1、 1 2016 2017学年度第二学期期末考试 高二年级数学科试题（理） 一、 选择题：本大题共 12 小题。每小题 5 分，在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。 1.已知集合 2| 2 ? xyyA ，集合 1| 2 ? xyxB ，则有 （ ） A. BA? B. ?BA? C. ABA ? D. ABA ? 2.已知 Ra? ， i 是虚数单位， iia?1 是纯虚数，则 a 等于 （ ） A.1 B. 1? C. 2 D. 2? 3 532 )2( xx ?展开式中的常数项为 ( ) A 80 B 80 C 40 D 4 4. 若变量 ，y满足约束条件 则的最大值为（ ）
2、 A 10 B 8 C 5 D 2 5.阅读如下程序框图，运行相应的程序，则程序运行后输出的结果为（ ） A. 7 B. 9 C. 10 D. 11 6. 某几何体三视图如图所示 ，则该几何体的体积为（ ） A 8 4? B 8 2? C 8 D 8 2 7.在下列区间中，函数 f(x)=ex+4x-3的零点所在的区间（ ） A ( 14， 0 ) B (0， 14) C (14， 12) D (12， 34) 8.等比数列 na 中， 452, 5aa?，则数列 lg na 的前 8项和等于（ ） A 6 B 5 C 4 D 3 2204xyxyx?23z x y?2 9.偶函数?xf满足?
3、 ? )1(1- ? xfxf,且在1,0?时 , ? 2xxf ?,? ? xg ln?，则函数f与)(g图象 交点 的个数是 ( ) A 1 B 2 C 3 D 4 10. 已知点 P 是双曲线221xyab?( 0, 0)?左支上一点，12,FF是双曲线的左右两个焦点，且1 2 0PF PF?，线段2的垂直平分线恰好是该双曲线的一条渐近线，则离心率为（ ） A 2B 3C D 511已知直三棱柱 ABCA1B1C1的 6 个顶点都在球 O 的球面上，若 AB 3， AC 4， AB AC， AA1 12，则球 O的半径为（ ） A. 132 B 2 10 C. 3 172 D 3 10
4、12.设函数 ()fx? 是函数 f(x)的导函数， x R时，有 ()fx? + )(xf 0? ，则 21 xx? 时，结论正确的是 二 填空题：共 4小题，每小题 5分 . 13.函数( ) 2 si n( )f x x?( 0, )22? ? ? ?的部分图 象如图所示，则?. 14.从如图所示的长方形区域内任取一个点 M(x， y)，则点 M取自阴影部分部分的概率为 15已知 A， B， C为圆 O上的三点，若 AO =21 (AB+AC)，则 AB 与AC 的夹角为 16.数列 na 满足 1 ( 1) 2 1nnna a n? ? ? ? ?，则 na 的前 60 项和为 三、解
5、答题：解答应写出文字说明，证明 过程或演算步骤 17.(本小题满分 12分 )在 ABC中，角 A， B， C对应的边分别是 a， b， c.已知 cos 2A 3cos(B C)3 1. (1)求角 A的大小； (2)若 ABC的面积 S=5 3 ， b 5，求 sin Bsin C的值 18.(本小题满分 12分 )如图，四棱锥 P-ABCD中，底面 ABCD为平行四边形， DAB=60 ,AB=2AD， PD底面 ABCD. (1)证明： PA BD； (2)若 PD=AD，求二面角 A-PB-C的余弦值。 19 (本小题满分 12分 )经销商经销某种农产品，在一个销售季度内，每售出 1
6、 t该产品获利润 500元，未售出的产品，每 1 t 亏损 300 元根据 历史资料，得到销售季度内市场需求量的频率分布直方图，如图所示经销商为下一个销售季度购进了 130 t 该农产品以 X(单位： t,100 X 150)表示下一个销售季度内的市场需求量， T(单位：元 )表示下一个销售季度内经销该农产品的利润 (1)将 T表示为 X的函数； (2)根据直方图估计利润 T不少于 57 000元的概率； (3)在直方图的需求量分组中，以各组的区间中点值代表该组的各个值，并以需求量落入该区间的频率作为需求量取该区间中点值的概率 (例如：若需求量 X 100,110)，则取 X 105，且 X
7、105的 概率等于需求量落入 100,110)的频 率 )，求 T的数学期望 4 QA OB xyP20.（本小题满分 12 分） 如图，曲线 C 由上半椭圆 221 22: 1 ( 0 , 0 )yxC a b yab? ? ? ? ?和 部分抛物线 22 : 1( 0)C y x y? ? ? ?连接而成， 12,CC的公 共点为 ,AB，其中 1C 的离心率为 32 . （）求 ,ab的值； （） 过点 B 的直线 l 与 12,CC分别交于 ,PQ（均异于点 ,AB）， 若 AP AQ? ，求直线 l 的方程 . 21.(本小题满分 12分 )已知函数 ln( ) 1xfxx? （ 1
8、）试判断函数 ()fx的单调性； （ 2）设 0m? ，求 ()fx在 ,2mm上的最大值； （ 3）试证 明：对任意 *n?N ，不等式 11ln( )enn? 都成立（其中 e 是自然对数的底数） 22.(本小题满分 10分 )选修 4 4：坐标系与参数方程 在直接坐标系 xOy中，直线 L的方程为 x-y+4=0，曲线 C的参数方程为? ? ? ?sincos3yx（为参数） （ 1）已知在极坐标（与直角坐标系 xOy取相同的长度单位，且以原点 O为极点，以 x 轴正半轴为极轴）中，点 P的极坐标为 (4， 2? )，判断点 P与直线 L的位置关系； （ 2）设点 Q是曲线 C上的一个动
9、点，求它到直线 L 的距离的最小值 . 5 高二下学期期末考试数学试卷答案 一、选择题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 D A C C B C C C B D A D 二、 填空题 13、 3? 14、 31 15、 ?90 16、 1830 三、 解答题 17、 解： (1)由 cos 2A 3cos(B C) 1，得 2cos2A 3cos A 2 0，即 (2cos A 1)(cos A 2) 0， 解得 cos A 21 或 cos A 2(舍去 )因为 0 A，所以 A3?. (2)由 S 21 bcsin A 21 bc 23 =5 3 ，得 bc 20.又
10、b 5，知 c 4. 由余弦定理得 a2 b2 c2 2bccos A 25 16 20 21，故 a= 21 . 又由正弦定理得 sin Bsin C bsinA/a=bcsin2A/a2=5/7. 18、 解析 1：（ 1） 因为 DAB=600， AB=2AD， 由余弦定理得 BD= 3 AD 从而 BD2+AD2= AB2， 故 BDAD， 所以 BD 平面 PAD. 故 PA BD （ 2）如图，以 D为坐标原点， AD的长为单位长， 射线 DA为 x轴的正半轴建立空间直角坐标系 D-xyz，则A(1,0,0)， B(0, 3 ,0) ， C(-1, 3 ,0)，P(0,0,1)。
11、AB =(-, 3 ,0)， PB =(0, 3 ,-1)，BC =(-1， 0， 0) ，设平面 PAB 的法向量为 n=（ x,y,z），则?00PBnABn , 即 ? ? ? 03 03zy yx 因此可取 n=( 3 ,1, 3 ) 同理可得平面 PBC的法向量为 m=（ 0， -1， - 3 ），则 cos=772-故二面角 A-PB-C的余弦值为 772- 19、 z x P C B A D y 6 QA OB xyP解： (1)当 X 100,130)时， T 500X 300(130 X) 800X 39 000， 当 X 130,150时， T 500 130 65 000
12、. 所以 8 0 0 3 9 0 0 0 ,1 0 0 1 3 0 ,6 5 0 0 0 ,1 3 0 1 5 0 .XXT X? ? ? ? ?(2)由 (1)知利润 T不少于 57 000 元当且仅当 120 X 150. 由直方图知需求量 X 120,150的频率为 0.7，所以下一个销售季度内的利润 T不少于 57 000元的概率的估计值为 0.7. (3)依题意可得 T的分布列为 T 45 000 53 000 61 000 65 000 P 0.1 0.2 0.3 0.4 所以 ET 45 000 0.1 53 000 0.2 61 000 0.3 65 000 0.4 59 40
13、0. 20、 解：（）以题意知， ? ?10A?， ， ? ?10B， ， 1b? ，又 32ce a? ， 解得 2 4a? ， 2a? ， 1b? . （）设直线 l 的方程是 ? ? ? ?10y k x k? ? ?， 由方程组? ? ? ?2 2 1041y xyy k x? ?，得 ? ?2 2 2 24 2 4 0k x k x k? ? ? ? ?， 设 ? ?11,Px y ，则 21 221 4kx k? ?， 21 2 44kx k ? ?， 1 28 4ky k? ?， 22248,44kkP?， 4PAk k?， 0y? ， 0k? ； 由方程组 ? ? ? ?2 1
14、 01yx yy k x? ? ? ? ? ?，得 2 10x k x k? ? ? ?， 设 ? ?22,Qx y ，则 2 1xk? ? ， 22 2y k k? ? ， ? ?21, 2Q k k k? ? ? ?， 2AQkk? ， AP AQ? ， ? ?4 21kk? ? ? ? ?， 解得 83k? ，经检验符合题意， 7 所以直线 l 的方程是 ? ?8 13yx? ? . 21.解：（ 1）函数 ()fx的定义域是 (0, )? 由已知21 ln() xfx x? ?令 ( ) 0fx? ? ，得 xe? 因为当 0 xe? 时， ( ) 0fx? ? ；当 xe? 时， (
15、 ) 0fx? ? 所以函数 ()fx在 (0,e 上单调递增，在 , )e? 上单调递减 （ 2 ） 由 （ 1 ） 可 知 当 2me? ，即 2em? 时， ()fx 在 ,2mm上 单 调 递 增 ， 所 以m ax ln 2( ) (2 ) 12 mf x f m m? ? ? 当 me? 时， ()fx在 ,2mm上单调递减，所 以max ln( ) 1mfx m?当 2m e m? ，即 2e me?时，max 1( ) ( ) 1f x f e e? ? ?综上所述， m axln 2 1, 0221( ) 1,2ln 1,memmef x m eem mem? ? ? ? ?
16、 ? ? ?（ 3）由（ 1）知当 (0, )x? ? 时max 1( ) ( ) 1f x f e e? ? ?所以在 (0, )x? ? 时恒有 ln 1( ) 1 1xfxxe? ? ? ?，即 ln 1xxe?，当且仅当 xe? 时等号成立因此对任意 (0, )x? ? 恒有 1lnxe?因为 1 0nn? ?，1 n en? ? ，所以 1 1 1ln nnn e n? ，即 11ln( )enn? 因此对任意 *n?N ，不等式 11ln( )enn? 22.解 :（ 1）点 P的极坐标为 (4， 2? )，则直角坐标为 (0,4)，把 P(0,4)代入直线 L 的方程 x-y+4=0， 因为 0-4+4=0，所以点 P在直线 L上 （ 2）因为点 Q是曲线 C上的一个动点，则点 Q的坐标可设为 Q( 3 cos ,sin ) 点 Q 到直线 L的距离为 d=2 |4sincos3| ? ?= 2 cos( +6?)+2 2 所以当 cos( +6?)=-1时， d取得最小值 2
