1、20212021衡水中学高考一轮总复习衡水中学高考一轮总复习 理科数学理科数学 精 品 课 件 （新课标版）（新课标版） 高考一轮总复习高考一轮总复习 数学数学理（新课标版）理（新课标版） 第第2页页 专题讲解 01 课内导航 高考一轮总复习高考一轮总复习 数学数学理（新课标版）理（新课标版） 第第3页页 专题研究 排列组合的综合应用排列组合的综合应用 高考一轮总复习高考一轮总复习 数学数学理（新课标版）理（新课标版） 第第4页页 专专 题题 讲讲 解解 题型一 不同元素的分组分配问题 高考一轮总复习高考一轮总复习 数学数学理（新课标版）理（新课标版） 第第5页页 例 1 按下列要求分配 6
2、本不同的书，各有多少种不同的分 配方式？ (1)分成三份，1 份 1 本，1 份 2 本，1 份 3 本； (2)甲、乙、丙三人中,一人得 1 本,一人得 2 本,一人得 3 本； (3)平均分成三份，每份 2 本； (4)平均分配给甲、乙、丙三人，每人 2 本； (5)分成三份，1 份 4 本，另外两份每份 1 本； (6)甲、乙、丙三人中，一人得 4 本，另外两人每人得 1 本； (7)甲得 1 本，乙得 1 本，丙得 4 本 高考一轮总复习高考一轮总复习 数学数学理（新课标版）理（新课标版） 第第6页页 【思路】 这是一个分配问题，解题的关键是搞清事件是否 与顺序有关，对于平均分组问题更
3、要注意顺序，避免计数的重复 或遗漏 【解析】 (1)无序不均匀分组问题 先选 1 本有 C61种选法； 再从余下的 5 本中选 2 本有 C52种选法； 最后余下 3 本全选有 C33 种方法，故共有 C61C52C3360(种) (2)有序不均匀分组问题由于甲、乙、丙是不同的三人，在 第(1)题基础上，还应考虑再分配，共有 C61C52C33A33360(种) 高考一轮总复习高考一轮总复习 数学数学理（新课标版）理（新课标版） 第第7页页 (3)无序均匀分组问题先分三步，则应是 C62C42C22种方法， 但是这里出现了重复不妨记 6 本书为 A，B，C，D，E，F，若 第一步取了 AB，第
4、二步取了 CD，第三步取了 EF，记该种分法 为(AB，CD，EF)，则 C62C42C22种分法中还有(AB，EF，CD)， (CD，AB，EF)，(CD，EF，AB)，(EF，CD，AB)，(EF，AB， CD)，共 A33种情况，而这 A33种情况仅是 AB，CD，EF 的顺序 不同，因此只能作为一种分法，故分配方式有C6 2C 4 2C 2 2 A33 15(种) 高考一轮总复习高考一轮总复习 数学数学理（新课标版）理（新课标版） 第第8页页 (4)有序均匀分组问题 在第(3)题基础上再分配给 3 个人， 共 有分配方式C6 2C 4 2C 2 2 A33 A33C62C42C2290
5、(种) (5)无序部分均匀分组问题共有C6 4C 2 1C 1 1 A22 15(种) (6)有序部分均匀分组问题在第(5)题基础上再分配给 3 个 人，共有分配方式C6 4C 2 1C 1 1 A22 A3390(种) 高考一轮总复习高考一轮总复习 数学数学理（新课标版）理（新课标版） 第第9页页 (7)直接分配问题甲选 1 本有 C61种方法，乙从余下 5 本中 选1本有C51种方法， 余下4本留给丙有C44种方法， 共有C61C51C44 30(种) 【答案】 (1)60 (2)360 (3)15 (4)90 (5)15 (6)90 (7)30 高考一轮总复习高考一轮总复习 数学数学理（
6、新课标版）理（新课标版） 第第10页页 状元笔记 解决分组分配问题的策略 (1)对于整体均分，解题时要注意分组后，不管它们的顺序如 何， 都是一种情况， 所以分组后一定要除以 Ann(n 为均分的组数)， 避免重复计数 高考一轮总复习高考一轮总复习 数学数学理（新课标版）理（新课标版） 第第11页页 (2)对于部分均分， 解题时注意重复的次数是均匀分组的阶乘 数，即若有 m 组元素个数相等，则分组时应除以 m！ ，一个分组 过程中有几个这样的均匀分组就要除以几个这样的全排列数 (3)对于不等分组，只需先分组，后排列，注意分组时任何组 中元素的个数都不相等，所以不需要除以全排列数 高考一轮总复习
7、高考一轮总复习 数学数学理（新课标版）理（新课标版） 第第12页页 思考题 1 (1)若将 6 名教师分到 3 所中学任教， 一所 1 名， 一所 2 名，一所 3 名，则有_种不同的分法 高考一轮总复习高考一轮总复习 数学数学理（新课标版）理（新课标版） 第第13页页 【解析】 不等分问题：将 6 名教师分组，分三步完成： 第 1 步，在 6 名教师中任取 1 名作为一组，有 C61种取法； 第 2 步，在余下的 5 名教师中任取 2 名作为一组，有 C52种 取法； 第 3 步，余下的 3 名教师作为一组，有 C33种取法 根据分步乘法计数原理，共有 C61C52C3360 种取法 再将这
8、 3 组教师分配到 3 所中学，有 A336 种分法， 故共有 606360 种不同的分法 【答案】 360 高考一轮总复习高考一轮总复习 数学数学理（新课标版）理（新课标版） 第第14页页 若将 6 名教师平均分到 3 所中学任教，每所 2 名，则有 _种不同的分法 【解析】 整体均分问题：先把 6 名教师平均分成 3 组，有 C62C42C22 A33 种方法，再将 3 组教师分到 3 所学校，有 A336 种方法， 故 6 名教师平均分到 3 所学校，共有C6 2C 4 2C 2 2 A33 A3390 种分法 【答案】 90 高考一轮总复习高考一轮总复习 数学数学理（新课标版）理（新课
9、标版） 第第15页页 (2)(2020 安徽毛坦厂中学阶段测试)6 名志愿者(其中 4 名男 生，2 名女生)义务参加宣传活动，他们自由分成两组完成不同的 两项任务，但要求每组最多 4 人，女生不能单独成组，则不同的 工作安排方式有( ) A40 种 B48 种 C60 种 D68 种 【解析】 4，2 分法：A22(C641)14228， 3，3 分法：C63C3320，共有 48 种 【答案】 B 高考一轮总复习高考一轮总复习 数学数学理（新课标版）理（新课标版） 第第16页页 (3)(2020 衡水中学调研卷)今年，衡水中学将甲、乙等 5 位同 学分别保送到北京大学、 上海交通大学、 浙
10、江大学三所大学就读， 则每所大学至少保送一人的不同保送的方法种数为( ) A240 B180 C150 D540 高考一轮总复习高考一轮总复习 数学数学理（新课标版）理（新课标版） 第第17页页 【解析】 5 名学生可分成 2，2，1 或 3，1，1 两种形式的 三组当 5 名学生分成 2，2，1 时，有1 2C5 2C 3 2A 3 390 种保送方 法； 当 5 名学生分成 3，1，1 时，有 C53A3360 种保送方法 根据分类加法计数原理知，共有 9060150 种保送方法， 故选 C. 【答案】 C 高考一轮总复习高考一轮总复习 数学数学理（新课标版）理（新课标版） 第第18页页
11、题型二 相同元素的分配问题(隔板法) 高考一轮总复习高考一轮总复习 数学数学理（新课标版）理（新课标版） 第第19页页 例 2 (1)8 个相同的小球放入 5 个不同盒子中，每盒不空的 放法共有_种 【思路】 高考一轮总复习高考一轮总复习 数学数学理（新课标版）理（新课标版） 第第20页页 【解析】 一共有 8 个相同的小球，放入 5 个不同的盒子， 每个盒子不空，即将小球分成 5 份，每份至少 1 个(定份数) 将 8 个小球摆放一列， 形成 9 个空， 中间有 7 个空， (定空位) 则只需在这 7 个空中插入 4 个隔板，隔板不同的放法有 C74 C73765 32135(种)(插隔板)
12、 所以每盒不空的放法共有 35 种 【答案】 35 高考一轮总复习高考一轮总复习 数学数学理（新课标版）理（新课标版） 第第21页页 (2)15 个小球完全相同，放入编号依次为 1，2，3 的三个不 同盒子中，若每个盒子内的小球数不小于盒子的编号，则不同放 法有_种 【解析】 先将 2 号盒内放一个球，3 号盒内放 2 个小球，还 剩余 12 个小球，用隔板法将 12 个小球分成 3 组，每组至少 1 个小 球，共有 C11255 种分法，亦即有 55 种不同放法 【答案】 55 高考一轮总复习高考一轮总复习 数学数学理（新课标版）理（新课标版） 第第22页页 状元笔记 隔板法的解题步骤 (1
13、)定个数：确定名额的个数、分成的组数以及各组名额的数 量 (2)定空位：将元素排成一列，确定可插隔板的空位数 (3)插隔板： 确定需要的隔板个数， 根据组数要求， 插入隔板， 利用组合数求解不同的分法种数 高考一轮总复习高考一轮总复习 数学数学理（新课标版）理（新课标版） 第第23页页 (4)回顾反思： 隔板法的关键在于准确确定空位个数以及需要 的隔板个数，使用这种方法需要注意两个方面的问题：一是要根 据题意确定能否转化为“每组至少一个”的问题，以便确定能否 利用隔板法；二是要注意准确确定空位数以及需要的隔板数，一 般来说，两端不能插隔板 高考一轮总复习高考一轮总复习 数学数学理（新课标版）理
14、（新课标版） 第第24页页 思考题 2 (1)三元一次方程 xyz10 有_组正整 数解 【解析】 将 10 个 1 用隔板法分成三组，每组至少 1 个 1，共 有 C9236 种分法，即有 36 组正整数解 【答案】 36 高考一轮总复习高考一轮总复习 数学数学理（新课标版）理（新课标版） 第第25页页 (2)(2019 河北沧州七校联考)有 5 个大学保送名额，计划分到 3 个班级每班至少一个名额，有多少种不同的分法？ 【解析】 一共有 5 个保送名额，分到 3 个班级，每个班级至 少 1 个名额，即将名额分成 3 份，每份至少 1 个(定份数) 将 5 个名额排成一列产生 6 个空，中间
15、有 4 个空(定空位) 即只需在中间 4 个空中插入 2 个隔板， 隔板不同的方法共有 C426(种)(插隔板) 【答案】 6 种 高考一轮总复习高考一轮总复习 数学数学理（新课标版）理（新课标版） 第第26页页 题型三 综合问题 高考一轮总复习高考一轮总复习 数学数学理（新课标版）理（新课标版） 第第27页页 例 3 有 4 个不同的球，四个不同的盒子，把球全部放入盒 内 (1)恰有一个盒子不放球，有多少种放法？ (2)恰有一个盒内放 2 个球，有多少种放法？ (3)恰有两个盒子不放球，有多少种放法？ 高考一轮总复习高考一轮总复习 数学数学理（新课标版）理（新课标版） 第第28页页 【解析】
16、 (1)为保证“恰有一个盒子不放球”，先从四个盒 子中任意拿出去 1 个，即将 4 个球分成 2，1，1 的三组，有 C42 种分法；然后再从三个盒子中选一个放两个球，其余两个球，两 个盒子，全排列即可由分步乘法计数原理知，共有放法 C41C42C31A22144(种) (2)“恰有一个盒子内放 2 个球”， 即另外的三个盒子放 2 个 球， 每个盒子至多放 1 个球， 即另外三个盒子中恰有一个空盒 因 此， “恰有一个盒子放 2 球”与“恰有一个盒子不放球”是一回 事故也有 144 种放法 高考一轮总复习高考一轮总复习 数学数学理（新课标版）理（新课标版） 第第29页页 (3)先从四个盒子中
17、任取两个有 C42种，问题转化为：“4 个 球，两个盒子，每盒必放球，有几种放法？”从放球数目看，可 分为(3，1)，(2，2)两类第一类：可从 4 个球中先选 3 个，然后 放入指定的一个盒子中即可，有 C43C21种放法；第二类：有 C42种放法 因此共有 C43C21C4214(种) 由分步乘法计数原理 得“恰有两个盒子不放球”的放法有 C421484(种) 【答案】 (1)144 (2)144 (3)84 高考一轮总复习高考一轮总复习 数学数学理（新课标版）理（新课标版） 第第30页页 思考题 3 (1)(2018 上海春季高考题)某校组队参加辩论赛， 从 6 名学生中选出 4 人分别
18、担任一、二、三、四辩，若其中学生 甲必须参赛且不担任四辩， 则不同的安排方法种数为_(结 果用数值表示) 【解析】 先安排甲，有 3 种情况，再从剩下的 5 名学生中选 3 人排列，有 A53种情况， 共有 3A53180 种方法 【答案】 180 高考一轮总复习高考一轮总复习 数学数学理（新课标版）理（新课标版） 第第31页页 (2)(2020 东北四市高三二模)现将 5 张连号的电影票分给甲、 乙等 5 个人，每人一张，若甲、乙分得的电影票连号，则共有 _种不同的分法(用数字作答) 【解析】 两张电影票号码相邻只有 4 种情况，则甲、乙 2 人 在这 4 种情况中选一种，共 C41种选法，
19、2 张票分给甲、乙，共有 A22种分法，其余 3 张票分给其他 3 个人，共有 A33种分法，根据分 步乘法计数原理，可得共有 C41A22A3348 种分法 【答案】 48 高考一轮总复习高考一轮总复习 数学数学理（新课标版）理（新课标版） 第第32页页 (3)从 6 人中选 4 人分别到巴黎、伦敦、悉尼、莫斯科四个城 市游览，要求每个城市有一人游览，每人只游览一个城市，且这 6 人中甲、乙两人不去巴黎游览，则不同的选择方案共有( ) A300 种 B240 种 C144 种 D96 种 高考一轮总复习高考一轮总复习 数学数学理（新课标版）理（新课标版） 第第33页页 【解析】 方法一：分三种情况 甲、乙两个有且只有一个被选中：2A31A43；甲、乙都没 被选中：A44；甲、乙都被选中：A32A42；所有不同的选择方案： 2A31A43A44A32A42240(种)故选 B. 方法二：甲、乙两人有一人去巴黎的选择方案为：2A53种， 所以满足条件的选法共有：A642A53240.故选 B. 【答案】 B 高考一轮总复习高考一轮总复习 数学数学理（新课标版）理（新课标版） 第第34页页 请做：专题层级快练（七十七） 2 2 0 0 2 2 1 1 衡 水 重 点 中 学 高 考 调 研 高 考 调 研 看 观 谢 谢
