1、 1 广东省汕头市 2018届高三数学上学期开学摸底考试（ 8 月）试题 文 、选择题 :本大题共 12小题，每小题 5分 ,在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目 要求的 . 1. 复数 z=1-i,则 zz?1 对应的点所在的象限为 A.第一象限 B.第二象限 C.第三象跟 D.第四象限 2. 若集合 822| 2 ? ?xZxA ， 02| 2 ? xxRxB ，则 )( BCA R? 所含的元素个数为 A. O B. 1 C. 2 D. 3 3. 某学校高三年级一班共有 60名学生，现采用系统抽样的方法从中抽取 6名学生做“早餐 与健康 ” 的调查，为此将学生编号为 1、 2、
2、? 、 60，选取的这 6名学生的编号可能是 A. 1,2,3,4,5,6 B. 6， 16， 26， 36， 46， 56 C. 1,2， 4， 8， 16， 32 D. 3,9,13 ,27,36,54 4 已知双曲线的一个焦点与抛物线 x2=20y的焦点重合，且其渐近线的方程为 3x? 4y=0,则 该双曲线的标准方程为 A. 1169 22 ? yxB. 1916 22 ? yxC. 1169 22 ?xyD. 1916 22 ?xy5.设 l、 m是两条不同的直线， a, 是两个不同的平面 ,有下列命题： l/m,m? a,则 l/a l/a,m/a 则 l/m a丄， l? a，则
3、 l丄 l丄 a， m 丄 a,则 l/m 其中正确的命题的个数是 A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 2 6.下面左图是某学习小组学生数学考试成绩的茎叶图， 1号到 16号同学的成绩依次为 A1，A2， ? ， A16，右图是统计茎叶图中成绩在一定范围内的学生人数的算法流程图，那么该算法流程图输出的结果是 A 6 B 10 C 91 D 92 7. 已知等比数列 an， 且 a4+a8=-2,则 a6(a2+2a6+a10） 的值 为 A. 4 B. 6 C. 8 D. -9 8. 设曲线 2( ) 1 c o s ( )f x m x m R? ? ?上任一点 (, )xy 处切线斜率
4、为 ()gx，则函数2 ()y x g x? 的部分图象可以为 9. 巳知点 (x,y)在 ABC所包围的阴影区域内 (包含边界 ),若B(3, 25 )是使得 z=ax-y取得最大值的最优解 ,则实数 a 的取值范围为 A. 21?a B. 0?a C. 21?a D. 021 ? a 3 10. 已知函数 |)62s in (|)( ? xxf ，下面说法正确的是 A.函数的周期为 4? B.函数图象的一条对称轴方程为 3?x C.函数在区间 65,32 ? 上 为减函数 D函数是偶函数 11. 已知正三棱锥 P-ABC的主视图和俯视图如图所示 , 则此三棱锥的外接球的表面积为 A 4 B
5、, 12 C. 316? D. 364? 12. 已知函数 2(1 ) (0 )() 2xfff x e x xe? ? ? ? ?，若存在实数 m 使得不等式 2( ) 2f m n n?成立， 则 实数 n 的取值范围为 A. ? ?1- , 1,2? ? ? ? ?B. ? ? 1, 1 ,2? ? ? ? ?C. ? ? 1, 0 ,2? ? ?D. ? ?1- , 0,2? ? ? ? ?二、填空题：本大题共 4小题，每小题 5分，共 20分 a 13.已知向量 (1, 2), ( ,1)a b x?， 2 , 2u a b v a b? ? ? ?,且 u v ， 则实数 x 的值
6、是 _ 14.若?)1(2)1(1)( 2xxxxfx， 则21(log 6)f f?=_ 15. 已知点 P(x,y)在直线 x+2y=3 上移动，当 2x+4y取得最小值时 ， 过点 P引圆 21)41()21( 22 ? yx 的切线，则此切线段的长度为 _ 4 B CDAPFE16. 已知 12,FF分别是椭圆 221xyab?( 0)ab?的左、右焦点 ,P 是椭圆上一点（异于左、右顶点），过点 P 作 12FPF? 的角平分线交 x 轴于点 M ，若 2 122 PM PF PF?，则该椭圆的离心率为 三 、解 答 题 : 本大题共 6小 题 ，共 70分 . 解答应写出文字说明，
7、证明过程或演算步骤 17. (本小题满分 10分） 在 ABC中，角 A， B， C所对的边分别为 a， b， c，且满足 （ 1）求角 C的大小； （ 2）若 bsin（ A） = acosB，且 ，求 ABC的面积 18. (本小题满分 12分 ） 如图，在四棱锥 P ABCD中， ADC=90 ， AD BC， BC= CD=AD=1， PA 平面 ABCD， PA=2AD，E是线段 PD 上的点，设 PE=PD ， F是 BC上的点，且 AF CD （ ）若 = ，求证： PB 平面 AEF （ ）三棱锥 P AEF的体积为 时，求 的值 19. (本小题满分 12分） 已知经销某种商
8、品的电商在任何一个销售季度内，每售出 吨该商品可获利润 万元，未售出的商品，每 吨亏损 万元根据往年的销售经验，得到一个销售季度内市场需求量的频率分布直方图 ， 如 下 图所示已知电商为下一个销售季度筹备了 吨该商品现以（单位：吨， ）表示下一个销售季度的市场需求量， （单位：万元）表示该电商下一个销售季度内经销该商品获得的利润 （ ）根据频率分布直方图，估计一个销售季度内市场需求量 的平均数与中位数的大小； （结果精确到小数后 1位） （ ）根据直方图估计利润 不少于 57 万元的概率 . 5 20. (本小題满分 12分） 已知椭圆 22 1 ( 0 )xy abab? ? ? ?的左、右
9、焦点分别为 F1(-1， 0)， F2(1,0)，过 F1 作与 x轴不重合 的直线 l 交椭圆于 A,B 两点 . (I)若 ABF2为正三角形，求椭圆的标准方程； (II)若椭圆的离心率满足2 150 ?e,O 为坐标原点，求证： AOB? 为钝角 . （可供参考： 3 5 132?） 21 (本小题满分 14分） 已知函数 f（ x） =x2+1， g（ x） =2alnx+1（ a R） （ 1）求函数 h（ x） =f（ x） ? g（ x）的极值； （ 2）当 a=e时，是否存在实数 k， m，使得不等式 g（ x） kx+m f（ x）恒成立？若存在，请求实数 k， m的值；若不
10、存在，请说明理由 请考生在 22? 23三题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分 . 22.选修 4-4:坐标系与参数方程 在平面直角坐标系 中 ，以 原 点 O 为极点 ,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线 C 的极坐标方程为 : ? cossin 2 ? (I)求曲线 C 的 直角坐标方程； 6 (II)若直线 l 的参数方程为22222xtyt? ? ?（ t 为参数），直线 l 与曲线 C 相交于 A、 B两点，求 |AB|的值。 23. (本小题满分 10分 )选修 4-5:不等式选讲 巳知函数 f(x)=|x-2|+2|x-a|(a R). (I)当 a=1时，解
11、不等式 f(x)3; (II)不等式 1)( ?xf 在 区 间（ - ， + )上恒成立，求实数 a 的取值范围。 高三第一学期文科数学摸底考试 （数学文科答案） 一、选择题 1-5 DCBCA 6-10 BADAB 11-12 DA 二、填空题 13 12 14 3635 15. 6216 . 22 三、 解答题 17. 解：（ 1）在 ABC 中，由 ， 由余弦定理： a2+b2 c2=2abcosC， 可得： 2 acsinB=2abcosC 由正弦定理： 2 sinCsinB=sinBcosC 0 B ， sinB 0， 7 2 sinC=cosC， 即 tanC= ， 0 C ，
12、C= （ 2）由 bsin（ A） =acosB， sinBsinA=sinAcosB， 0 A ， sinA 0， sinB=cosB， ， 根据正弦定理 ，可得 ， 解得 c=1 18解： （ ）证明：如图， AD BC， AF CD， 四边形 AFCD为平行四边形，则 CF=AD=1， BC=3， BF=2， 连接 BD，交 AF于 G，则 AGD FGB， 连接 GE， PE= PD， ， ，则 EG PB EG?平面 AEF， PB?平面 AEF， PB 平面 AEF； 8 （ ）解： PA 平面 ABCD， PA AF， 由（ ）知 AF CD，又 CD AD， AF AD，而 P
13、A AD=A， AF 平面 PAD PA=2AD=2， ， PE=PD ， S PAE= ， 又 AF=CD=2， ，得 19.解： （ ）估计一个销售季度内市场需求量 的平均数为（吨） 设所求中位数为 k ，由直方图建立方程： 0 . 0 1 1 0 0 . 0 2 1 0 ( 1 2 0 ) 0 . 0 3 0 . 5k? ? ? ? ? ? ? 解得 201 2 0 1 2 6 .73k ? ? ? 即 估计一个销售季度内市场需求量 的 中位 数为 126.7 。 （ ）当 时， ； 当 时， ， 所以， 根据频率分布直方图及（ ）知， 当 时，由 ，得 ， 当 时，由 ， 所以，利润
14、不少于 万元当且仅当 ， 于是由频率分布直方图可知市场需求量 的频率为9 所以下一个销售季度内的利润 不少于 57万元的概率的估计值为 20. 解： （） 因为 2ABF? 为正三角形，所以 22AF BF? ? AB x? 轴 2122 ,2bAB F Fa?且有1232 AB FF?，所以 23 2ba ? 化为 23 2 3 0aa? ? ? 解得 3a? 2b? 故椭圆的标准方程为 22132xy? ? 4分 （）设 1 1 2 2( , ), ( , )A x y B x y，因为 510 2e ? ， 1c? ，所以 152a ? ? 6分 当直线 AB 与 x 轴垂直时， 由（）
15、此时椭圆离心率 3 5 132e ? 且有 22( 1, ), ( 1, )33AB? ? ?，所以 1 03OA OB? ? ? ? AOB? 为钝角 .? 8分 当直线 AB 不与 x 轴垂直时，设直线 AB 的方程为： ( 1)y k x?，代入 221xyab?， 整理得： 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2( ) 2 0b a k x k a x a k a b? ? ? ? ?， 2212 2 2 22akxx b a k? ? ，2 2 2 212 2 2 2a k a bxx b a k? ? 10 1 2 1 2OA OB x x y y? ? ? 21 2 1 2 1
16、2 1 2( 1 ) ( 1 )x x y y x x k x x? ? ? ? ? 2 2 21 2 1 2(1 ) ( )x x k k x x k? ? ? ? ? 2 2 2 2 2 2 4 2 2 2 22 2 2( ) (1 ) 2 ( )a k a b k a k k b a kb a k? ? ? ? ? ? 2 2 2 2 2 2 22 2 2()k a b a b a bb a k? ? ? ? 2 4 2 2 22 2 2( 3 1)k a a a bb a k? ? ? ? ? ? 10 分 令 42( ) 3 1m a a a? ? ? ?， 由 可知 ( ) 0ma
17、? ， AOB? 恒为钝角 .? 12 分 21 解：（ 1） h（ x） =f（ x） g（ x） =x2 2alnx， x 0 所以 h （ x） = 当 a 0， h （ x） 0， 此时 h（ x）在（ 0， + ）上单调递增，无极值， 当 a 0时， 由 h （ x） 0，即 x2 a 0，解得： a 或 x ，（舍去） 由 h （ x） 0，即 x2 a 0，解得： 0 x ， h（ x）在（ 0， ）单调递减，在（ ， + ）单调递增， h（ x）的极小值为 h（ ） =a 2aln =a alna，无极大值； （ 2）当 a=e时， 由（ 1）知 min()hx ? h（ ） =h（ ） =e elne=0 f（ x） g（ x） 0， 也即 f（ x） g（ x） ， 当且
