1、 - 1 - 江苏省南京市 2017-2018学年高二数学上学期期末考试试题 理 一、填空题：本大题共 14小题，每小题 5分，共 70分请把答案填写在 答题卡相应位置 上 1. 命题 “ 若 ab 0，则 b 0” 的逆否命题是 _ 【答案】 “ 若 b0 ，则 ab0” 【解析】因为一个命题的逆否命题，是将原命题逆命题的条件与结论同时否定得到， 所以命题 “ 若 ab 0，则 b 0” 的逆否命题是 “ 若 b0 ，则 ab0”. 故答案为： “ 若 b0 ，则 ab0”. 2. 已知复数 z满足 z(1 i) i，其中 i是虚数单位，则 |z| 为 _ 【答案】 【解析】复数 z满足 z
2、(1 i) i，所以 . 所以 . 故答案为： . 3. 在平面直角坐标系 xOy中，抛物线 y2 4x的焦点坐标是 _ 【答案】 (1， 0) 【解析】抛物线 y2 4x， 满足 y2 2px，其中 p=2. 所以抛物线 y2 4x的焦点坐标是 (1， 0). 故答案为： (1， 0). 4. “ x2 3x 2 0” 是 “ 1 x 2” 成立的 _条件（在 “ 充分不必要 ” ， “ 必要不充分 ” ， “ 充要 ” ， “ 既不充分又不必要 ” 中选一个填写） 【答案】充分不必要 【解析】由 x2 3x 2 0，解得 1 x 2， 因为 1 x 2是 “ 1 x 2” 成立的充分不必要
3、条件， 所以 “ x2 3x 2 0” 是 “ 1 x 2” 成立的充分不必要条件 . 故答案为：充分不必要 . 5. 已知实数 x， y满足条件 则 z 3x y 的最大值是 _ 【答案】 7 【解析】作出不等式的可行域如图所示： - 2 - 作直线 经过点 A(2,1)时， z取最大值 7. 故答案为： 7. 点睛：线性规划的实质是把代数问题几何化，即数形结合的思想 .需要注意的是：一，准确无误地作出可行域；二，画目标函数所对应的直线时，要注意与约束条 件中的直线的斜率进行比较，避免出错；三，一般情况下，目标函数的最大或最小值会在可行域的端点或边界上取得 . 6. 函数 f(x) xex
4、的单调减区间是 _ 【答案】 ( ， 1)或 ( ， 1 【解析】函数 f(x) xex，求导得： . 令 ，解得 . 所以函数 f(x) xex 的单调减区间是 ( ， 1)（ ( ， 1也可以 ). 故答案为 : ( ， 1)或 ( ， 1. 7. 如图，直线 l经过点 (0， 1)，且与曲线 y f(x) 相切于点 (a， 3) 若 f ( a) ，则实数a 的值是 _ - 3 - 【答案】 3 【解析】由导数的几何意义知 f ( a) ，即为切线斜率为 . 所以 ，解得 . 故答案为： 3. 8. 在平面直角坐标系 xOy中，若圆 (x a)2 (y a)2 2 与圆 x2 (y 6)
5、2 8相外切，则实数 a的值为 _ 【答案】 3 【解析】圆 (x a)2 (y a)2 2 与圆 x2 (y 6)2 8相外切， 则圆心距等于半径之和，即 ，解得 . 故答案为： 3. 点睛：这个题目考查的是两圆的位置关系；两圆的位置关系有相交，外切，内切，内含，外离这几种情况。判 断两圆的位置关系时的常用方法是找两圆心距和两半径之和或差的关系。常考的题型是已知位置关系求参或者找公切线的条数。 9. 如图，在三棱锥 P ABC 中， M是侧棱 PC的中点，且 ，则 x y z的值为 _ 【答案】 0 【解析】在三棱锥 P ABC中， M是侧棱 PC 的中点，所以 . 又 ， . 所以 . 所
6、以 . 故答案为 0. 10. 在平面直角坐标系 xOy 中，若双曲线 y2 1 的渐近线与抛物线 x2 4 y 的准线相交于A， B两点，则三角形 OAB的面积为 _ - 4 - 【答案】 3 【解析】双曲线 y2 1的渐近线为： , 抛物线 x2 4 y的准线为： . 联立两直线得： . 三角形 OAB的面积为 . 故答案为： . 11. 在平面直角坐标系 xOy 中，若点 A到原点的距离为 2，到直线 x y 2 0的距离为 1，则满足条件的点 A的个数为 _ 【答案】 3 【解析】点 A到原点的距离为 2，所以点 A在以原点为圆心， 2为半径的圆上， 圆心 O(0,0)到直线 x y
7、2 0的距离为： . 所以圆上到直线 x y 2 0的距离为 1的点共 3个 . 故答案为： 3. 12. 若函数 f(x) x3 3x2 mx在区间 (0， 3) 内有极值，则实数 m的取值范围是 _ 【答案】 ( 9， 3) 【解析】函数 f(x) x3 3x2 mx求导得： ,有对称轴为 . 若函数 f(x) x3 3x2 mx在区间 (0， 3) 内有极值， 则 ，解得 . 故答案为： ( 9， 3). 13. 在平面直角坐标系 xOy 中，已知椭圆 (a b 0) 的左、右焦点分别为 F1， F2，过 F1且与 x轴垂直的直线交椭圆于 A， B两点，直线 AF2与椭圆的另一个交点为
8、C 若 ，则该椭圆的离心率为 _ - 5 - 【答案】 【解析】 由题意 , ， , , . 代入椭圆 (ab0)， 得 ,即 解得 . 故答案为： . 14. 已知函数 f(x) x|x2 3| 若存在实数 m， m(0 ， ，使得当 x0 ， m 时， f(x)的取值范围是 0， am，则实数 a的取值范围是 _ 【答案】 1， 3) 【解析】 f(x) x|x2 3| ，作出函数图像如图所示： 根据题意知 m(0 ， ， x0 ， m. 当 m(0 ， 1时， f(x)在 0， m上单调递增，此时 f(x)的取值范围是 . 所以 ，即 ，得 ； 当 m(1 ， 2时，此时 f(x)的取值
9、范围是 . - 6 - 所以 ，得 ； 当 m(2 ， 时，此时 f(x)的取值范围是 . 所以 ，即 ，得 . 综上：实数 a的取值范围是 1， 3). 故答案为： 1， 3). 二、解答题：本大题共 6小题，共计 90分请在 答题卡指定区域内 作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤 15. 已知复数 z ，（ m R， i是虚数单位） （ 1）若 z是纯虚数，求 m的值； （ 2）设 是 z的共轭复数，复数 2z在复平面上对应的点在第一象限，求 m的取值范围 【答案】 (1) (2) 【解析】试题分析： （ 1）化简 z 1 2m (2m 1)i， 若 z是纯虚数，只需 1 2m
10、0且 2m 10即可； （ 2）求得 1 2m (2m 1)i，得 2z=3 6m (2m 1)i，只需 即可 . 试题解析： （ 1） z 1 2m (2m 1)i 因为 z是纯虚数，所以 1 2m 0且 2m 10 ， 解得 m （ 2）因为 是 z的共轭复数，所以 1 2m (2m 1)i 所以 2z 1 2m (2m 1)i 21 2m (2m 1)i 3 6m (2m 1)i 因为复数 2z在复平面上对应的点在第一象限， 所以 解得 m ，即实数 m的取值范围为 ( ， ) 点睛 :形如 的数叫复数 ,其中 a叫做复数的实部 ,b叫做复数的虚部 . 当 时复数 为实数 , - 7 -
11、 当 时复数 为虚数 , 当 时复数 为纯虚数 . 16. 如图，在正方体 ABCD A1B1C1D1中，点 E， F， G分别是棱 BC， A1B1， B1C1的中点 （ 1）求异面直线 EF与 DG所成角的余弦值； （ 2） 设二面角 A BD G的大小为 ，求 |cos | 的值 【答案】 (1) (2) 【解析】试题分析： （ 1） 建立空间直角坐标系，进而通过计算 即可得解； （ 2）计算得平面 DBG和平面 ABD的法向量 n1和 n2， 通过计算 cos n1， n2 即可得解 . 试题解析： 如图，以 ， ， 为正交基底建立坐标系 D xyz 设正方体的边长为 2， 则 D(0
12、， 0， 0)， A(2， 0， 0)， B(2， 2， 0)， E(1， 2， 0)， F(2， 1， 2)， G(1， 2， 2) （ 1）因为 (2， 1， 2) (1， 2， 0) (1， 1， 2)， (1， 2， 2)， 所以 11 ( 1)2 22 3， - 8 - | | ， | | 3 从而 cos ， ， 即向量 与 的夹角的余弦为 ， 从而异面直线 EF 与 DG 所成角的余弦值为 （ 2） (2， 2， 0)， (1， 2， 2) 设平面 DBG的一个法向量为 n1 (x， y， z ) 由题意，得 取 x 2，可得 y 2， z 1 所以 n1 (2， 2， 1) 又
13、平面 ABD的一个法向量 n2 (0， 0， 2)， 所以 cos n1， n2 因此 |cos | 点睛：用向量法解决立体几何问题的注意点： （ 1）建立空间直角坐标系时要判断是否具备了两两垂直的三条直线，否则要先给出证明； . 17. 如图，圆锥 OO1的体积为 设它的底面半径为 x，侧面积为 S （ 1）试写出 S关于 x的函数关系式； （ 2）当圆锥底面半径 x为多少时，圆锥的侧面积最小 ？ - 9 - 【答案】 (1) (2) 当圆锥底面半径为 时，圆锥的侧面积最小 【解析】试题分析： （ 1） 设圆锥 OO1的高为 h，母线长为 l，根据体积为 得 ，解得 h，进而得 l ，从而得
14、 ； （ 2） 令 f(x) ， 求导，利用函数的单调性求最值即可 . 试题解析： （ 1）设圆锥 OO1的高为 h，母线长为 l 因为圆锥的体积为 ，即 x2h ， 所以 h 因此 l ， 从而 S xl x ， (x 0) （ 2） 令 f(x) x4 ，则 f ( x) 4x3 ， (x 0) 由 f ( x) 0， 解得 x 当 0 x 时， f ( x) 0， 即函数 f(x)在区间 (0， )上单调递减； 当 x 时， f ( x) 0， 即函数 f(x)在区间 ( ， )上单调递增 所以当 x 时 ， f(x)取得极小值也是最小值 答：当圆锥底面半径为 时，圆锥的侧面积最小 18. 在平面直角坐标系 xOy 中，已知圆 C经过点 A(1， 3) ， B(4， 2)，且圆心在直线 l： x y 1 0 上 （ 1）求圆 C的方程； - 10 - （ 2）设 P是圆 D： x2 y2 8x 2y 16 0上任意一点，过点 P作圆 C的两条切线 PM， PN， M，N 为切点，试求四边形 PMCN面积 S的最小值及对应的点 P坐标 【答案】 (1) x2 y2 4x 2y 0 (2) S最小 10， P( 3， 1) 【解析】试题分析： （ 1） 设圆 C的方程为 x2 y2 D
