1、 1 2018 年春季高二期末考试暨 2019 届高三摸底考试 数 学 (理科 ) 时量： 120 分钟 满分： 150 分 得分： _ 第 卷 一、选择题：本大题共 12 小题 ， 每小题 5 分 ， 共 60 分 ， 在每个小题给出的四个选项中 ，只有一项是符合题目要求的 1 已知复数 z 满足 (2 i)z 2 i(i 为虚数单位 )， 则 z 等于 A 3 4i B 3 4i C.35 45i D.35 45i 2 已知 P x|x2 5x 4 0， Q x|y 4 2x ， 则 PQ 等于 A (1， 4) B 2， 4) C (1， 2 D ( ， 2 3 已知两组样本数据 x1，
2、 x2，?， xn、 y1， y2，?， ym的平均数分别为 h 和 k， 则把两组数据合并成一组以后 ， 这组样本的平均数为 A.h k2 B.nh mkm n C.mh nkm n D.h km n 4 已知 an为等比数列 ， a10， a4 a7 2， a5a6 8， 则 a1 a4 a7 a10等于 A 7 B 5 C 5 D 7 5如图是一几何体的平面展开图 ， 其中四边形 ABCD 为正方形 ， E， F 分别为 PA， PD 的中点 ， 在此几何体中 ， 给出下面 4 个结论： 直线 BE 与直线 CF 异面； 直线 BE 与直线 AF 异面； 直线 EF 平面 PBC； 平面
3、 BCE 平面 PAD. 其中正确的 有 A 1 个 B 2 个 C 3 个 D 4 个 6 已知双曲线 x2a2y2b2 1(a0， b0)以及双曲线y2a2x2b2 1(a0， b0)的渐近线将第一象限三等分 ， 则双曲线 x2a2y2b2 1(a0， b0)的离心率为 2 A 2 或 2 33 B. 6或 2 33 C 2 或 3 D. 3或 6 7 函数 f(x) sin(2x )(0 )图像向右平移 6 个单位后关于 y 轴对称 ， 则 的值是 A 0 B. 6 C. 3 D.56 8 在正三角形 ABC 内任取一点 P， 则点 P 到 A， B， C 的距离都大于该三角形边长一半的
4、概率为 A 1 36 B 1 312 C 1 39 D 1 318 9 底面是边长 为 1 的正方形 ， 侧面是等边三角形的四棱锥的外接球的体积为 A.2 23 B. 33 C.2 33 D. 23 10 在平面直角坐标系中 ， A， B 分别是 x 轴和 y 轴上的动点 ， 若以 AB 为直径的圆 C 与直线 2x y 4 0 相切 ， 则圆 C 面积的最小值为 A.45 B.34 C (6 2 5) D.54 11 已知函数 f(x)?ex， x 0，x2 ax 1， x 0， F(x) f(x) x 1， 且函数 F(x)有 2 个零点 ，则实数 a 的取值范围为 A ( ， 0 B (
5、 ， 1) C 1， ) D (0， ) 12 已知 )x 表示大于 x 的最小整数 ， 例如 )3 4， ) 1.3 1， 下列命题中正确的是 函数 f(x) )x x 的值域是 ( 0， 1 ； 若 an是等差数列 ， 则 )an 也是等差数列； 若 an是等比数列 ， 则 )an 也是等比数列； 若 x(1 ， 2 018)， 则方程 )x x 12有 2 017 个根 A B C D 选择题答题卡 题 号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 得 分 答 案 第 卷 二、填空题：本大题共 5 小题 ， 每小题 4 分 ， 共 20 分 13 从 3 名男同学和 2 名女
6、同学中任选 2 名参加体能测试 ， 则恰有 1 名男同学参加体能测试的概率为 _ (结果用最简分数表示 ) 14 九章算术是我国古代内容较为丰富的数学名著 ， 书中有如下问题： “ 今有圆堡3 壔 ， 周四丈八尺 ， 高一丈一尺 ， 问积几何？答曰：二千一百一十二术曰：周自相乘 ，以高乘之，十二而一” 这里所说的圆堡壔就是圆柱体 ， 它的体积为 “ 周自相乘 ， 以高乘之 ， 十二而一 ” 就是说：圆堡壔 (圆柱体 )的体积 V 112( 底面的圆周长的平方 高 )， 则该问题中圆周率 的取值为 _ (注：一丈 10 尺 ) 15.? ?1 1x2 (1 x)6展开式中 x2的系数为 _ (结
7、果用数字表示 ) 16 如图 2，“ 六芒星 ” 由两个全等的正三角形组成 ， 中心重合于点 O 且三组对边分别平行点 A， B 是 “ 六芒星 ”( 如图 1)的两个顶点 ， 动点 P 在 “ 六芒星 ” 上 (内部以及边界 )，若 OP xOA yOB ， 则 x y 的最大值是 _ 三、解答题：本大题共 6 小 题 ， 共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 17 (本小题满分 11 分 ) 如图 ， ABC 是等边三角形 ， D 是 BC 边上的动点 (含端点 )， 记 BAD ， ADC . (1)求 2cos cos 的最大值； (2)若 BD 1， cos 17， 求
8、 ABD 的面积 4 18.(本小题满分 11 分 ) 已知正项等比数列 an 的公 比为 q， 且 a3 a4 a5 716， 3a5是 a3， a4的等差中项 数列 bn 满足 b1 1， 数列 ( )bn 1 bn an 的前 n 项和为 2n2 n. (1)求数列 an 的通项公式； (2)求数列 bn的通项公式 5 19.(本小题满分 12 分 ) 已知某几何体的直观图和三视图如下图所示 ， 其中正视图为矩形 ， 侧 视图为等腰直角三角形 ， 俯视图为直角梯形 (1)设 为 中点 ， 若 BP 13PC .求证： 平面 C 1； (2)设二面角 C 1 大小为 ， 求 sin 的值
9、6 20.(本小题满分 12 分 ) 某卫生监督检查部门对 5 家餐饮店进行卫生检查 ， 若检查不合格 ， 则必须整改若整改后经复查仍不合格 ， 则强制关闭设每家餐饮店检查是否合格是相互独立的 ， 且每家餐饮店整改前合格的概率是 0.5， 整改后复查合格的概率是 0.8.计算： (1)恰好有两家餐饮店必须整改的概率； (2)平均有多少家餐饮店必须整改； (3)至少关闭一家餐饮店的概率 (精确到 0.01) 7 21.(本小题满分 12 分 ) 已知椭 圆 C： x2a2y2b2 1(ab0)， 其焦点为 F1， F2， 离心率为22 ， 若点 P?22 ，32 满足|PF1| |PF2| 2a
10、. (1)求椭圆 C 的方程； (2)若直线 l： y kx m(k， m R)与椭圆 C 交于 A， B 两点 ， O 为坐标原点 ， AOB 的重心 G 满足： F1G F2G 59， 求实数 m 的取值范围 8 22.(本小题满分 12 分 ) 设函数 f(x) ln(x a) x2. (1)若 f(x)为定义域上的单调函数 ， 求实数 a 的取值范围； (2)若 g(x) ex x2 f(x)， 当 a2 时 ， 证明： g(x)0. 9 炎德 英才大联考湖南师大附中 2018 年春季高二期末考试暨 2019 届高三摸底考试 数学 (理科 )参考答案 一、选择题 1 D 【解析】由 (
11、2 i)z 2 i， 得 z 2 i2 i （ 2 i）（ 2 i）（ 2 i）（ 2 i） 35 45i， 故选 D. 2 C 【解析】解 x2 5x 4 0， 即 (x 1)(x 4) 0， 得 1 x 4， 故 P (1， 4) Q表示函数 y 4 2x的定义域 ， 所以 4 2x 0， 所以 x( ， 2， 即 Q ( ， 2故P Q (1， 2故选 C. 3 B 【解析】因为样本数据 x1， x2， ? ， xn的平均数为 h， y1， y2， ? ， ym的平均数为 k， 所以第一组数据和为 nh， 第二组数据和为 mk， 因此把两组数据合并成一组以后 ，这组样本的平均数为 nh
12、mkm n ， 故选 B. 4 B 【解析】由等比数列的性质可得 a5a6 a4a7 8， 又 a4 a7 2， 解得 a4 2，a7 4 或 a7 2， a4 4， 因为 a7 a1q60， 所以 a4 2， a7 4， a7 a4q3 2q3 4， 所以q3 2， 所以 a1 a4q3 1， a10 a7q3 8， 所以 a1 a4 a7 a10 5， 故选 B. 5 B 【解析】将展开图还原为几何体 (如图 )， 因为 E， F 分别为 PA， PD 的中点 ， 所以EF AD BC， 即直线 BE 与 CF 共面 ， 错；因为 B?平面 PAD， E 平面 PAD， E?AF， 所以
13、BE与 AF 是异面直线 ， 正确；因为 EF AD BC， EF 平面 PBC， BC 平面 PBC， 所以 EF 平面 PBC， 正确；平面 PAD 与平面 BCE 不一定垂直 ， 错故选 B. 6 A 【解析】由题意可知 ， 双曲线 x2a2y2b2 1(a 0， b 0)的渐近线的倾斜角为 30或 60 ， 则 k ba， k 3或 33 ， 则 e ca， e c2a2a2 b2a2 1b2a2 2 或2 33 . 7 D 【解析】 f(x) sin(2x )(0 )图像向右平移 6 个单位后得到的函数是g(x) sin? ?2x 3 ， 又 g(0) sin? ? 3 1 ， 得
14、3 k 2(k Z)， k 56 (k Z)， 故选 D. 8 A 【解析】满足条件的正三角形 ABC 如图所示：设边长为 2， 其中正三角形 ABC 的面积 S ABC 34 4 3.满足到正三角形 ABC 的顶点 A， B， C 的距离至少有一个小于 1 的平面区域如图中阴影部分所示 ， 其加起来是一个半径为 1 的半圆 ， 则 S 阴影 12 ， 则使取到的点到三个顶点 A， B， C 的距离大于 1 的概率 P 1 36 ， 故选 A. 10 9 D 【解析】设四棱锥为 P ABCD， 底面 ABCD 是边长为 1 的正方形 ， PA PB PCPD 1 的外接球的半径为 R， 过 P
15、 作 PO1 底面 ABCD， 垂足 O1为正方形 ABCD 的对角线 AC，BD 的交点 ， 设球心为 O， 连接 AO， 由于 AO PO R， AO1 PO1 22 ， OO1 22 R， 在 RtAOO1中 ， ? ?22 R2 ? ?222 R2， 解得 R 22 ， V 球 43 R3 43 ? ?223 23 . 10 A 【解析】设直线 l： 2x y 4 0.因为 |OC| 12|AB| d1， 其中 d1为点 C 到直线l的距离 ， 所以圆心 C的轨迹为以 O为焦点 ， l为准线的抛物线圆 C半径最小值为 12d2 12 45 25， 其中 d2为点 O 到直线 l 的距离 ， 圆 C 面积 的最小值为 ? ?252 45 .故选 A. 11 B 【解析】因为 F(x) f(x) x 1， 且函数 F(x)有 2 个零点 ， 即 f(x) x 1 0有 2 个实数根 ， 所以当 x 0 时 ， 令 ex x 1 0， 解得 x 0， 此时只有一个实数根 ， 当 x 0 时 ， 令 f(x)
