1、 1 2017 届高三年级第二学期周考（ 5） 数 学 试 题 (总分 160分，考试时间 120分钟 ) 一、填空题：（本大题共 14个小题 ， 每小题 5分 ， 共 70分，将答案填在答题纸上） 1 已知集合 | 1 3A x x? ? ? ?， 2 | 4ZB x x? ? ?，则 AB? 2 复数 1ii? 在复平面 内 对应的点的坐标是 3 执行如图所示的程序框图，若输 入 4m? ， 6n? ，则输出 a? 4 设命题 ? ? 1,0: ? xexp ，则 p? 是 5 某学校有 8个社团，甲、乙两位同学各自参加其中一个社团， 且他俩 参加各个社团的可能性相同，则这两位同学参加同一
2、个社 团的概率为 6 某个容量为 100的样本的频率分布直 方图如下，则在 区间 4， 5）上的数据的频数为 7 如果 2.12?a ， 3.0)21(?b ， 3log2 2?c ，则 cba, 的大小关系是 8 已知 ?na 为等差数列， nS 为其前 n 项和若 6 51S? ， 1926aa? ，则数列 ?na 的公差 d? _ _ 9 已知正四棱锥 ABCDP? 的所有棱长都为 2， 则此四 棱锥体积为 10 已知函数 ),()( 2 Rbabaxxxf ? 的值域为 ? ?0,? ，若关于 x 的 不等式 1)( ?cxf 的解集为 ? ?1,4 ? mm ，则实数 c 的值为 1
3、1 已知点 )0,1(A ， )0,3(B ，若直线 1?kxy 上存在一点 P ，满足 PBPA? ，则 k 的取值范围是 开始 a mi? 输入 m,n 是 1ii?0i? 结束 输出 a 否 a 能被 n 整除？ 2 12 如图， 11ABC? ， 1 2 2CBC? ， 2 3 3CBC? 是 三个边长为 2 的等边三角形 ，且 有一条边在同一直线上，边 33BC 上有 2 个不同的点 12,PP，则 2 1 2+=AB AP AP（ ）? 13 已知?axxxaxxxaxf,4),4(2)( ， 当 1?a 时，若 3)( ?xf 有三个不同的实数根，且它们成等差数列，则实数 a =
4、 14 在 ABC? 中 ， BCBA s ins in)s in ( ? ， D 是 边 BC 的一个三等分点（靠近点 B ）， 当 ?ACAB 时， BDAD 最大 二、解答题： 本大题共 6小题，共 计 90分 15 （本小题满分 14 分） 在 ABC中，角 A， B， C所对的边分别为 a， b， c，且 tanBtanA 1 2ca （ 1）求 B； （ 2）若 cos(C 6 ) 13，求 sinA的值 16 （本小题满分 14 分） 如图， 在 三棱 柱 1 1 1ABC ABC? 中，侧面 11AABB 为菱形， 且 1 60AAB? ? ? ， AC BC? ， D 是 A
5、B 的中点 （ 1） 求证 ： 平面 1ADC? 平面 ABC ； （ 2） 求证 ： 1BC 平面 1ADC A B1 P1 B2 B3 C1 C3 C2 P2 ADBC1C1B 1A3 17 （本小题满分 14 分） 某地拟在一个 U 形水面? ?90PA BQ A B? ? ? ?上修一条堤坝（ E 在 AP 上， N 在 BQ 上），围出一个封闭区域 EABN ， 用以种植水生植物，为了美观起见，决定从 AB 上点 M 处分别向点 NE,拉 2 条分割线 MNME, ，将所围区域分成 3 个部分（如图），每部分种植不同的水生植物，已知 , , 90AB a EM BM M EN? ?
6、? ?，设所拉分割线总长度为 l . （ 1）设2AME ?，求用?表示的 l 函数表达式，并写出定义域； （ 2）求 l 的最小值 . 18 （本小题满分 16 分） 已知函数 ( ) ln 1f x x ax? ? ?( Ra? ), 21( ) ( ) 22g x x f x x x? ? ? （ 1）求 ()fx的单调区间； （ 2）当 1a? 时， 若函数 ()gx在区间 )(1,( Zmmm ? 内存在唯一的极值点， 求 m 的值 来 ?2A BNQPEM4 19 （本小题满分 16 分） 已知 椭圆 2 22: 1( 1)xC y aa ? ? ?，离心率 63e? 直线 :1l
7、 x my?与 x 轴交于点 A ， 与椭圆 C相交于 ,EF两点 自 点 ,EF分别 向直线 3x? 作垂线，垂足分别为 11,EF （ 1）求 椭圆 C 的 方程及焦点坐标 ； （ 2）记 1AEE? , 11AEF? , 1AFF? 的面积分别为 1S , 2S , 3S ， 试 证明： 1322SSS为定 值 20 （本小题满分 16 分） 已 知等差数列 ?na 的公差 d 不为 0， 且 )(, 2121 ? ? nkkk kkkaaa n成等比数列 ，公比为 q （ 1） 若 8,3,1 321 ? kkk ， 求 da1 的值； （ 2） 当 da1 为何值时 ， 数列 ?nk
8、 为等比数列； （ 3） 若数列 ?nk 为等比数列 ， 且对于任意 *Nn? ， 不等式 nkn kaan 2?恒成立 ， 求 1a 的取值范围 F 1E 1FEAOyx5 16（ 1） 证明 ： 11ABBA 为菱形，且 1 60AAB? ? ? ， 1AAB 为正三 角形 2分 D 是 AB 的中点， 1AB AD? AC BC? ， D 是 AB 的中点 ， AB CD? 4分 1AD CD D? ， AB? 平面 1ADC 6分 AB? 平面 ABC ， 平面 1ADC? 平面 ABC 8分 （ 2） 证明 ： 连结 1CA，设 11AC AC E? ，连结 DE 三棱柱 的 侧面
9、11AACC 是平行四边形， E 为 1AC 中点 10 分 在 1ABC 中，又 D 是 AB 的中点， DE 1BC 12 分 DE? 平面 1ADC ， 1BC? 平面 1ADC ， 1BC 平面 1ADC 14分 6 18、 解：（ ） 由已知得 0x? ， 11() axf x axx? ? ? ?. （） 当 0a 时， ( ) 0fx? ? 恒成立，则函数 ()fx在 (0, )? 为增函数； （） 当 0a? 时，由 ( ) 0fx? ? ，得 10 x a? ；由 ( ) 0fx? ? ，得 1x a? ； 所以函数 ()fx的单调递增区间为 1(0, )a ，单调递减区间为
10、 1( , )a? . 4分 （ ）因为 21( ) ( ) 22g x x f x x x? ? ? 21( ln 1 ) 22x x x x? ? ? ? ? 21ln 2x x x x? ? ?， 则 ( ) ln 1 1g x x x? ? ? ? ?ln 2 ( ) 3x x f x? ? ? ? ?. 由 （ ） 可知， 函数 ()gx? 在 (0,1) 上 单调递增， 在 (1, )? 上 单调递减 . 又因为2211( ) 2 2eeg? ? ? ? ?21 0e? ?， (1) 1 0g? ? ， 所以 ()gx? 在 (0,1) 上有且只有一个零点 1x . 又 在 1(0
11、, )x 上 ( ) 0gx? ? ， ()gx在 1(0, )x 上 单调递 减； 在 1( ,1)x 上 ( ) 0gx? ? ， ()gx在 1( ,1)x 上 单调递 增 . 所以 1x 为极值点，此时 0m? . 又 (3) ln 3 1 0g? ? ? ?， (4) 2 ln 2 2 0g? ? ? ?， 所以 ()gx? 在 (3,4) 上有且只有一个零点 2x . 又 在 2(3, )x 上 ( ) 0gx? ? ， ()gx在 2(3, )x 上 单调递增 ； 在 2( ,4)x 上 ( ) 0gx? ? ， ()gx在 2( ,4)x 上 单调递减 . 所以 2x 为极值点
12、，此时 3m? . 综上 所述， 0m? 或 3m? . 1 6分 19、 解：（ ） 由题意可知 1b? ， 又 63ca? ， 即 22 123aa? ?. 解得 2 3a? .即 3a? . 所以 22 2c a b? ? ?. 所以 椭圆 C 的 方程为 2 2 13x y?，焦点坐标为 ( 2,0)? . 4分 7 （ ）由221,3 3 0x myxy? ? ? ? 得 22( 3 ) 2 2 0m y m y? ? ? ?，显然 m?R . 设 1 1 2 2( , ), ( , )E x y F x y,则1 2 1 222,33my y y ymm? ? ?， 1 1 1 2
13、(3, ), (3, )E y F y. 因为1 3 1 1 2 211( 3 ) ( 3 )22S S x y x y? ? ? ?1 2 1 21 ( 2 ) ( 2 )4 m y m y y y? ? ?21 2 1 2 1 21 4 2 ( ) 4 m y y m y y y y? ? ? ? 22 2 21 2 2 2( 4 2 )4 3 3 3mmmm m m? ? ? ? ? ? ? ? ?2223( 2)( 3)mm ? ? ， 又因为 222 1 21 2 2S y y? ? ? 21 2 1 2( ) 4y y y y? ? ?22 2 248( 3) 3mmm?22224
14、 8 24( 3)mmm? ?22212 24( 3)mm ? ?. 所以22213222223 ( 2 )1( 3 )1 2 ( 2 ) 4( 3 )mSS mmSm?. 1 6分 20、 (1) 由已知可得： a1， a3， a8成等比数列 ， 所以 (a1 2d)2 a1(a1 7d), (2分 ) 整理可得： 4d2 3a1d.因为 d0 ， 所以 a1d 43. (4分 ) (2) 设数列 kn为等比数列 ， 则 k22 k1k3. 又因为 ak1， ak2， ak3成等比数列 ， 所以 a1 (k1 1)da1 (k3 1)d a1 (k2 1)d2. 整理 ， 得 a1(2k2
15、k1 k3) d(k1k3 k22 k1 k3 2k2) 因为 k22 k1k3， 所以 a1(2k2 k1 k3) d(2k2 k1 k3) 因为 2k2 k1 k3， 所以 a1 d， 即 a1d 1.(6分 ) 当 a1d 1时 ， an a1 (n 1)d nd， 所以 akn knd. 又因为 akn ak1qn 1 k1dqn 1， 所以 kn k1qn 1. 所以 kn 1kn k1qnk1qn 1 q， 数列 kn为等比数列 综上 ， 当 a1d 1时 ， 数列 kn为等比数列 (8 分 ) 8 (3) 因为数列 kn为等比数列 ， 由 (2)知 a1 d， kn k1qn 1
16、(q1) akn ak1qn 1 k1dqn 1 k1a1qn 1， an a1 (n 1)d na1. 因为对于任意 n N*， 不等式 an akn2kn恒成立 所以不等式 na1 k1a1qn 12k1qn 1, 即 a1 2k1qn 1n k1qn 1， 00， 可得 n1211 1 4lnqln2lnq ， 所以 n1? ?1 1 4lnqln2lnq2. 不妨 取 n0 ? ? ?1 1 4lnqln2lnq2 1， 则当 n1n0时 ， 原式得证 所以 01a1 12， 所以 a1 2， 即得 a1的取值范围是 2， ). (16 分 ) 填空题： 1、 ? ?1,0,1? ； 2、 ? ?1,1? ； 3、 12； 4、 ? ? 1,0 ? xex ； 5、 81 ； 6、 30； 7、 bca ? ； 8、 3； 9、 324 ； 10、 421 ； 11、 ? 0,34； 12、 36； 13、 611? ； 14、 231? ； 15、 解： (1) B 3 7分 （ 2） 2 6 16 14 分
