1、 1 2016-2017 学年第二学期高三承智班数学周练试题（ 5.7） 一、选择题 1已知 是定义在 上的可导函数，且满足 ，则（ ） A. B. C. 为减函数 D. 为增函数 2如图为一个多面体的三视图，则该多面体的体积为（ ） A. B. 7 C. D. 3已知函数 （ 为自然对数的底数），当 时， 的图象大致是（ ） A. B. C. D. 4若角 终边上的点 在抛物线 的准线上，则 （ ） A. B. C. D. 5下列四个结论中正确的个数是（ ） 2 若 ，则 已知变量 和 满足关系 ，若变量 与 正相关，则 与 负相关 “已知直线 ， 和平面 、 ，若 ， ， ，则 ”为真命题
2、 是直线 与直线 互相垂直的充要条件 A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 6已知 为函数 的导函数，且 ，若 ，则方程有且仅有一个根时， 的取值范围是（ ） A. B. C. D. 7已知锐角 满足 ，设 ，则下列判断正确的是（ ） A. B. C. D. 8 今有苹果 个（ ），分给 10 个同学，每个同学都分到苹果，恰好全部分完 .第一个人分得全部苹果的一半还多一个，第二个人分得第一个人余下苹果的一半还多一个，以此类推，后一个人分得前一个人余下的苹果的一半还多一个，则苹果个数 为（ ） A. 2046 B. 1024 C. 2017 D. 2018 9 偶函数 是定义域为 R上的可导函
3、数，当 时，都有 成立，则不等式的解集是（ ） A. B. C. D. 实数集 R 10 如图在正方体 ABCD-A1B1C1D1中 ,P 是上底面 A1B1C1D1内一动点， PM 垂直 AD 于 M,PM=PB，则点 P 的轨迹为（ ） 3 A. 线段 B. 椭圆一部分 C. 抛物线一部分 D. 双曲线一部分 11四面体 的四个顶点都在球 的球面上， ，且平面 平面 ，则球 的表面积为（ ） A. B. C. D. 12椭圆 ， 为椭圆的左、右焦点， 为坐标原点，点 为椭圆上一点， ，且 成等比数列，则椭圆的离心率为（ ） A. B. C. D. 二、填空题 13甲乙两人做报数游戏，其规则
4、是：从 1 开始两人轮流连续报数，每人每次最少报 1 个数，最多可以连续报 6 个（如，第一个人先报“ 1,2”，则另一个人可以有“ 3”，“ 3,4”，?“ 3,4,5,6,7,8”等六种报数方法），谁抢先报到“ 100”则谁获胜 .如果从甲开始，则甲要想必胜，第一次报的数应该是 _ 14各项均为正数的数列 首项为 ，且满足 ，公差不为零 的等差数列 的前 项和为 ， ，且 成等比数列设 ，求数列 的前 项和 _ 15一名法官在审理一起珍 宝盗窃案时，四名嫌疑人甲、乙、丙、丁的供词如下：甲说：“罪犯在乙、丙、丁三人之中”；乙说：“我没有作案，是丙偷的”；丙说：“甲、乙两人中有一人是小偷”；丁
5、说：“乙说的是事实” .经过调查核实，四人中有两人说的是真话，另外两人说的是假话，且这四人中只有一人是罪犯，由此可判断罪犯是 _ 16 已知 是 上可导的增函数， 是 上可导的奇函数，对 都有成立，等差数列 的前 项和为 ， 同时满足下列两件条件：4 ， ，则 的值为 _。 三、解答题 17已知 ，函数 ， （ 是自然对数的底数） . （）讨论函数 极值点的个数； （）若 ，且命题“ ， ”是假命题，求实数 的取值范围 . 18已知数列 的前 项和为 ， ， （ 且 ），数列 满足： ，且 （ 且 ） . （）求数列 的通项公式； （）求证：数列 为等比数列； （）求数列 的前 项和的最小值
6、. 19如图，在三棱锥 中， ， ， ， 点在平面 内， . （）求证： 平面 ； （）设点 在棱 上，若二面角 的余弦值为 ，试求 的值 . 20已知抛物线 的方程为 ，点 为抛物线上一点， F为抛物线的焦点，曲线在一点的法线即与该点切线垂直的直线。 5 （ 1）若点 的法线被抛物线所截的线段最短，求点 坐标； （ 2）任意一条和 轴平行的直线 交曲线 于点 ， 关于在点 Q的法线对称的直线为 ，直线 通过一个定点 ，求定点 坐标 . 参考答案 1 A 【解析】令 ，则 ， 由 得 恒成立，即 在 上单调递增，当 时， ，得；当 时， 得 ， 在 中，令 ，得 ， 综上 ，故选 A. 点睛：
7、本题主要考查了导数的四则运算，利用导数证明函数的单调性，利用函数的单调性比较函数值的大小，构造一个恰当的函数是解决本题的关键；令 ，对于求导，根据已知条件可判断出函数 在 上单调递增，先分为 和 两种情形结合单调性得 符号，最后在验证 时的情形，可得结果 . 2 B 【解析】三视图还原如下图： 6 原 图 形 为 正 方 体 割 去 三 棱 锥 和三棱锥 ， 所 以 体 积 为V= 3 B 【解析】由题意可得 即 为函数，排除 ， ，显然存在 使得，所以 在 上单调递增，在 上单调递减。所以选 B. 【点睛】 对于函数图像选择题，一般从四个选项的差异性入手讨论函数的性质，从整体性质到局部性质，
8、如本题先利用图像对称性，考虑奇偶性。再利用图像 的单调性变化，从而讨论导数。 4 A 【解析】抛物线 的准线为 ，即 ，所以 ，选A. 【点睛】 抛物 线需化标准式，如本题先化为 准线为一次项系数除以 -4,所以准线为 . 5 B 【解析 】 不等两边同时除以 ，得 。所以对。 因为 ，所以对。 选择正方体，上下底面为 ， 为垂直下底面的的棱， 为选两垂直棱中点的线，显然条件成立，7 但是不能推出 。所以错。 由再直线垂直，可知 ，可得 或 。所以错。选 B. 6 C 【解析】 所以 ， 令 当 时 ， 此时 方程 有且仅有一个根； 当 时 ， ，函数 先减后增，且 ， 所以要使 方程 有 且
9、 仅 有 一 个 根 ； 需 ， 即 ， 又 所以， 综上 的取值范围是 ， 选 C. 点睛 ：涉及函数的零点问题、方程解的个数问题、函数图像交点个数问题，一般先通过导数研究函数的单调性、最大值、最小值、变化趋势等，再借助函数的大致图象判断零点、方程根、交点的情况，归根到底还是研究函数的性质，如单调性、极值，然后通过数形结合的思想找到解题的思路 . 7 A 【解析】解：若锐角 满足 ，则 ， 即 ；同理可得这与 矛盾，故锐角 满足 ，即且 ， 单调递减， 故选： . 8 A 8 【 解 析 】 第 一 个 人 分 ， 第 二 个 人 分 ， 第 三 个 人 分，?，第 个人为 ，故 ，解得.
10、点睛：本题主要考查归纳推理，数列的递推公式，考查等比数列前 项和公式 .首先根据题意归纳出每个人分得到的苹果数，只需归纳第一、第二、第三个人的苹果数，根据这三个数的规律，发现每个数表示成的形式，将这 个数相加起来等于总数，利用等比数列求和公式即可求得 的值 . 9 B 【解析】不妨设函数 ，当 时，满足 ， 即，化简得 ，两边平方化简得 ，故选 . 10 C 【解析】过 做 ，连接 ，由于 ,所以 ，即 到点 的距离等于到直线 的距离，故轨迹为抛物线的一部分 . 11 B 【解析】如图， 分别为 的中点，易知球心 点在线段 上，因为 ，则又平面 平面 ，平面 平面 =BC， 平面 ABC， ，
11、 因为 点是 的中点， ，且 设球心 的半径为 ， ，则 ，在 中，有 ，在 中，有 ，9 解得 ，所以 ，故选 B 【点睛】本题主要考查球内接多面体，球的表面积，属于中档题， 其中依据题意分析出球心 必位于两垂直平面的交线上，然后再利用勾股定理，即可求出球的半径，进而可求出球的表面积，此类题目主要灵活运用线面垂直的判定及性质，面面垂直的判定及性质是解题的关键 . 12 D 【解析 】设 ，则 ，由椭圆定义， ，又 成等比数列， ， ， ，整理得 ，即 ，故选 D 【点睛】本题主要考查椭圆的定义及性质，以及等比数列的性质，考查了学生综合分析能力，属于中档题，首先此题需要依据题中三个线段成等比数
12、列的条件得到 之间的关系，再根据椭圆的基本性质，即可得到关于 的方程，从而得到椭圆的离心率 . 13 1， 2 【解析】因为 100除以 7余数为 2.所以甲报 1， 2，后面乙不管报几个数，甲报的数与乙报的数加起来和为 7即可。填 1， 2 14 【解析】解：（ 1） ，因为 各项均为正数，则 即 则 上面个式子相乘得 ，设 的公差 ， ，解之得10 ， ，. 点睛：裂项相消法是指将数列的通项分成两个式子的代数和的形式，然后通过累加抵消中间若干项的方法，裂项相消法适用于形如 (其中 是各项均不为零的等差数列， c为常数 )的数列 . 裂项相消法求和，常见的有相邻两项的裂项求和 (如本例 )，
13、还有一类隔一项的裂项求和，如或 . 15乙 【解析】 四人供词中，乙、丁意见一致，或同真或同假，若同真，即丙偷的，而四人有两人说的是真话，甲、丙说的是假话，甲说“乙、丙、丁偷的”是假话，即乙、丙、丁 没偷，相互矛盾；若同假，即不是丙偷的，则甲、丙说的是真话，甲说“乙、丙、丁三人之中”，丙说“甲、乙两人中有一人是小偷” 是真话， 可知犯罪的是乙 . 【点评】本体是逻辑分析题，应结合题意，根据丁说“乙说的是事实”发现，乙、丁意见一致，从而找到解题的突破口，四人中有两人说的是真话，因此针对乙、丁的供词同真和同假分两种情况分别讨论分析得出结论 . 16 10 【 解 析】 由于 为 奇 函数 ， 故 ， 所以 ，由于，故 ，即 ， . 点睛：本题主要考查函数的奇偶性，考查含有绝对值的不等式恒成立问题的转化方法，考查等差数列求和公式 .题目给定了一个恒成立的绝对值不等式，怎么利用上这个条件即是本题的突破口，注意到 ，而函数 为奇函数，故考虑利用函数的奇偶性即 ，结合题目所给绝对值不等式，即可求得 ，再利用等差数列求和公式来求的 . 17（ 1）当 时， 没有极值点，当 时， 有一个极小值点 .（ 2） 【解析】解：（）因为 ，所以 ， 当 时，对 ， ， 所以 在 是减函数，此时函数不存在极值，
