1、第八章平面向量与复数第八章平面向量与复数第一节向量及其运算第一节向量及其运算备考方向明确备考方向明确知识链条完善知识链条完善高频考点突破高频考点突破课堂类题精练课堂类题精练备考方向明确备考方向明确复习目标复习目标学法指导学法指导1.1.平面向量的实际背景及基本概念平面向量的实际背景及基本概念(1)(1)向量的物理背景与概念向量的物理背景与概念向量的概念向量的概念.(2)(2)向量的几何表示向量的几何表示零向量、单位向量、向量模的概念零向量、单位向量、向量模的概念.(3)(3)相等向量、平行向量、共线向量相等向量、平行向量、共线向量的概念的概念.1.1.熟记概念熟记概念,对于概念中的前提条件对于
2、概念中的前提条件引起重视引起重视.2.2.解决向量的概念问题要注意两点解决向量的概念问题要注意两点,一是考虑大小一是考虑大小,更要考虑方向更要考虑方向;二是二是考虑零向量的特殊性考虑零向量的特殊性.2.2.平面向量的线性运算平面向量的线性运算(1)(1)向量加法的定义及几何意义向量加法的定义及几何意义.向量加法的交换律和结合律向量加法的交换律和结合律.(2)(2)相反向量的概念相反向量的概念.向量减法的向量减法的定义及几何意义定义及几何意义.(3)(3)向量的数乘运算向量的数乘运算.向量数乘运向量数乘运算的几何意义算的几何意义.3.3.向量的线性运算向量的线性运算,要在所表达的图要在所表达的图
3、形 上 多 思 考、多 联 系 相 关 几 何形 上 多 思 考、多 联 系 相 关 几 何图形图形.知识链条完善知识链条完善网络构建网络构建一、平面向量的有关概念一、平面向量的有关概念1.1.向量的有关概念向量的有关概念(1)(1)定义定义既有既有 又有又有 的量叫做向量的量叫做向量.(2)(2)表示方法表示方法用字母表示用字母表示:如如a a,b b,c c等等;大小大小方向方向大小大小方向方向大小大小名称名称定义定义备注备注零向量零向量长度为长度为 的向量的向量记作记作0 0,0 0的方向是任意的的方向是任意的单位单位向量向量长度等于长度等于 的向量的向量非零向量非零向量a的同向单位向量
4、为的同向单位向量为 2.2.特殊向量特殊向量aa零零1 1个单位个单位平行平行(共线共线)向量向量方向相同或方向相同或 的非零向量的非零向量0 0与任一向量平行与任一向量平行(或共线或共线)相等相等向量向量长度长度 且方向且方向 的向量的向量两个向量只有相等或不相等两个向量只有相等或不相等,不不能比较大小能比较大小相反相反向量向量长度长度 且方向且方向 的向量的向量 0 0的相反向量为的相反向量为0 0相反相反相等相等相同相同相等相等相反相反拓展空间拓展空间1.1.概念理解概念理解(1)(1)仅从向量的模定义零向量和单位向量仅从向量的模定义零向量和单位向量,它们方向不确定它们方向不确定,因此解
5、题时注意因此解题时注意特殊性特殊性.(2)(2)按照方向相同或相反定义平行向量和共线向量按照方向相同或相反定义平行向量和共线向量,因此两个向量方向相同或因此两个向量方向相同或相反即可判定是否为共线向量相反即可判定是否为共线向量.2.2.与零向量有关的结论与零向量有关的结论(1)(1)零向量与任意向量为共线向量零向量与任意向量为共线向量;(2)0(2)0a a=0 0.二、平面向量的线性运算二、平面向量的线性运算向量向量运算运算定义定义法则法则(或几何意义或几何意义)运算律运算律加法加法求两个向量和的运算求两个向量和的运算交换律交换律:a a+b b=;结合律结合律:(:(a a+b b)+c=
6、)+c=_b+ab+aa+(b+c)a+(b+c)减法减法求求a a与与b b的相反向的相反向量量-b b的和的运算的和的运算叫做叫做a a与与b b的差的差数乘数乘求实数求实数与向量与向量a a的积的运算的积的运算|a|=|a|=.当当00时时,a,a的方向与的方向与a a的方的方向向 ;当当0|b b|,|,则则a a b b;,为实数为实数,若若a a=b b,则则a a与与b b共线共线;两向量平行是这两个向量相等的必要不充分条件两向量平行是这两个向量相等的必要不充分条件.其中错误命题的序号为其中错误命题的序号为.(.(填序号填序号)解析解析:(3)(3)不正确不正确.相反向量满足方向
7、相反相反向量满足方向相反,长度相等长度相等.不正确不正确,两向量不能两向量不能比较大小比较大小;不正确不正确.当当=0=0时时,a a与与b b可能不共线可能不共线;正确正确.反思归纳反思归纳 (1)(1)相等向量具有传递性相等向量具有传递性,共线向量不具有传递性共线向量不具有传递性,只有当非零向只有当非零向量之间才具有传递性量之间才具有传递性.(2)(2)注意注意0 0的特殊性的特殊性,验证命题为假命题时验证命题为假命题时,通常采用举反例的方式通常采用举反例的方式,在向量概在向量概念问题的判定上念问题的判定上,反例通常可以选取反例通常可以选取0 0.(3)(3)向量可以平移向量可以平移,平移
8、后的向量与原向量相等平移后的向量与原向量相等.反思归纳反思归纳迁移训练迁移训练下列命题中正确的个数为下列命题中正确的个数为()向量向量a a与向量与向量b b平行平行,则则a a与与b b的方向相同或相反的方向相同或相反;若向量若向量a a与与b b满足满足a a+b b=0 0,则则a a与与b b共线共线;若向量若向量a a与与b b均为非零向量均为非零向量,则则|a a+b b|与与|a a|+|+|b b|一定相等一定相等;设设e e为单位向量为单位向量,若若a a与与e e平行平行,则则a a=|=|e e|a a.(A)1(A)1(B)2(B)2(C)3(C)3(D)4(D)4B
9、B解析解析:不正确不正确,若向量若向量a a与向量与向量b b中有一个为零向量中有一个为零向量,则两个向量方向不一则两个向量方向不一定相同或相反定相同或相反;正确正确;不正确不正确,因为因为|a a+b b|a a|+|+|b b|,|,所以所以|a a+b b|与与|a a|+|+|b b|不一定相等不一定相等;正确正确,因为因为|e e|=1,|=1,所以所以a a=|=|e e|a a成立成立.故选故选B.B.考点二平面向量的线性运算考点二平面向量的线性运算反思归纳反思归纳 三角形法则和平行四边形法则是向量线性运算的主要方法三角形法则和平行四边形法则是向量线性运算的主要方法,在运算在运算
10、时时,要注意两种法则的适用条件要注意两种法则的适用条件.迁移训练迁移训练C C 考点三共线向量定理及应用考点三共线向量定理及应用(2)(2)试确定实数试确定实数k,k,使使k ka a+b b和和a a+k+kb b同向同向.反思归纳反思归纳 (1)(1)证明三点共线问题证明三点共线问题,可用向量共线解决可用向量共线解决,但应注意向量共线与三但应注意向量共线与三点共线的区别点共线的区别:只有两向量有公共点且共线时只有两向量有公共点且共线时,才能得出三点共线才能得出三点共线.(2)(2)a a与与b b共线是指存在不全为零的共线是指存在不全为零的1 1,2 2,使使1 1a a+2 2b b=0
11、,=0,若若1 1a a+2 2b b=0,=0,当当且仅当且仅当1 1=2 2=0=0时成立时成立,则则a a与与b b不共线不共线.迁移训练迁移训练答案答案:1313课堂类题精练课堂类题精练类型一平面向量的基本概念类型一平面向量的基本概念D D1.1.以下给出了以下给出了4 4个命题个命题:(1)(1)两个长度相等的向量一定相等两个长度相等的向量一定相等;(2)(2)相等的向量起点必相同相等的向量起点必相同;(3)(3)若若a ab b=a ac c,且且a a0 0,则则b b=c c;(4)(4)若向量若向量a a的模小于的模小于b b的模的模,则则a a b b.其中正确命题共有其中
12、正确命题共有()(A)3(A)3个个(B)2(B)2个个(C)1(C)1个个(D)0(D)0个个解析解析:长度相等方向相同的向量是相等向量长度相等方向相同的向量是相等向量,故故(1)(1)错误错误;根据相等向量的定义根据相等向量的定义知知,相等向量起点不一定相同相等向量起点不一定相同,故故(2)(2)错误错误;因为因为a ab b=a ac c,所以所以a a(b b-c c)=0,)=0,又因又因为为a a0,0,所以必有所以必有a a(b b-c c),),而而b b=c c不一定成立不一定成立,故故(3)(3)错误错误;向量不能比较大小向量不能比较大小,故故(4)(4)错误错误.故选故选D.D.B B类型二平面向量的线性运算类型二平面向量的线性运算B BB B类型三共线向量定理类型三共线向量定理B B
