1、 - 1 - 亳州市 2017-2018 学年度第一学期期末高三质量检测 数学试卷（文） 第 卷 一、选择题：本大题共 12 个小题，每小题 5 分，共 60 分 .在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 . 1. 已知集合 ， ，则下图阴影部分表示的集合为（ ） A. B. C. D. 【答案】 C 【解析】 ，所以阴影部分为 ， 故选 C。 2. 已知为虚数单位，复数满足 ，则复数在复平面内对应的点在（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】 C 【解析】 ， 所以在第三象限，故选 C。 3. 在边长为 2 的正方形中随机取一点，则该点来自
2、正方形的内切圆及其内部的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】 D 【解析】 ， 故选 D。 4. 平面向量 满足 ， ， ，下列说法正确的是（ ） A. B.与 同向 C.与 反向 D.与 夹角为 【答案】 B 【解析】 ， 得 ， 所以 ， 则 同向，故选 B。 5. 已知等比数列 满足 ， ，则 （ ） A. -48 B. 48 C. 48 或 -6 D. -48 或 6 - 2 - 【答案】 D 【解析】由题意 ， ， 得 或 1， 当 时 ， ， 当 时 ， ， 故选 D。 6. 平面直角坐标系中，以 轴的非负半轴为始边作角 ，其终边与单位圆交于点 ，则（ ） A. B. C
3、. D. 【答案】 B 【解析】由已知 ， ， ， 故选 B。 7. 在三棱锥 中， ，则点 在平面 的射影一定在（ ） A. 边的中线上 B. 边的高线上 C. 边的中垂线上 D. 的平分线上 【答案】 C 【解析】由 可知，它们的投影长度相等 ，则点 的投影是底面的外心，即在 边的中垂线上，故选 C。 8. 执行如图的程序框图，若输出的 ，则图中 处可填的条件是（ ） - 3 - A. B. C. D. 【答案】 C 【解析】 （ 1） ； （ 2） ； （ 3） ； （ 4） ； （ 5） ， 所以添加条件为 ， 故选 C。 9. 已知某五面体的三视图如图所示，其中正视图是等腰直角三角形
4、，侧视图和俯视图均为直角梯形，则该几何体的体积是（ ） - 4 - A. B. C. D. 2 【答案】 A 【解析】 ， 故选 A。 10. 设 为正实数，且满足 ，下列说法正确的是（ ） A. 的最大值为 B. 的最小值为 2 C. 的最小值为 4 D. 的最大值为 【答案】 B 【解析】 ， ， 得 ， 故选 B。 点睛：本题考查基本不等式的应用。求 的最值，是基本不等式中的 “1 ” 的应用的题型，则 ； 求 的最值，是基本不等式的公式直接应用，得。 11. 已知双曲线 过点 ，过左焦点 的直线与双曲线的左支交于两点，右焦点为 ，若 ，且 ，则 的面积为（ ） A. 16 B. C.
5、D. 【答案】 A 【解析】由题意 ， ， 所以 ， 设 ， 则 ， - 5 - 所以 是以 为直角的等腰直角三角形， 则 ，则 ， 故选 A。 点睛：本题考查双曲线的几何性质。本题中 ， 由双曲线的几何性质， ， 设 ， 则 ，通过示意图我们可知 是以 为直角的等腰直角三角形，利用几何方法解题即可。 12. 已知函数 ，若 有三个零点，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】 A 【解析】 ， 当 时 ， ， 令 ， 则 ， 所以 在 单调递减，且 ， 所以 在 单调递增 ， 单调递减 ， ， 当 时 ， ， 令 ，则 ， 所以 在 单调递增，且 ， 所以 在 单调递减 ，
6、 单调递增 ， ， 所以得到大致图象如下 ： - 6 - 由图知，若有三个零点，则 ， 且 ， 得取值范围是 ， 故选 A。 点睛：本题考查导数的应用。在含参的零点个数问题中，我们常用方法是分参，利用数形结合的方法，转化为两函数图象的交点个数问题。具体函数通过求导，判断单调性，得到函数的大致图象，解得答案。 第 卷 二、填空题（每题 5 分，满分 20 分，将答案填在答题纸上） 13. 已知实数 满足不等式组 ，则 的最小值为 _ 【答案】 1 【解析】 由图可知 ， 过点 时 ， 的最小值为 1. 14. 与双曲线 共焦点，且经过点 的椭圆的标准方程为 _ 【答案】 - 7 - 【解析】 ，
7、 且 ， 所以 ， 所以椭圆方程为 。 15. 若函数 是偶函数，则 _ 【答案】 【解析】由题可知，有 ， 则 ， 得 。 16. 已知正项数列 的前 项和为 ，且 为 和 的等差中项，则 _ 【答案】 【解析】 ， 则由公式 可知 ， ， ， 又 ， 得 ，则 。 三、解答题 （本大题共 6 小题，共 70 分 .解答应写出文 字说明、证明过程或演算步骤 .） 17. 在 中，内角 所对的边为 ，满足 . （ 1）求 ； （ 2）若 ，求 的面积的最大值 . 【答案】（ 1） （ 2） 【解析】试题分析 ：（ 1） 由正弦定理得 ，解得 ；（ 2）由余弦定理和基本不等式得 ，所以面积的最大
8、值为 。 试题解析： （ 1）由正弦定理和 可得： 因为 为三角形内角，故 ， ， - 8 - ， （ 2）由条件， ，故 ，即 ， 故 的面积的最大值为 . 点睛：本题考查解三角形。本题中由条件可知，首先利用正弦定理边化 角，得到角 C。求面积的最值一般的，利用余弦定理得到边的关系，再利用基本不等式解决最值问题。也可以利用正弦定理转化为角进行求解最值。 18. 如图，已知四棱锥 的底面 是直角梯形， ， ， ， . （ 1）求证： ； （ 2）若平面 平面 直线，求证：直线 . 【答案】（ 1）见解析（ 2）见解析 【解析】试题分析 ：（ 1） 由题证明 ， ，所以 平面 ，故 ；（ 2）平
9、面 ，又因为 平面 ，平面 平面 ，所以 . 试题解析： （ 1）证明：取线段 的中点 ，连接 在直角梯形 中，由条件易得 ， 又因为 ， 为 中点，所以 ， 因为 平面 ，且 所以 平面 ，故 （ 2）解：由条件可知在梯形 中， ， 平面 ， 平面 ， 所以 平面 又因为 平面 ，平面 平面 所以 . - 9 - 19. 某企业准备推出一种花卉植物用于美化城市环境，为评估花卉的生长水平，现对该花卉植株的高度（单位：厘米）进行抽查，所得数据分组为 ，据此制作的频率分布直方图如图所示 . （ 1）求出直方图中的值； （ 2）利用直方图估算花卉植株高度的中位数； （ 3）若样本容量为 32，现准备
10、从高度在 的植株中继续抽取 2 颗做进一步调查，求抽取植株来自同一 组的概率 . 【答案】（ 1） 0.0625（ 2） 26（ 3） 【解析】试题分析：（ 1） ；（ 2）中位数估计为： ；（ 3）高度在 的植株个数为 ，高度在 的植株个数为 2，可计算基本事件总数为： 28，植株来自同一组有基本事件 ，故所求概率为 。 试题解析： （ 1）由条件， ； （ 2）由于 ，故中位数估计为： ； （ 3）由样本容量为 32 可知，高度在 的植株个数为： ， 高度在 的植株个数为 2，可计算基本事件总数为： 28，植株来自同一组有基本事件，故所求概率为 . - 10 - 20. 已知抛物线 的焦点
11、为 ，点 满足 . （ 1）求抛物线的方程； （ 2）过点 的直线交抛物线于点 ，当 时，求直线的方程 . 【答案】（ 1） （ 2） 【解析】试题分析 ：（ 1） 利用抛物线的几何定义，得 ；（ 2）设 ，联立 ，当 时，得 ，即直线 。 试题解析： （ 1）由条件易知 在抛物线 上， ， 故 ，即抛物线的方程为 ； （ 2）易知直线斜率必存在，设 ， ， ， ， 联立 得 即 ， 由 得 ， 且 ， ， 由 得 ，即直线 . 21. 已知函数 ，其中为自然对数的底数 . （ 1）求证：当 时，对任意 都有 ； （ 2）若函数 有两个极值点， 求实数的取值范围 . 【答案】（ 1）见解析（ 2）
