1、=【 ;精品教育资源文库 】 = 课时分层训练 (十三 ) 变化率与导数、计算导数 A 组 基础达标 一、选择题 1函数 f(x) (x 2a)(x a)2的导数为 ( ) A 2(x2 a2) B 2(x2 a2) C 3(x2 a2) D 3(x2 a2) C f(x) (x 2a)(x a)2 x3 3a2x 2a3， f( x) 3(x2 a2) 2已知函数 f(x)的导函数为 f( x)，且满足 f(x) 2xf(1) ln x，则 f(1)等于 ( ) A e B 1 C 1 D e B 由 f(x) 2xf(1) ln x，得 f( x) 2f(1) 1x， 所以 f(1) 2f
2、(1) 1，则 f(1) 1. 3曲线 y xex 2x 1 在点 (0， 1)处的切线方程为 ( ) A y 3x 1 B y 3x 1 C y 3x 1 D y 3x 1 A 由题意得 y (x 1)ex 2，则曲线 y xex 2x 1 在点 (0， 1)处的切线的斜率为 (0 1)e0 2 3，故曲线 y xex 2x 1 在点 (0， 1)处的切线方程为 y 1 3x，即 y 3x 1. 4 (2018 南宁、钦州第二次适应性考试 )若直线 y kx 1 是函数 f(x) ln x 图像的一条切线，则 k ( ) 【导学号： 79140073】 A.1e2 B.1e C e D e2
3、 A 由 f(x) ln x，得 f( x) 1x.设切点为 (x0， ln x0)，则? ln x0 kx0 1，k 1x0， 解得 x0 e2，则 k 1x0 1e2，故选 A. 5已知 y f(x)是可导函数，如图 2101，直线 y kx 2 是曲线 y f(x)在 x 3 处的切线，令 g(x) xf(x)， g( x)是 g(x)的导函数，则 g(3) ( ) =【 ;精品教育资源文库 】 = 图 2101 A 1 B 0 C 2 D 4 B 由题图可知曲线 y f(x)在 x 3 处切线的斜率等于 13， f(3) 13. g(x) xf(x)， g( x) f(x) xf( x
4、)， g(3) f(3) 3f(3) ，又由题图可知 f(3) 1， g (3) 1 3 ? ? 13 0. 二、填空题 6 (2016 全国卷 ) 若直线 y kx b 是曲线 y ln x 2 的切线，也是曲线 y ln(x 1)的切线，则 b _. 1 ln 2 分别求出两个对应函数的导数，设出两个切点坐标，利用导数得到两个切点坐标之间的关系，进而求出切线斜率，求出 b 的值 求得 (ln x 2) 1x， ln(x 1) 1x 1. 设曲线 y ln x 2 上的切点为 (x1， y1)，曲线 y ln(x 1)上的切点为 (x2， y2)， 则 k 1x1 1x2 1，所以 x2 1
5、 x1. 又 y1 ln x1 2， y2 ln(x2 1) ln x1， 所以 k y1 y2x1 x2 2， 所以 x1 1k 12， y1 ln12 2 2 ln 2， 所以 b y1 kx1 2 ln 2 1 1 ln 2. 7已知函数 f(x) ax3 x 1 的图像在点 (1， f(1)处的切线过点 (2,7)，则 a _. 【导学号： 79140074】 1 f( x) 3ax2 1， f(1) 3a 1. 又 f(1) a 2， 切线方程为 y (a 2) (3a 1)(x 1) =【 ;精品教育资源文库 】 = 切线过点 (2,7)， 7 (a 2) 3a 1，解得 a 1.
6、 8曲线 y aln x(a 0)在 x 1 处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积为 4，则 a_. 8 y aln x， y ax， 在 x 1 处的切线的斜率 k a，而 f(1) aln 1 0，故切点为 (1,0)， 切线方程为 y a(x 1) 令 y 0，得： x 1；令 x 0， y a. 三角形面积 S 12 a1 4， a 8. 三、解答题 9求下列函数的导数： (1)y xtan x； (2)y (x 1)(x 2)(x 3)； (3)y ln(2x 1)x . 解 (1)y (xtan x) xtan x x(tan x) tan x x ? ?sin xcos x ta
7、n x x cos2x sin2xcos2x tan x xcos2x. (2)y (x 1)(x 2)(x 3) x3 6x2 11x 6， y 3x2 12x 11. (3)y ? ?ln(2x 1)x ln(2x 1) x xln (2x 1)x2 (2x 1)2x 1 x ln(2x 1)x2 2x2x 1 ln(2x 1)x2 2x (2x 1)ln(2x 1)(2x 1)x2 . 10已知函数 f(x) x3 4x2 5x 4. (1)求曲线 f(x)在点 (2， f(2)处的切线方程； (2)求经过点 A(2， 2)的曲线 f(x)的切线方程 解 (1) f( x) 3x2 8x
8、 5. f(2) 1， 又 f(2) 2， 曲线在点 (2， f(2)处的切线方程为 y 2 x 2， =【 ;精品教育资源文库 】 = 即 x y 4 0. (2)设曲线与经过点 A(2， 2)的切线相切于点 P(x0， x30 4x20 5x0 4)， f( x0) 3x20 8x0 5， 切线方程为 y ( 2) (3x20 8x0 5)( x 2)， 又切线过点 P(x0， x30 4x20 5x0 4)， x30 4x20 5x0 2 (3x20 8x0 5)(x0 2)，整理得 (x0 2)2(x0 1) 0， 解得 x0 2 或 1， 经过点 A(2， 2)的曲线 f(x)的切线
9、方程为 x y 4 0 或 y 2 0. B 组 能力提升 11曲线 y e12x在点 (4， e2)处的切线与坐标轴所围成的三角形的面积为 ( ) A.92e2 B 4e2 C 2e2 D e2 D 易知曲线 y e12x在点 (4， e2)处的切线斜率存在，设 其为 k. y 12e12x， k 12e124 12e2， 切线方程为 y e2 12e2(x 4)，令 x 0，得 y e2，令 y 0，得 x 2， 所求面积为 S 122| e2| e2. 12已知 f(x) ln x， g(x) 12x2 mx 72(m 0)，直线 l 与函数 f(x)， g(x)的图像都相切，且与 f(
10、x)图像的切点为 (1， f(1)，则 m 的值为 ( ) A 1 B 3 C 4 D 2 D f( x) 1x， 直线 l 的斜率为 k f(1) 1， 又 f(1) 0， 切线 l 的方程为 y x 1. g( x) x m，设直线 l 与 g(x)的图像的切点为 (x0， y0)， 则有 x0 m 1， y0 x0 1， y0 12x20 mx0 72， m 0， 解得 m 2. =【 ;精品教育资源文库 】 = 13设曲线 y ex在点 (0,1)处的切线与曲线 y 1x(x 0)上点 P 处的切线垂直，则 P 的坐标为 _ (1,1) 函数 y ex的导函数为 y ex， 曲线 y
11、ex在点 (0,1)处的切线的斜率 k1 e0 1. 设 P(x0， y0)(x0 0)， 函数 y 1x的导函数为 y 1x2， 曲线 y 1x(x 0)在点 P 处的切线的斜率 k2 1x20. 易知 k1k2 1，即 1 ? ? 1x20 1，解得 x20 1，又 x0 0， x0 1.又 点 P 在曲线 y 1x(x 0)上， y0 1，故点 P 的坐标为 (1,1) 14已知函数 f(x) 13x3 2x2 3x(x R)的图像为曲线 C. (1)求过曲线 C 上任意一点切线斜率的取值范围； (2)若在曲线 C 上存在两条相互垂直的切线，求其中一条切线与曲线 C 的切点的横坐标的取值范围 . 【导学号： 79140075】 解 (1)由题意得 f( x) x2 4x 3， 则 f( x) (x 2)2 1 1， 即过曲线 C 上任意一点切线斜率的取值范围是 1， ) (2)设曲线 C 的其中一条切线的斜率为 k，则由 (2)中条件并结合 (1)中结论可知， ? k 1， 1k 1， 解得 1 k 0 或 k1 ， 故由 1 x2 4x 3 0 或 x2 4x 31 ， 得 x( ， 2 2(1,3)2 2， )
