1、 1 2017届高三下学期四月月考 文科数学试题 一、选择题（本大题共 12小题，每小题 5分，共 60分，在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项） 1.设全集? ? ? ? ? ? ? ? ? ?1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 1 , A 3UUU C A B C B? ? ? ， 4，则集合 B?( ) A? ?1,2,4,5B? ?2,4,5C?12,D?2. 若复数( )2+ 2ai i-（i为虚数单位）是纯虚数，则实数 a=( ) A 1- B0C 1 D13 等差数列?na的前 项的和为nS，且6a与2012是方程2 20 36 0xx? ? ?的两根，则2017
2、 10092017S a?( ) A 10 B 15 C. 20 D 40 4 某同 学为实现 “ 给定正整数N，求最小的正整数i，使得7i N?” ，设计程序框图如下，则判断框中可填入 ( ) AxN?B?CxN?D?5若 m是 2和 8的等比中项，则圆锥曲线2213xym的离心率是 ( ) A B33C2或21D33或2136已知单位向量1e，2的夹角为?，123a e e?，则a在1e上的投影 是 ( ) A12B3C2D527.设实数,xy满足?0205202yyxyx，则4xyz yx?的取值范围是 ( ) A. 174, 2B1317 , 32C374 3D.37 , 238.已知
3、11 13, ( , )44?，则“tan 2 tan 2?”的一个充分不必要条件是 ( ) A33( 1)?B1244?C 22log 2 log 2?D?9. 已知 O， A， B三地在同一水平面内， A地在 O地正东方向 2 km处， B地在 O地正北方向 2 km处，某测绘队员在 A， B之间的直线公路上任选一点 C作为测绘点，用测绘 仪进行测绘， O地为一磁场，距离其不超过 3 km的范围内会对测绘仪等电子仪器形成干扰，使测量结果不准确，则该测绘队员能够得到准确数据的概率是 ( ) A 1 32 B 1 22 C 12 D 22 10.已知1( ) si n ( )2f x x x
4、? ? ?满足21( ) ( ) 21xxg f x ?为偶函数且(1)0g，则函数()y f x?的图 象大致为 ( ) 2 11.如图，在长方体1 1 1 1AB CD A B C D中，1 6 , 3 , 8AA AB AD? ? ?，点 M是棱 AD的中点，点N在棱1AA上，且满足12AN NA， P是侧面四边形11DA内一动点 (含边界 )，若1CP平面CMN，则线段1CP长度的取值范围是 （ ） A. 3, 17?B. ,5C. ? ?3,5D. ? ?4,512已知函数? ? 2xmefx?与函数? ? 221g x x x? ? ? ?的图象有两 个不 同的 交点，则实数 m取
5、值范围为 ( ) A0,1)B218(0 2) e?C2180,2) e?D2180, 2 ) e e?二、 填空题（每题 5分，满分 20分，将答案填在答题卡上） 13.设等比数列na中，S是前 项和，若2580aa?，则?36SS； 14.九章算术中，将底面是直角三角形的直三棱柱称之为“堑堵”，将底面为矩形，一条侧棱垂直于底面的四棱锥称之为“阳马”，已知某“堑堵”与某“阳马”组合而成的几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积 ； 15.已知,ab R?，且11 5ab ab? ? ? ?，则?的取值范围是 ； 16.已知 抛物线 ?2: 12yx?的焦点为 F，斜率为k的直线l与抛物线 ?
6、交于 A 、 B 两 点 ， 若 线 段 AB 的 垂 直 平 分 线 的 横 截 距 为( 0) ,a n AF BF? ? ?，则2an?. 三、解答题 ：本大题共 6 小题，共 70 分 .解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 . 17.（本小题满分 12分）在ABC?中，角A B C、 、的对边长分别为a b c、 、，已知3 si n cos 1BB?，且1b? （ 1）若512?，求 c的值； （ 2）设AC边上的高为h，求 的最大值 18. （本小题满分 12分） 股票市场的前身 是起源于 1602年荷兰人在阿姆斯特河大桥上进行荷属东印度公司股票的买卖，而正规的股票市场最早出现
7、在美国 2017 年 2月 26 号，中国证监会主席刘士余谈了对股市的几点建议，给广大股民树立了信心最近，张师傅和李师傅要将家中闲置资金进行投资理财现有两种投资方案，且一年后投资盈亏的情况如下： （ 1）投资股市： 投资结果 获利 不赔不赚 亏损 3 概率 121838（ 2）购买基金： 投资结果 获利 不赔不赚 亏损 概率 p13q（）当2p?时 ，求q的值 ； （）已知“购买基金”亏损的概率比“投资股市”亏损的概率小，求p的取值范围 ； （）已知张师傅和李师傅两人都选择了“购买基金”来进行投资，假设三种投资结果出现的可能性相同，求一年后他们两人中至少有一人获 利的概率 19.（本小题满分
8、12分）如图， PA?平面ABCD，矩形ABC的边长 1AB?，2BC?， E为 的中点 （ 1）证明： PE DE； （ 2）如果异面直线 AE与 PD所成的角的大小为3?， 求 PA的长及点 A到平面 PED的距离 20（本小题满 分 12 分）已知曲线1: 22221 ? byaxC（0,0 ? ba）和曲线135: 222 ? yx有相同的焦点，曲线 1C的离心率是曲 线 2C的离心率的5倍 （）求曲线 1的方程； （）设点 A 是曲线 1的右支上一点， F 为右焦点，连 AF 交曲线 1C的右支于点 B，作 BC 垂直于定直线 2: ?xl，垂足为 C，求证：直线 AC 恒过x轴上一
9、定点 21. （本小题满分 12 分） 已知函数xxf ln)( ?. （ 1）若曲线1)( ? xaxfxg ）在点)2(,2( g处的切线 与直线012 ? yx平行，求实数 a的值； （ 2）若0?nm， 求 证2 lnln nmnm nm ?. 4 请考生在第 22、 23两题中任选一题作答，如果两题都做，则按照所做的第一题给分；作答时，请用 2B铅笔将答题卡上相应的题号涂黑。 22.（本题满分 10分）选修 4-4：参数方程与极坐标系 在平面直角坐标系xoy中，曲线1C的参数方程为2cossinxy ? ?（ ?为参数），以坐 标原点O为极点， x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，曲线2
10、 2: c os 42C ?，3 : 2sin .C ?（ 1）求曲线1C与2的交点 M在直角坐标系xoy中的坐标； （ 2）设点 A,B分别为曲线23,CC上的动点，求AB的最小值 . 23.（本题满分 10分）选修 4-5：不等式选讲 已知函数? ? 2 1 .f x x a x? ? ? ?（ 1）当1a?时，求?fx的最小值； （ 2）若存在? ?0,2x?使得不等式? ?0成立，求实数 a的取值范围 . 2017届高三文科数学 4月月考答案 DACB CDCB BABD 9 536? ?1,46 17解： (1)由已知，2 sin( ) 16B ?,1sin( )62B ? 2分 因
11、为5 ,12A A B? ? ? ?70,12B ?从而56 6 12B? ? ? ? ? ?所以,=6 6 3BB? ? ? 即? 3分 因为14C A B b? ? ? ? ?，,由正弦定理，得 5 si nsi n 2 64si n 33si n3bCcB? ? ? ? 6分 （ 2） 因为11 si n , , 12 2 3ABCS bh ac B B b? ? ? ? ?，则 si n 32ac Bh acb? 9分 由余弦定理，得2 2 2 2 22 c os 2b a c ac B a c ac ac ac ac? ? ? ? ? ? ? ? ?， 则1ac?，所以32h?当且仅
12、当 ?时取等号，所以h的最大值为32 ? 12 分 18.解：（）因为“购买基金”后，投资结果只有“获利”、“不赔不赚”、“亏损”三种，且 三种投资结果相互独 立，所以1 13pq?， 又因为12p?， 所以6q （）由“购买基金”亏损的概率比“投资股市”亏损的概率小，得38q?， 因为1 13，所以2338qp? ? ?， 解得724p?， 又因为 ，0q?，所以3p?， 所以7224 3p? （）记事件 A为 “一年后张师傅和李师傅两人中至少有一人获利”， 用 a，b， c分别表示一年后张师 傅购买基金 “获利”、“不赔不赚”、“亏损”，用 x，y， z分别表示一年后李师傅购买基金 “获利
13、”、“不赔不赚”、“亏损”， 则一年后张师傅和李师傅购买基金，所有可能的投资结果有3 3 9?种 ， 它们是 ：(, )ax，(, )ay，(,az，(, )bx，(, )by，(,bz， (, )cy，(,cz， 所以事件 A的结果有 5种，它们是：)ax，(, )ay，(,az，(, )bx，(, )cx 因此这一年后张师傅和李师傅两人中至少有一人获利的概率5()9PA? 19 6 1 1 22 2 23 2 3A P D E P D A EVV? ? ? ? ? ? ? 在RtPED?中，6PE?，2DE?，1 2 6 32PEDS ? ? ? ? ?点 A到平面 PED的距离为2233
14、333? 若3MNC ?,由2221 2 5 144c os 22 1 24xxM N Cx? ? ? ? ? ?，显然不适合题意 综上所述， 2PA?，点 A到平面 PED的距离为233?（ 12分） 20解：（）由题知： a2+b2=2，曲线 C2的离心率为 7 曲线 C1的离 心率是曲线 C2的离心率的 倍， = 即 a2=b2， a=b=1， 曲线 C1的方程为 x2 y2=1； 4分 （）证明：由直线 AB的斜率不能为零知可设直线 AB的方程为： x=ny+ 5分 与双曲线方程 x2 y2=1 联立，可得（ n2 1） y2+2 ny+1=0 设 A（ x1， y1）， B（ x2，
15、 y2），则 y1+y2= ， y1y2= ， 7分 由题可设点 C（ ， y2）， 8分 由点斜式得直线 AC的方程 ：)22(221122 ? xxyyyy 9分 令 y=0，可得 x= = = 11 分 直线 AC过定点（ ， 0） 12 分 21解： （ 1）1ln( ? xaxxg ）， 21( xaxxg ?）. 曲线1)( ? xaxf）在点)2(,2( g处的切线与直线012 ? yx平行， 24212( ? ag ）， 4?a. 4分 （ 2） 0?nm， 1?nm， 要证2 lnln nmnn ?，即证nmnmnmln1)1(2?6 分 令)1( ? xxnm，)1(1 )1(2ln)( ? xxxxxh8分 由（ 2）知， 在),1( ?上是增函数，0)1()( ?hxh. 故nmnmnmln1)1(2?， 即2 lnln nmnm nm ?. 12分 8
