1、题组层级快练题组层级快练(八十九八十九) 1设 a，b，c 是互不相等的正数，则下列不等式中不恒成立的是( ) A(a3)22a26a11 Ba2 1 a2a 1 a C|ab| 1 ab2 D. a3 a1 a2 a 答案 C 解析 (a3)2(2a26a11)a22b 时，恒成立，当 ab 时，不恒成立； 由不等式 2 a3 a1b1，xa1 a，yb 1 b，则 x 与 y 的大小关系是( ) Axy Bxb1，ab0，ab10，ab0， （ab）（ab1） ab 0，xy0，即 xy.故选 A. 方法二：考察 f(x)x1 x(x1) f(x)1 1 x2 x21 x2 0，f(x)为
2、增函数 又 ab1，f(a)f(b)，即 xy.故选 A. 3若 xyyzzx1，则 x2y2z2与 1 的大小关系是( ) Ax2y2z21 Bx2y2z21 Cx2y2z21 D不确定 答案 A 解析 x2y22xy，y2z22yz，z2x22zx， 2(x2y2z2)2(xyyzzx)2，x2y2z21.故选 A. 4已知 xy1，那么 2x23y2的最小值是( ) A.5 6 B.6 5 C.25 36 D.36 25 答案 B 解析 由柯西不等式得( 2x)2( 3y)2 1 2 2 1 3 2 2x1 2 3y 1 3 2 即(2x23y2) 5 61，2x 23y26 5，当且仅
3、当 x 3 5，y 2 5时取等号故选 B. 5设 a，b，c 为正实数，ab4c1，则 a b2 c的最大值是( ) A. 5 B. 3 C2 3 D. 3 2 答案 B 解析 由柯西不等式得( a)2( b)2(2 c)2 (121212)(1 a1 b1 2 c)2. 即( a b2 c)23(ab4c)3， a b2 c 3. 当且仅当 a1 3，b 1 3，c 1 12时取等号选 B. 6若 a，b，cR，且 abc1，则 a b c的最大值为_ 答案 3 解析 方法一：( a b c)2abc2 ab2 bc2 caabc(ab)(bc) (ca)3. 当且仅当 abc 时，等号成
4、立 方法二：柯西不等式：( a b c)2(1 a1 b1 c)2(121212)(abc) 3. 7若 a，b，cR，a2b3c6，则 a24b29c2的最小值为_ 答案 12 解析 由柯西不等式，得(121212)(a24b29c2)(a2b3c)2，即 a24b29c212，当 a2b3c2 时，等号成立，所以 a24b29c2的最小值为 12. 8(2019沧州七校联考)若 logxy2，则 xy 的最小值为_ 答案 332 2 解析 由 logxy2，得 y 1 x2. 而xyx 1 x2 x 2 x 2 1 x23 3 x 2 x 2 1 x23 3 1 4 332 2 ， 当且仅
5、当x 2 1 x2， 即x 3 2时取等号 所 以 xy 的最小值为3 3 2 2 . 9已知 a，b，c，d 为实数，且 a2b24，c2d216，则 acbd 的最大值为_ 答案 8 解析 方法一：由柯西不等式得(acbd)2(a2b2)(c2d2) 因为 a2b24，c2d216，所以(acbd)264，因此 acbd8. 方法二：a2b24，c2d216， a2cos， b2sin， c4cos， d4sin， acbd8coscos8sinsin8cos()8. 10(2019 江苏南通联考)已知 x0，y0，aR，bR.求证： axby xy 2 a 2xb2y xy . 答案 略
6、 证明 因为 x0，y0，所以 xy0. 所以要证 axby xy 2 a 2xb2y xy ，即证(axby)2(xy)(a2xb2y)， 即证 xy(a22abb2)0，即证(ab)20，而(ab)20 显然成立故 axby xy 2 a 2xb2y xy . 11(2019 福建质量检查)若 a，b，cR，且满足 abc2. (1)求 abc 的最大值； (2)证明：1 a 1 b 1 c 9 2. 答案 (1) 8 27 (2)略 解析 (1)因为 a，b，cR，所以 2abc33abc，故 abc 8 27. 当且仅当 abc2 3时，等号成立 所以 abc 的最大值为 8 27.
7、(2)证明：因为 a，b，cR，且 abc2，所以根据柯西不等式，可得1 a 1 b 1 c 1 2(ab c) (1 a 1 b 1 c) 1 2( a) 2( b)2( c)2 1 a 2 1 b 2 1 c 2 1 2( a 1 a b 1 b c 1 c) 29 2.当且仅当 abc 2 3时，等号成立 所以1 a 1 b 1 c 9 2. 12已知 a，b，c 均是正实数 (1)若(a1)(b1)(c1)8，求证：abc1. (2)若 abc1，求 a21 4b 21 9c 2的最小值 答案 (1)略 (2) 1 14 解析 (1)证明：(a1)(b1)(c1)2 a2 b2 c8
8、abc. 8 abc8， abc1abc1. (2)根据柯西不等式，得 a21 4b 21 9c 2 (122233) a11 2b2 1 3c3 2 (abc)21， 当且仅当a 1 1 2b 2 1 3c 3 ，即 a 1 14，b 2 7，c 9 14时，等号成立，a 21 4b 21 9c 21 14， a21 4b 21 9c 2的最小值为1 14. 13(2015 湖南，理)设 a0，b0，且 ab1 a 1 b.证明： (1)ab2； (2)a2a2 与 b2b0，b0，得 ab1.由基本不等式及 ab1，得 ab2 ab 2，即 ab2. (2)假设 a2a2 与 b2b2 同时成立，则由 a2a0，得 0a1；同理，0b1，从而 ab1，这与 ab1 矛盾故 a2a2 与 b2b2 不可能同时成立
