1、 1 河北省巨鹿县二中 2017-2018 学年高二数学下学期期末考试试题 理 一、选择题 1.在极坐标系中 ,圆 2sin? 的圆心的极坐标是 ( ) A. 1,2?B. 1, 2?C. ? ?1,0 D. (1, )? 2.曲线的参数方程是211,1x tyt?(t 是参数 , 0t? ),它的普通方程是 ( ) A. 2( 1) ( 1) 1( 1)x y y? ? ? ? B. 2( 2) ( 1)(1 )xxyyx?C. 21 1( 1)(1 )yyx? ? ?D. 21 1( 1)(1 )yyx? ? ?3.点 ( , )Pxy 是椭圆 222 3 12xy?上的一个动 点 ,则
2、2xy? 的最大值为 ( ) A. 22 B. 22 C. 6 D. 4 4.设曲线 ? ?ln 1y ax x? ? ?在点 ? ?0,0 处的切线方程为 2yx? ,则 a? ( ) A.0 B.1 C.2 D.3 5.函数 ? ? ? ?3 xf x x e? 的单调递增区间是 ( ) A. ? ?,2? B. (0,3) C. ? ?1,4 D. ? ?2,? 6.如图所示 ,阴影部分的面积是 ( ) 2 A. 23 B. 2 2 3? C. 323 D. 353 7.函数 ? ? 21 ln2f x x x?的单调递减区间为 ( ) A. ? ?1,1? B. ? ?,1? C. ?
3、 ?0,1 D. ? ?1,? 8.定积分 10(2 )xx e dx? 的值为 ( ) A. 2e? B. 1e? C. e D. 1e? 9.若复数 z 满足 (3 4 ) 4 3i z i? ? ?,则 z 的虚部为 ( ) A. 4? B. 45? C. 4 D. 45 10.已知 ? ?21-i 1 iz ?(i 为虚数单位 ),则复数 z? ( ) A. 1i? B. 1i? C. 1i? D. 1i? 11.设 ? ? ? ?,f x g x 分别是定义在 R 上的奇函数和偶函数 ,当 0x?时 , ? ? ? ? ? ? ? ? 0f x g x f x g x?,且 ? ?3
4、0g ?,则不等式 ? ? ? ? 0f x g x ? 的解集是( ) A.? ? ? ?3,0 3,? ? ? B.( 3,0) (0,3)? C.? ? ? ?, 3 3,? ? ? ? D.( , 3) (0,3)? ? ? 12.已知函数 ? ?y xf x? ? 的图象如图所示 (其中 ?fx是函数 ?fx的导函数 ),下面四个图象中 , ? ?y f x? 的图象大致是 ( ) 二、填空题 3 13.若复数 12zi? ,其中 i 是虚数单位 ,则 1zzz? ? ?_. 14.已知函数 ? ? lnf x ax x? , ? ?0,x? ? ,其中 a 为实数 , ()fx为
5、f()x 的导函数 ,若(1) 3f? ? ,则 a 的值为 _ 15.已知函数 ? ? 321 13f x x ax x? ? ? ?有两个极值点 ,则实数 a 的取 值范围是 _. 16.在平面直角坐标系 xOy 中 ,直线 l 的参数方程为 3, 3,xtyt? (参数 tR? ),圆 C 的参数方程为 2cos , 2sin 2,xy ? (参数 ? ?0,2? ),则圆 C 的圆心坐标为 _,圆心到直线 l的距离为 _. 三、解答题 17.已知曲线 22:149xyC ?,直线 l : 2, 22xtyt? (t 为参数 ). 1.写出曲线 C 的参数方程 ,直线 l 的普通方程 ;
6、 2.过曲线 C 上任意一点 P 作与 l 夹角为 30 的直线 ,交 l 于点 A ,求 PA 的最大值与最小值 . 18.在平面直角坐标系 xOy 中 ,已知直线 l 的参数方程为21,2222xtyt?(t 为参数 ),直线 l 与抛物线 2 4yx? 相交于 ,AB两点 ,求线段 AB 的长 . 19.设函数 ? ? 32f x x ax bx? ? ?在点 1x? 处有极值 2? . 1.求常数 ,ab的值 ; 2. 求曲线 ? ?y f x? 与 x 轴所围成的图形的面积 . 4 20.已知函数 32( ) ( )f x ax x a R? ? ?在 43x? 处取得极值 . 1.
7、确定 a 的值 ; 2.若 ( ) ( ) xg x f x e? ,讨论 ()gx的单调性 . 21.已知 1 (3 ) (? 4)z x y y x i? ? ? ?, 2 ( 4 2 ) ( 5 3 ) ( , )z y x x y i x y R? ? ? ? ?,设 12z z z?,且13 2zi?,求复数 1z ,2z . 22.如图 ,棱锥 P ABCD? 的地面 ABCD 是矩形 , PA? 平面ABCD , 2PA AD?, 22BD? . 1.求证 : BD? 平面 PAC ; 2.求二面角 P CD B?的大小 ; 3.求点 C 到平面 PBD 的距离 . 5 参考答案
8、 一、选择题 1.答案： B 解析：因为该圆的直角坐标方程为 222x y y? ? ,即为 ? ?22 11xy? ? ?,圆心的直角坐标为? ?0, 1? ,化为极坐标为 1, 2?,故选 B . 2.答案： B 解析：由 11x t? ,得 11t x? ? ,故221 ( 2)(1 ) (1 )xxy xx?, 又 21yt? , 0t? ,故 1y? ,因此所求的普通方程为2( 2) ( 1)(1 )xxyyx?. 3.答 案： A 解析：椭圆方程为 22164xy?,设 ( 6 cos , 2 sin )P ?,则2 6 c o s 4 s i n 2 2 s i n ( )xy
9、? ? ? ? ? ? ? ? (其中 6tan 4? ),故2 22xy? . 2xy? 的最大值为 22 . 4.答案： D 解析： ? ?ln 1y ax x? ? ?, 1 1yax? , 由题意得 0| 2xy ? ? ,即 12a? , 3a? . 5.答案： D 解析： ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 3 3 2x x xf x x e x e x e? ? ? ? ? ?, 求 ?fx的单调递增区间 ,令 ? ?0fx? ,解得 2x? ,故选 D . 6.答案： C 解析：由题意得 ,直线 2yx? 与抛物线 23yx? ,解得交点分别为 ( 3, 6)? 和 ? ?
10、1,2 , 6 抛物线 23yx? 与 x 轴负半轴交点 ? ?3,0? ,设阴影部分的面积为 S , 则10220 3( 3 2 ) ( 3 )S x x d x x d x? ? ? ? ?03 2332 (3 )xdx x dx? ? 5 3 22 3 9 2 333? ? ? ? ?. 7.答案： C 解析： 函数 ? ? 21 ln2f x x x?的定义域是 ? ?0,? , ? ? 1f x x x?,令 ? ?0fx? ,即1 0x x?,解得 01x?,故选 C. 8.答案： C 解析：因为 2( ) 2xxx e x e? ? ?,所以 1 2 1 001( 2 ) ( )
11、 | (1 ) ( 0 )0xxx e d x x e e e e? ? ? ? ? ? ? ? . 9.答案： D 解析： (3 4 ) 4 3i z i? ? ?, 2243 4 3 5 ( 3 4 ) 3 43 4 3 4 2 5 5 5i iziii? ? ? ? ? ?. z 的虚部为 45 . 10.答案： D 解析：由题根据所给复数式子进行化简即 可得到复数的代数式 ; 由题 ? ?21 1i iz? ?, ? ? ? ?21 2 12 11 1 2i i iiziii? ? ? ? ? ? ? ?,故选 D. 11.答案： D 12.答案： C 解析：由函数 ? ?y xf x
12、? ? 的图象可知 : 当 1x? 时 , ? ? ? ? 0, 0xf x f x,此时 ?fx单调递增 当 10x? ? ? 时 , ? ? ? ? 0, 0xf x f x?,此时 ?fx单调递减 当 01x?时 , ? ? ? ? 0, 0xf x f x?,此时 ?fx单调递减 7 当 1x? 时 , ? ? ? ? 0, 0xf x f x?,此时 ?fx单调递增 . 综上所述 ,故选 C. 二、填空题 13.答案： 6 解析： 12zi? , 12zi? . 1 1 5 1 6z z z zz? ? ? ? ? ? ? ?. 14.答案： 3? 15.答案： ? ? ? ?, 1
13、 1,? ? ? ? 解析： ? ? 2 2 1f x x ax? ? ?, 因为函数 ?fx有两个极值点 , 所以方程 ? ? 2 2 1 0f x x ax? ? ? ? 有两 个不相等的实数根 , 24 4 0a? ? ? , 解得 1a? 或 1a? . 16.答案： ? ?0,2 ;22 解析：由 3, 3,xtyt? (t 为参数 )消去参数 ,得普通方程为 60xy? ? ? , 由 2cos , 2sin 2,xy ? (参数 0,2? ?)消去参数 , 利用 22sin cos 1?,得普通方程为 22( 2) 4xy? ? ?. 圆心坐标为 ? ?0,2 ,圆心到直线距离
14、26 222d ?. 三、解答题 8 17.答案： 1.曲线 C 的参数方程为 2cos , 3sinxy ? (? 为参数 ). 直线 l 的普通方程为 2 6 0xy? ? ? 2.曲线 C 上任意一点 (2cos ,3sin )P ?到 l 的距离 5 4 c o s 3 s in 65d ? ? ?. 则 d 2 5 5 s in ( ) 6s in 3 0 ? 5PA ? ? ? ?,其中 ? 为锐角 ,且 4tan 3? . 当 sin( ) 1? ? 时 , PA 取得最大值 ,最大值为 2255. 当 sin( ) 1?时 , PA 取得最小值 ,最小值为 255. 18.答案
15、： 82 解析：将直线 l 的参数方程21,2222xtyt?代入抛物线方程 2 4yx? , 得 2222 4 1tt? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?,解得 120, 8 2tt? ? . 所以 12 82AB t t? ? ?. 19.答案： 1.由题意知 ? ? 2 3 2f x x ax b? ? ?, ? ?12f ? 且 ? 1 0f ? , 即 1 2,3 2 0,abab? ? ? ? ? ,解得 0, 3ab? ? . 2.如图 ,由 1 问知 ? ? 3 3f x x x?.作出曲线 3 3y x x?的草图 ,所求面积为阴影部分的面积 . 9 由
16、 3 30xx?得曲线 3 3y x x?与 x 轴的交点坐标是 ? ?3,0? ,? ?0,0 和 ? ?3,0 , 而 3 3y x x?是 R 上的奇函数 ,函数图象关于原点中心对称 . 所以 y 轴右侧阴影面积与 y 轴左侧阴影 面积相等 . 所以所求图形的面积为 ? ?3 302 1 3S x x dx? 421 3 932|4 2 20xx? ? ? ?. 20.答案： 1.对 ()fx求导得 2( ) 3 2f x ax x?. 因为 ()fx在 43? 处取得极值 ,所以 4 03f ?,即 1 6 4 1 6 83 2 09 3 3 3aa? ? ? ? ? ? ?, 解 得
17、 12a? . 2.由 1 得 ? ? 3212 xg x x x e?, 故 ? ? ? ? ? ?2 3 23 1 12 1 42 2 2x x xg x x x e x x e x x x e? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?令 ( ) 0gx? ? ,解得 0x? 或 1x? 或 4x? . 当 4x? 时 , ( ) 0gx? ,故 ()gx为减函数 ; 当 41x? ? ? 时 , ( ) 0gx? ,故 ()gx为增函数 ; 当 10x? ? ? 时 , ( ) 0gx? ,故 ()gx为减函数 ; 当 0x? 时 , ( ) 0gx? ,故 ()gx
18、为增函数 ; 综上可知 ()gx在 ( ,4)? 和 ( 1,0)? 上为减函数 ,在 ( 4, 1)?和 (0, )? 上为增函数 . 21.答案： 12z z z? ? ? ? ? ? ? ? ?3 4 4 2 5 3x y y x i y x x y i? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?3 4 2x y y x? ? ? ? ? ? ?4 5 3y x x y i? ? ? ? ? ? ?5 3 4x y x y i? ? ? ?. ? ? ? ?5 3 4z x y x y i? ? ? ?. 10 又 13 2zi? 5 3 13 42xyxy? ? 2 1xy? ? ? ?
19、 ?1 3 2 1 1 4 2zi? ? ? ? ? ? ?5 9,i? ? ? ? ?2 4 1 2 2 5 2 3 1 8 7 .z i i? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 22.答案： 1.解法一 :在 Rt BAD? 中 , 2AD? , 22BD? , 2AB? , ABCD 为正方形 , 因此 BD AC? , PA? 平面 ABCD ,BD? 平面 ABCD , BD PA? .又 PA AC A?, BD? 平面 PAC . 解法二 :简历如图所示的空间直角坐标系 , 则 ? ?0,0,0A , ? ?0,2,0D , ? ?0,0,2P , 在 Rt BAD? 中 , 2AD? , 22BD? , 2AB? , ? ?2,0,0B , ? ?2,2,0c , (0,0,2)AP? , (2,2,0)AC? , ? ?2,2,0BD ? .
