下面是关于复数 z 2 1 i的四个命题： p1： |z| 2； p2： z2 2i； p3： z的共轭复数为 1 i； p4： z的虚部为 1. 其中的真命题为 ( ) A p2， p3 B p1， p2 C p2， p4 D p3， p4 4设曲线 y ax2在点 (1， a)处的切线与直线 2x y 6 0平行，则 a ( ) A 1 B. 12 C 12 D 1 5已知 i为虚数单位， a为实数，复数 z (a 2i)(1 i)在复平面内对应的点为 M，则“ a 1” 是 “ 点 M 在第四象限 ” 的
3、 ( ) A充分而不必要条件 B必要而不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 6.已知 a b 0， |a| 2， |b| 3， 且 (3a 2b)( a b) 0， 则 等于 ( ) A.32 B 32 C 32 D 1 7复平面上平行四边形 ABCD 的四个顶点中， A， B， C 所对应的复数分别为 2 3i,32i， 2 3i，则 D点对应的复数是 ( ) A 2 3i B 3 2i C 2 3i D 3 2i - 2 - 8数列 an满足 a1 12， an 1 1 1an，则 a2 013等于 ( ) A .12 B 1 C 2 D 3 9已知四面体 ABCD的所有棱长都是
4、 2，点 E、 F分别是 AD、 DC 的中点， 则 EF BA ( ) A 1 B 1 C 3 D 3 10若函数 f(x) x3 3x2 9x a 在区间 2， 1上的最大值 为 2，则它在该区间上的最小值为 ( ) A 5 B 7 C 10 D 19 11用数学归纳法证明 “5 n 2n能被 3整除 ” 的第二步中，当 n k 1时，为了使用假设，应将 5k 1 2k 1变形为 ( ) A (5k 2k) 45 k 2k B 5(5k 2k) 32 k C (5 2)(5k 2k) D 2(5k 2k) 35 k 12定义在 (0， ) 上的可导函数 f(x)满足 f( x) x0的解集
5、为 ( ) A (0,2) B (0,2) (2， ) C (2， ) D ? 二 . 填空题 (每小题 5分，共 20分 ) 13 非零向量 e1， e2不共线 ， 使 ke1 e2与 e1 ke2共线的 k的值是 _ 14?02 (3x sin x)dx _. 15周长为 20 cm 的矩形，绕一条边旋转成一个圆柱，则圆柱体积的最大值为 _cm3. 16 在正三棱柱 ABC-A1B1C1中 ， 所有棱长均为 1， 则点 B1到平面 ABC1的距离为 _ 三 . 解答题 (共 70分 ) 17 (本小题满分 10分 )用综合法或分析法证明： (1)如果 a， b0，则 lg a b2 lg
6、a lg b2 ； - 3 - (2) 6 102 3 2. 18 (本小题满分 12分 )求下列各函数的导数： （ 1） xy 2? ； （ 2） xxy sin2? ； （ 3） xxy? ； 19 (本小题满分 12 分 )已 知空间三点 A( 2， 0， 2)， B( 1， 1， 2)， C( 3， 0， 4)，设 a AB， b AC. (1)求 a和 b 的夹角 的余弦值； (2)若向量 ka b与 ka 2b 互相垂直 ， 求 k的值 20 (本小题满分 12分 )实数 k为何值时，复数 z (k2 3k 4) (k2 5k 6)i是： (1)实数； (2)虚数； (3)纯虚数；
7、 (4)0. 21. (本小题满分 12 分 )如图在四棱锥 P ABCD 中底面 ABCD 是正方形，侧棱 PD 底面ABCD， PD=DC， E是 PC 的中点，作 EF PB 交 PB于点 F。 (1)求证 PA 平面 EDB (2)求证 PB 平面 EFD (3)求二面角 C-PB-D的大小 22 (本小题满分 12分 )已知函数 f(x) x2 mln x， h(x) x2 x a， - 4 - (1)当 a 0时， f(x) h(x)在 (1， ) 上恒成立，求实数 m的取值范围； (2)当 m 2时，若函数 k(x) f(x) h(x)在区间 1,3上恰有两个 不同零点，求实 数
8、 a 的取值范围 - 5 - 一 . 选择题 (每小题 5分，共 60分 ) 1-5 CBCAA 6-10 ABCBA 11-12 BA 二 . 填空题 (每小题 5分，共 20分 ) 13 1 _ 14 328 1_ 15 4 00027 16217 17【证明】 (1)当 a， b0 时，有 a b2 ab， lga b2 lg ab， lg a b2 12lg ab lg a lg b2 . (2)要证 6 102 3 2， 只要证 ( 6 10)2(2 3 2)2， 即 2 602 48，这是显然成立的， 所以，原不等式成立 18解析：（ 1） 2ln2)2( xxy ? ； （ 2）
9、 x xxxxx xxxxxxy222222 s i n c o ss i n2s i n )( s i ns i n)()s i n( ? ； （ 3） xxxxxy 2323)()( 2123 ? ； 19.解： a ( 1， 1， 2) ( 2， 0， 2) (1， 1， 0)， b ( 3， 0， 4) ( 2， 0， 2) ( 1， 0， 2) (1)cos a b|a|b| 1 0 02 5 1010 ， 所以 a与 b的夹角 的余弦值为 1010 . (2)ka b (k， k， 0) ( 1， 0， 2) (k 1， k， 2)， ka 2b (k， k， 0) ( 2， 0，
10、4) (k 2， k， 4)， 所以 (k 1， k， 2)( k 2， k， 4) (k 1)(k 2) k2 8 0. 即 2k2 k 10 0，所以 k 52或 k 2. 20 【解】 (1)当 k2 5k 6 0，即 k 6或 k 1时， z是实数 (2)当 k2 5k 6 0，即 k 6且 k 1时， z是虚数 - 6 - (3)当? k2 3k 4 0，k2 5k 6 0， 即 k 4时， z是纯虚数 (4)当? k2 3k 4 0，k2 5k 6 0， 即 k 1时， z是 0. 22【解】 (1)由 f(x) h(x)在 (1， )上恒成立， 得 m xln x在 (1， )上
11、恒成立， 令 g(x) xln x，则 g( x) ln x 1(ln x)2，故 g(e) 0， 当 x (1， e)时， g( x)0. 故 g(x)在 (1， e)上单调递减，在 (e， )上单调递增， 故当 x e时， g(x)的最小值为 g(e) e. 所以 m e. (2)由已知可知 k(x) x 2ln x a，函数 k(x)在 1,3上恰有两个不同零点，相当于函数 (x) x 2ln x与直线 y a有两个不同的交点， ( x) 1 2x x 2x ，故 (2) 0， 所以当 x 1,2)时， ( x)0，所以 (x)单调递增 所以 (1) 1， (3) 3 2ln 3， (2) 2 2ln 2， 且 (1) (3) (2)0， 所以 2 2ln 2a 3 2ln 3. 所 以实数 a的取值范围为 (2 2ln 2,3 2ln 3
