1、 4.1等差数列与等比数列考情分析考情分析备考定向备考定向高频考点高频考点探究突破探究突破预测演练预测演练巩固提升巩固提升考情分析备考定向高频考点探究突破命题热点命题热点 一一等差数列与等比数列的基本量的求解等差数列与等比数列的基本量的求解【思考】【思考】如何求解等差数列与等比数列的基本量如何求解等差数列与等比数列的基本量?例例1已知等差数列已知等差数列an的前的前n项和为项和为Sn,等比数列等比数列bn的前的前n项项和为和为Tn,a1=-1,b1=1,a2+b2=2.(1)若若a3+b3=5,求求bn的通项公式的通项公式;(2)若若T3=21,求求S3.解解:设设an的公差为的公差为d,bn
2、的公比为的公比为q,则则an=-1+(n-1)d,bn=qn-1.由由a2+b2=2,得得d+q=3.(1)由由a3+b3=5,得得2d+q2=6.因此因此bn的通项公式为的通项公式为bn=2n-1.(2)由由b1=1,T3=21,得得q2+q-20=0,解得解得q=-5或或q=4.当当q=-5时时,由由得得d=8,则则S3=21;当当q=4时时,由由得得d=-1,则则S3=-6.题后反思题后反思等差数列、等比数列的通项公式、求和公式中一等差数列、等比数列的通项公式、求和公式中一共包含共包含a1,n,d(q),an与与Sn这五个量这五个量.已知其中的三个已知其中的三个,就可以求就可以求其余的两
3、个其余的两个.因为因为a1,d(q)是两个基本量是两个基本量,所以等差数列与等比所以等差数列与等比数列的基本运算问题一般先设出这两个基本量数列的基本运算问题一般先设出这两个基本量,再根据通项再根据通项公式、求和公式构建这两者的方程公式、求和公式构建这两者的方程(组组),通过解方程通过解方程(组组)求其求其值值,这也是方程思想在数列问题中的体现这也是方程思想在数列问题中的体现.解析:(1)a1+a8=a4+a5=12,古代祭天的场所,分上、中、下三层.(2)记bm为an在区间(0,m(mN*)中的项的个数,求数列bm的前100项和S100.当q=4时,由得d=-1,则S3=-6.对点训练1(1)
4、(2020河北保定二模)现有这样一个整除问题:将2至2 021这2 020个整数中能被3除余2且被5除余1的数按由小到大的顺序排成一列构成一数列,则此数列的项数是()解析:(1)S4,S8-S4,S12-S8,S16-S12成等差数列,S4=8,S8=20,【思考】解决等差数列、等比数列的综合问题的基本思路是怎样的?(1)证明:由题设得4(an+1+bn+1)=2(an+bn),解:(1)设数列an的公比为q.解析:(1)设所求数列为an,该数列为11,26,41,56,(1)求证:数列bn是等比数列;已知每层环数相同,且下层比中层多【思考】常用的等差数列、等比数列的性质有哪些?(1)若a3+
5、b3=5,求bn的通项公式;例4设an是等比数列,公比大于0,其前n项和为Sn(nN*),bn是等差数列.设等差数列an的前n项和为Sn,则Sm,S2m-Sm,S3m-S2m,也成等差数列.所以2(3a1+2)=a1+9a1,解得a1=1.(2)若T3=21,求S3.(2)利用等差中项,证明2an=an-1+an+1(n2).对点训练对点训练1(1)(2020河北保定二模河北保定二模)现有这样一个整除问题现有这样一个整除问题:将将2至至2 021这这2 020个整数中能被个整数中能被3除余除余2且被且被5除余除余1的数按由的数按由小到大的顺序排成一列构成一数列小到大的顺序排成一列构成一数列,则
6、此数列的项数是则此数列的项数是()A.132B.133C.134D.135D解析解析:(1)设所求数列为设所求数列为an,该数列为该数列为11,26,41,56,所以所以,数列数列an为等差数列为等差数列,且首项且首项a1=11,公差为公差为d=26-11=15,所以所以,an=a1+(n-1)d=11+15(n-1)=15n-4,因此因此,该数列共有该数列共有135项项.(2)设等比数列设等比数列an的公比为的公比为q,命题热点命题热点 二二等差数列与等比数列的判定与证明等差数列与等比数列的判定与证明【思考】【思考】证明数列证明数列an是等差数列或等比数列的基本方法是等差数列或等比数列的基本
7、方法有哪些有哪些?例例2已知数列已知数列an的前的前n项和为项和为Sn,Sn=4an-1+1(n2),且且a1=1,bn=an+1-2an.(1)求证求证:数列数列bn是等比数列是等比数列;证明证明:(1)当当n3时时,an=Sn-Sn-1=4(an-1-an-2),an-2an-1=2(an-1-2an-2),当当n2时时,an+1-2an=2(an-2an-1),即即bn=2bn-1.又又S2=4a1+1=5,a2=4,b1=a2-2a1=2.bn是以是以2为首项为首项,2为公比的等比数列为公比的等比数列.(2)由由(1)知知bn=2n,an+1=2n+2an.题后反思题后反思1.证明数列
8、证明数列an是等差数列的两种基本方法是等差数列的两种基本方法:(1)利用定义利用定义,证明证明an+1-an(nN*)为常数为常数;(2)利用等差中项利用等差中项,证明证明2an=an-1+an+1(n2).2.证明数列证明数列an是等比数列的两种基本方法是等比数列的两种基本方法:对点训练对点训练2已知数列已知数列an和和bn满足满足a1=1,b1=0,4an+1=3an-bn+4,4bn+1=3bn-an-4.(1)证明证明an+bn是等比数列是等比数列,an-bn是等差数列是等差数列;(2)求求an和和bn的通项公式的通项公式.(1)证明证明:由题设得由题设得4(an+1+bn+1)=2(
9、an+bn),由题设得由题设得4(an+1-bn+1)=4(an-bn)+8,即即an+1-bn+1=an-bn+2.又因为又因为a1-b1=1,所以所以an-bn是首项为是首项为1,公差为公差为2的等差数列的等差数列.命题热点命题热点 三三等差数列与等比数列性质的应用等差数列与等比数列性质的应用【思考】【思考】常用的等差数列、等比数列的性质有哪些常用的等差数列、等比数列的性质有哪些?例例3(1)(2020辽宁大连一模辽宁大连一模)设设Sn为等差数列为等差数列an的前的前n项和项和,若若a4+a5=12,则则S8的值为的值为()A.14B.28C.36D.48D解析解析:(1)a1+a8=a4
10、+a5=12,题后反思题后反思等差数列与等比数列的性质多与其下标有关等差数列与等比数列的性质多与其下标有关,解题解题需多注意观察需多注意观察,发现其联系发现其联系,加以应用加以应用.(1)等差数列的性质等差数列的性质:an=am+(n-m)d(n,mN*);若若m+n=p+q,则则am+an=ap+aq(m,n,p,qN*);设等差数列设等差数列an的前的前n项和为项和为Sn,则则Sm,S2m-Sm,S3m-S2m,也也成等差数列成等差数列.(2)等比数列的性质等比数列的性质:an=amqn-m(m,nN*);若若m+n=p+q,则则aman=apaq(m,n,p,qN*);若等比数列若等比数
11、列an的公比不为的公比不为-1,前前n项和为项和为Sn,则则Sm,S2m-Sm,S3m-S2m,也成等比数列也成等比数列.对点训练对点训练3(1)设等差数列设等差数列an的前的前n项和为项和为Sn,若若S4=8,S8=20,则则a13+a14+a15+a16=()A.12B.8C.20D.16C4解析解析:(1)S4,S8-S4,S12-S8,S16-S12成等差数列成等差数列,S4=8,S8=20,S8-S4=12,S12-S8=16,S16-S12=20,a13+a14+a15+a16=20.(2)由等差数列的性质可得由等差数列的性质可得命题热点命题热点 四四等差数列、等比数列的综合问题等
12、差数列、等比数列的综合问题【思考】【思考】解决等差数列、等比数列的综合问题的基本思解决等差数列、等比数列的综合问题的基本思路是怎样的路是怎样的?例例4设设an是等比数列是等比数列,公比大于公比大于0,其前其前n项和为项和为Sn(nN*),bn是等差数列是等差数列.已知已知a1=1,a3=a2+2,a4=b3+b5,a5=b4+2b6.(1)求求an和和bn的通项公式的通项公式;(2)设数列设数列Sn的前的前n项和为项和为Tn(nN*),求求Tn;(1)解解:设等比数列设等比数列an的公比为的公比为q.由由a1=1,a3=a2+2,可得可得q2-q-2=0.因为因为q0,可得可得q=2,故故an
13、=2n-1.设等差数列设等差数列bn的公差为的公差为d.由由a4=b3+b5,可得可得b1+3d=4.由由a5=b4+2b6,可得可得3b1+13d=16,从而从而b1=1,d=1,故故bn=n.所以所以,数列数列an的通项公式为的通项公式为an=2n-1,数列数列bn的通项公式为的通项公式为bn=n.题后反思题后反思对于等差数列和等比数列的综合问题对于等差数列和等比数列的综合问题,涉及的知识涉及的知识面很广面很广,题目的变化也很多题目的变化也很多,但是只要抓住基本量但是只要抓住基本量a1,d(q),充分充分运用方程、函数、转化等数学思想方法运用方程、函数、转化等数学思想方法,合理运用相关知识
14、合理运用相关知识,就能解决这类问题就能解决这类问题.对点训练对点训练4(2020宁夏六盘山高级中学三模宁夏六盘山高级中学三模)已知正项数列已知正项数列an的前的前n项和为项和为Sn,若数列若数列 an是公差为是公差为-1的等差数列的等差数列,且且a2+2是是a1,a3的等差中项的等差中项.(1)证明数列证明数列an是等比数列是等比数列,并求数列并求数列an的通项公式的通项公式;(2)设设Tn是是数列数列 的的前前n项和项和,若若TnM恒成立恒成立,求实数求实数M的的取值范围取值范围.所以数列所以数列an是公比为是公比为3的等比数列的等比数列.因为因为a2+2是是a1,a3的等差中项的等差中项,
15、所以所以2(a2+2)=a1+a3,所以所以2(3a1+2)=a1+9a1,解得解得a1=1.故数列故数列an的通项公式为的通项公式为an=3n-1.预测演练巩固提升1.(2020广西北海一模广西北海一模)在等差数列在等差数列an中中,a4+a8=0,a3+a6=9,则则公差公差d=()D解析解析:a4+a8-(a3+a6)=3d=-9,d=-3.2.已知等比数列已知等比数列an满足满足a1=3,a1+a3+a5=21,则则a3+a5+a7=()A.21B.42C.63D.84Ba3+a5+a7=(a1+a3+a5)q2=212=42.3.记记Sn为等差数列为等差数列an的前的前n项和项和.已
16、知已知S4=0,a5=5,则则()A.an=2n-5B.an=3n-10C.Sn=2n2-8nD.Sn=n2-2nA所以所以an=2n-5,Sn=n2-4n,故选故选A.4.(2020全国全国,理理4)北京天坛的圆丘坛北京天坛的圆丘坛为为古代古代祭天的场所祭天的场所,分上、中、下三层分上、中、下三层.上层上层中心中心有一块圆形石板有一块圆形石板(称为天心石称为天心石),环绕环绕天天心心石砌石砌9块扇面形石板构成第一环块扇面形石板构成第一环,向外向外每每环环依次增加依次增加9块块.下一层的第一环比上一下一层的第一环比上一层层的的最后一环多最后一环多9块块,向外每环依次也增加向外每环依次也增加9块
17、块.已知每层环数相同已知每层环数相同,且下层比中层且下层比中层多多729块块,则三层共有扇面形石板则三层共有扇面形石板(不含天心石不含天心石)()A.3 699块块B.3 474块块 C.3 402块块D.3 339块块C解析解析:由题意可知由题意可知,从上到下从上到下,从内到外从内到外,每环的扇面形石板数每环的扇面形石板数构成以构成以9为首项为首项,9为公差的等差数列为公差的等差数列,设为设为an.设上层有设上层有n环环,则上层扇面形石板总数为则上层扇面形石板总数为Sn,中层扇面形石板总中层扇面形石板总数为数为S2n-Sn,下层扇面形石板总数为下层扇面形石板总数为S3n-S2n,三层扇面形石
18、板总三层扇面形石板总数为数为S3n.因为因为an为等差数列为等差数列,所以所以Sn,S2n-Sn,S3n-S2n构成等差构成等差数列数列,公差为公差为9n2.因为下层比中层多因为下层比中层多729块块,所以所以9n2=729,解得解得n=9.5.(2020广东茂名五校第二次联考广东茂名五校第二次联考)设设Sn为等比数列为等比数列an的前的前n项和项和,且且a4=,a5=32,则公比则公比q=_,S6=_.21266.(2020广东梅州一模广东梅州一模)已知等比数列已知等比数列an满足公比满足公比q1,Sn为其为其前前n项和项和,S2,S4,S6构成等差数列构成等差数列,则则S2 020=_.0
19、解析解析:由由S2,S4,S6构成等差数列构成等差数列,可知可知2S4=S2+S62q2=1+q4(q2-1)2=0.因为因为q1,所以所以q=-1,所以所以S2 020=0.7.(2020山东山东,18)已知公比大于已知公比大于1的等比数列的等比数列an满足满足a2+a4=20,a3=8.(1)求求an的通项公式的通项公式;(2)记记bm为为an在区间在区间(0,m(mN*)中的项的个数中的项的个数,求数列求数列bm的前的前100项和项和S100.解解:(1)设数列设数列an的公比为的公比为q.由题设得由题设得a1q+a1q3=20,a1q2=8,解解得得q=(舍去舍去),q=2.因为因为a1q2=8,所以所以a1=2.所以数列所以数列an的通项公式为的通项公式为an=2n.(2)由题设及由题设及(1)知知b1=0,且当且当2nm2n+1时时,bm=n.所以所以S100=b1+(b2+b3)+(b4+b5+b6+b7)+(b32+b33+b63)+(b64+b65+b100)=0+12+222+323+424+525+6(100-63)=480.
