1、21.3 二次函数与一元二次方程二次函数与一元二次方程第1课时 二次函数与一元二次方程1.通过探索，理解二次函数与一元二次方程之间的联系；重点2.会用二次函数图象求一元二次方程的近似解；重点3.通过研究二次函数与一元二次方程的联系体会数形结合思想的应用.难点学习目标导入新课导入新课情境引入问题 如图，以40m/s的速度将小球沿与地面成30角的方向击出时，球的飞行路线将是一条抛物线，如果不考虑空气的阻力，球的飞行高度h单位：m与飞行时间t单位：s之间具有关系：h=20t-5t2，考虑以下问题：讲授新课讲授新课二次函数与一元二次方程的关系1球的飞行高度能否到达球的飞行高度能否到达15m？如果能，需
2、要多？如果能，需要多少飞行时间？少飞行时间？Oht1513当球飞行1s或3s时，它的高度为15m.解：解方程 15=20t-5t2,t2-4t+3=0,t1=1,t2=3.你能结合上图，指出为什么在两个时间求的高度为15m吗？h=20t-5t22球的飞行高度能否到达球的飞行高度能否到达20m？如果能，需？如果能，需要多少飞行时间？要多少飞行时间？你能结合图形指出为什么只在一个时间球的高度为20m？Oht204解方程：20=20t-5t2,t2-4t+4=0,t1=t2=2.当球飞行2秒时，它的高度为20米.h=20t-5t23球的飞行高度能否到达球的飞行高度能否到达20.5m？如果能，需？如果
3、能，需要多少飞行时间？要多少飞行时间？Oht你能结合图形指出为什么球不能到达20.5m的高度?20.5解方程：20.5=20t-5t2,t2-4t+4.1=0,因为(-4)2-4 4.1 0有两个重合的交点有两个相等的实数根b2-4ac=0没有交点没有实数根b2-4ac 0二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交点的坐标与一元二次方程ax2+bx+c=0根的关系例1：关于x的二次函数ymx2(m2)x2(m0)(1)求证：此抛物线与x轴总有两个交点；(2)假设此抛物线与x轴总有两个交点，且它们的横坐标都是整数，求正整数m的值(1)证明：m0，(m2)24m2m24m48m(m2)2.(m2)
4、20，0，此抛物线与x轴总有两个交点；(2)解：令y0，那么(x1)(mx2)0，所以 x10或mx20，解得 x11，x2 .当m为正整数1或2时，x2为整数，即抛物线与x轴总有两个交点，且它们的横坐标都是整数所以正整数m的值为1或2.例1：关于x的二次函数ymx2(m2)x2(m0)(1)求证：此抛物线与x轴总有两个交点；(2)假设此抛物线与x轴总有两个交点，且它们的横坐标都是整数，求正整数m的值m2变式：抛物线yx2axa2.(1)求证：不管a取何值时，抛物线yx2axa2与x轴都有两个不同的交点；(2)设这个二次函数的图象与x轴相交于A(x1，0)，B(x2，0)，且x1、x2的平方和
5、为3，求a的值(1)证明：a24(a2)(a2)240，不管a取何值时，抛物线yx2axa2与x轴都有两个不同的交点；(2)解：x1x2a，x1x2a2，x1(2)x2(2)(x1x2)22x1x2a22a43，a1.例2如图，丁丁在扔铅球时，铅球沿抛物线 运行，其中x是铅球离初始位置的水平距离，y是铅球离地面的高度.1当铅球离地面的高度为2.1m时，它离初始位置的水平距离是多少？2铅球离地面的高度能否到达2.5m，它离初始位置的水平距离是多少？3铅球离地面的高度能否达到3m？为什么？268-10105xyx解：1由抛物线的表达式，得 即 解得 即当铅球离地面的高度为2.1m时，它离初始位置的
6、水平距离是1m或5m.2682.1-10105xx2650 xx12=1=5.xx，1当铅球离地面的高度为2.1m时，它离初始位置的水平距离是多少？2铅球离地面的高度能否到达2.5m，它离初始位置的水平距离是多少？解：2由抛物线的表达式得 即 解得 即当铅球离地面的高度为2.5m时，它离初始位 置的水平距离是3m.2682.5-10105xx2690 xx12=3.xx解：3由抛物线的表达式得 即 因为 所以方程无实根.所以铅球离地面的高度不能到达3m.2683-10105xx26140 xx2=-6-4 1 140（），3铅球离地面的高度能否到达3m？为什么？一元二次方程与二次函数紧密地联系
7、起来了一元二次方程与二次函数紧密地联系起来了.2(0)yaxbxc ayM2=axbxc M例3：求一元二次方程 的根的近似值精确到0.1.0122 xx 分析：一元二次方程 x-2x-1=0 的根就是抛物线 y=x-2x-1 与x轴的交点的横坐标，因此我们可以先画出这条抛物线，然后从图上找出它与x轴的交点的横坐标，这种解一元二次方程的方法叫作图象法.利用二次函数求一元二次方程的近似解解：画出函数 y=x-2x-1 的图象如以下图，由图象可知，方程有两个实数根，一个在-1与0之间,另一个在2与3之间.先求位于-1到0之间的根，由图象可估计这个根是-0.4或-0.5，利用计算器进行探索，见下表：
8、x-0.4-0.5y-0.040.25观察上表可以发现，当x分别取-0.4和-0.5时，对应的y由负变正，可见在-0.5与-0.4之间肯定有一个x使y=0，即有y=x2-2x-1的一个根，题目只要求精确到0.1，这时取x=-0.4或x=-0.5都符合要求.但当x=-0.4时更为接近0.故x1-0.4.同理可得另一近似值为x22.4.一元二次方程的图象解法利用二次函数的图象求一元二次方程2x2+x-15=0的近似根.(1)用描点法作二次函数 y=2x2+x-15的图象；(2)观察估计二次函数 y=2x2+x-15的图象与x轴的交点的横坐标；由图象可知,图象与x轴有两个交点,其横坐标一个是-3,另
9、一个在2与3之间,分别约为-3和2.5(可将单位长再十等分,借助计算器确定其近似值);(3)确定方程2x2+x-15=0的解;由此可知,方程2x2+x-15=0的近似根为:x1-3,x22.5.方法归纳例4:二次函数yax2bxc的图象如下图，那么一元二次方程ax2bxc0的近似根为()Ax12.1，x20.1 Bx12.5，x20.5Cx12.9，x20.9 Dx13，x21解析：由图象可得二次函数yax2bxc图象的对称轴为x1，而对称轴右侧图象与x轴交点到原点的距离约为0.5，x20.5；又对称轴为x1，则 1，x12(1)0.52.5.故x12.5，x20.5.故选B.221xx B
10、解答此题首先需要根据图象估计出一个根，再根据对称性计算出另一个根，估计值的精确程度，直接关系到计算的准确性，故估计尽量要准确方法总结 判断方程 ax2+bx+c=0(a0,a,b,c为常数)一个解x的范围是 A.3 x 3.23 B.3.23 x 3.24 C.3.24 x 3.25 D.3.25 x 3.26 x3.233.243.253.26y=ax2+bx+c-0.06-0.020.030.09C1.根据以下表格的对应值根据以下表格的对应值:当堂练习当堂练习2假设二次函数假设二次函数y=-x2+2x+k的局部图象如下图，且的局部图象如下图，且关于关于x的一元二次方程的一元二次方程-x2+
11、2x+k=0的一个解的一个解x1=3，那，那么另一个解么另一个解x2=；-1yOx133.一元二次方程 3x2+x10=0的两个根是x1=2，x2=，那么二次函数 y=3x2+x10与x轴的交点坐标是 .53(-2，0)(，0)534.假设一元二次方程 无实根，那么抛物线 图象位于 A.x轴上方 B.第一、二、三象限C.x轴下方 D.第二、三、四象限02nmxxnmxxy2A5.二次函数ykx26x3的图象与x轴有交点，那么k的取值范围是()Ak3 Bk3且k0Ck3 Dk3且k0D6.函数y(k3)x22x1的图象与x轴有交点，求k的取值范围解：当k3时，函数y2x1是一次函数一次函数y2x
12、1与x轴有一个交点，k3；当k3时，y(k3)x22x1是二次函数二次函数y(k3)x22x1的图象与x轴有交点，b24ac0.b24ac224(k3)4k16，4k160.k4且k3.综上所述，k的取值范围是k4.7.某学校初三年级的一场篮球比赛中，如图，队员甲正在投篮，球出手时距地面 米，与篮框中心的水平距离为7米，当球出手后水平距离为4米时到达最大高度4米，设篮球运行轨迹为抛物线，篮框距地面3米(1)建立如下图的平面直角坐标系，问此球能否准确投中？209解：(1)由条件可得到出手点、最高点和篮框的坐标分别为A(0，)，B(4，4)，C(7，3)，其中B是抛物线的顶点设二次函数关系式为ya(xh)2k，将点A、B的坐标代入，可得y (x4)24.将点C的坐标代入上式，得左边3，右边 (74)243，左边右边，即点C在抛物线上所以此球一定能投中；2091919(2)此时，假设对方队员乙在甲面前1米处跳起盖帽拦截，乙的最大摸高为3.1米，那么他能否获得成功？解：(2)将x1代入函数关系式，得y3.因为3.13，所以盖帽能获得成功
