1、 - 1 - 北京临川 育人学校 20172018 学年度第二学期高三期中测试 数学（理科） 一、选择题：共 12小题 ,每小题 5分共 60分 ,在每小题给出四个选项中选出符合题目要求的 . 1.若集合 | 3 1A x x? ? ? ?， 1B x x? ? 或 2?x ，则 ?AB A. | 3 2xx? ? ? B. | 3 1xx? ? ? C. | 1 1xx? ? ? D. |1 2xx? 2.复数1iz i? ?在复平面上对应的点位于 A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 3.已知 ,Rab? ，且 ab? ，则下列不等式一定成立的是 A. 220ab? B.
2、cos cos 0ab? C.110ab? D. 0abee? 4.在平面直角坐标系 xOy 中 ,角 ? 以 Ox 为始边 ,终边与单位 圆交于点 34( , )55 ，则 tan( )? = A.43 B.34 C. 43? D. 34? 5.设抛物线 2 4yx? 上一点 P 到 y 轴的距离是 2, 则 P 到该抛物线焦点的距离是 A.1 B.2 C.3 D.4 - 2 - 6.故宫博物院五一期间同时举办 “ 戏曲文化展 ” 、 “ 明代御窖瓷器展 ” 、 “ 历代青绿山水画展 ” 、 “ 赵孟頫书画展 ” 四个展览。某同学决定在五一当天的上、下午各参观其中的一个，且至 少参观一个画展
3、，则不同的参观方案共有 A.6种 B.8种 C.10种 D.12种 7.设 na 是公差为 d 的等差数列， nS 为其前 n项和，则 “ 0d? ” 是 “ ?nS 为递增数列 ” 的 A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 8. 在 ABC中 ,角 A， B， C所对的边分别为 ,abc，若 2 2 2a c b ac? ? ? ,则 B? A. 3? B. 4? C. 6? D. 2? 9.若 ,xy 满足041xyxyx?，则 2xy? 的最大值为 A.6 B.8 C.10 D.12 10.某次数学测试共有 4 道题目，若某考生答对的题大
4、于全部题的一半，则 称他为 “ 学习能手 ” ，对于某个题目，如果答对该题的 “ 学习能手 ” 不到全部 “ 学习能手 ” 的一半，则称该题为 “ 难题 ” ，已知这次测试共有 5 个 “ 学习能手 ” ， 则难题的个数最多为 - 3 - A.4 B.3 C.2 D.1 11. 已知定义在 R 上的函数 )(xf 是奇函数，且满足 )()23( xfxf ? ， 2)2( ?f ，数列 ?na满足 11 ?a ，且 12 ? nanS nn ， ? ?naSn为 的前 项和n ，则 ?)( 5af （ ） A. 3? B. 2? C.3 D.2 12. 若函数 )(xfy? ， Mx? 对于给
5、定的非零实数 a ，总存在非零常数 T ，使得定义域 M 内的任意实数 x ，都有 )()( Txfxaf ? 恒成立，此时 T 为 )(xf 的假周期，函数 )(xfy? 是 M上的 a 级假周期函数，若函数 )(xfy? 是定义在区间 ? ?，0 内的 3级假周期且 2?T ， 当 ，)2,0?x 21 2 , 0 1() 2(2 ),1 2xxfxf x x? ? ? ? ? ? ?函数 mxxxxg ? 221ln2)( ，若 ? ?8,61?x ，)0(2 ? ，x 使 0)()( 12 ? xfxg 成立，则实数 m 的取值范围是（ ） A. 213,(? B. 12,(? C.
6、39,(? D. ),12 ? 二、填空题：共 4小题 ,每小题 5分 ,共 20分 . 13. 在 (1-2x)6错误！未找到引用源。 的展开式中， x2的系- 4 - 数为 _.（用数字作答） 14.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为 _. 15.设平面向量 a,b,c 为非零向量，能够说明若 “ ?a b=a c ， 则 b=c ” 是假命题的一组 向量 a,b,c 的坐标依次为 _. 16.单位圆的内接正 n( 3n? )边形的面积记为 ()fn，则 (3)=f _； 下面是关于 ()fn的描述： 2( )= sin2nfn n?； ()fn的最大 值为 ? ； ( ) (
7、 1)f n f n?； ( ) (2 ) 2 ( )f n f n f n?. 其中 正确结论的序号为 _（注：请写出所有正确结论的序号） 三、解答题：共 6小题，共 70 分 .解答应写出文字说明，验算步骤或证明 . 17.(本小题满分 12分 ) 已知函数 22( ) s in 2 s in c o s c o sf x x x x x? ? ? () 求 ()fx的 最小正周期 ; () 求 ()fx在 0,2?上的最大值和最小值 . 18.（本小题满分 12 分） 从高一年级随机选取 100名学- 5 - 生，对他们期 中考试的数学和语文成绩进行分析，成绩如图所示 . （ ）从这 1
8、00名学生中随机选取一人， 求该生数学和语文成绩均低于 60 分的概率 ; （ ）从语文成绩大于 80分的学生中随机选取两人， 记这两人中数学成绩高于 80分的人数为 ? ， 求 ? 的分布列和数学期望 ()E? ; （ ）试判断这 100名学生数学成绩的方差 a 与 语文成绩的方差 b 的大小 .（只需写出结论） 19.（本小题满分 12分） 如图 1，在边长为 2的正方形 ABCD 中， P 为 CD 中点， 分别将 ,PAD PBC?沿 ,PAPB 所在直线折叠，使点 C 与点 D 重合于点 O ，如图 2. 在三棱锥 P OAB? 中， E 为 PB 中点 . （ ）求 证： PO A
9、B? ； （ ）求直线 BP 与平面 POA 所成角的正弦值； （ ）求二面角 P AO E?的大小 . - 6 - 20（本小题满分 12 分） 已知椭圆 ? ?2222: 1 0xyC a bab? ? ? ?的离心率为 32，且过点? ?2,0A （ ）求椭圆 C 的方程； （ ）设 M ， N 是椭圆 C 上不同于点 A 的两点，且直线 AM ， AN 的斜率之积等于 14? ， 试问直线 MN 是否过定点？若是，求出该点的坐标；若不是，请说明理由 21. （本小题满分 12 分） 已知函数 ( ) ( 1)xf x e a x? ? ?. - 7 - （ ）若曲线 ()y f x?
10、在 (0, (0)f 处的切线斜率为 0，求 a 的值 ; （ ）若 ( ) 0fx? 恒成 立，求 a 的取值范围 （ ）求证：当 0a? 时，曲线 ( )( 0)y f x x?总在曲线 2 lnyx? 的上方 . 选考题：共 10 分 .请考生在 22、 23题中任选一题作答 .如果多做，则按所做的第一题计分。 22.（本题满分 10分）选修 4-4：参数方程与极坐标系 已知直线 : 3 0l x y? ? ? ，曲线 ? ? ?2 c o s 2: 2 s inxC y ? ? 为 参 数.以坐标原点 O为极点 , x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系 . （ 1）分别求直线 l 和曲线
11、 C 的极坐标方程； （ 2）若射线 : ( , )42m ? ? ? ? ? ? ? ? ?分别交直线 l 和曲线 C 于 M,N两点（ N点不同于坐标原点 O），求 ONOM的最大值 . 23.（本题满分 10分）选修 4-5：不等式选讲 已知函数 ? ? .32 ? xxxf （ 1）若对于任意的实数 x ，都有 ? ? mmxf 72 2 ? 成立，求 m 的取值范围； （ 2）若 ? ? ,axxg ? 方程 ? ? ? ?xgxf ? 有两个不同的实数解，求 a 的取值范围 . - 8 - 一、 选择题：共 12 小题 ,每小题 5 分 ,共 60 分 .在每小题给出的四个选项中
12、,选出符合题目要求的一项 . 1.【答案】 B 【解析】由题易知， | 3 1 .A B x x? ? ? ? ?故选 B 2.【答案】 B 【解析】 (1 ) 1 1 11 (1 ) (1 i) 2 2 2i i i iziii ? ? ? ? ? ? ? ?,所以 z 在复平面上对应的点为 11( , )22?，在第二象限 ,故选 B 3.【答案】 D 【解析】 ,a b a b? ? ? ?由 xye? 在 R 上单调递增可知 , , 0,a b a be e e e? ? ? ? ? ? ?故选 D 4.【答案】 A 【解析】由正切函数 定义可知 : 445tan3 35yx? ? ?
13、 ?， 4tan( ) tan3? ? ? ? ?， 故选 A 5.【答案】 C 【解析】在抛物线中 , 2 4.yx? 焦点 (1,0),F 准线 1.x? | | | | | | 1.PF PH PM? ? ?点到 y 轴的距离为 2. | | 2.PM?即 | | | | | | 1 3 .P F P H P M? ? ? ?故选 C 6.【答案】 C 【解析】法一： 224210AA?种 - 9 - 法二： 1 1 2 22 2 2 2 10A A A A? ? ? ?种 .故选 C 7.【答案】 D 【解析】充分条件的反例，当 1 4a? ， 1d? 时， 114Sa? ? ， 2
14、1 2 7S a a? ? ?，充分不成立 . 必要条件的反例，例 nSn? ， 1 1n n nS S a? ? ? ， 0d? ， 必要不成立 .故选 D. 8.A 【解析 】 2 2 2 1c o s2 2 2a c b a cB a c a c? ? ?, 3B ? 9.A 可行域如右图所示： 设 2+z x y? 即 2y z x? ，当 2y z x? 过 (2,2)B 时， z 取最大值， 所以 6z? . 10.【答案】 D 【解 析】由题意可知每位 “ 学习能手 ” 最多做错 1道题， 5 位 “ 学习能手 ” 则最多做错 5 道题 .而至少有 3 个 “ 学习能手 ” 做错
15、的题目才能称之为 “ 难题 ” ，所以难题最多 1道 .故选 D. 11.D 12. C 二、填空题：本大题共 4小题 ,每小题 5分 ,共 20分 . 13.60 14.【答案】 2 3+12 【解析】该几何体如图所示： 可知 2AB AC BC? ? ?, ABC 为等边三角形 , - 10 - 所以 1 2 3 32ABCS ? ? ? ?,所以四 边形 11ACCA 的面积为 11 2 2 4ACC AS ? ? ?,所以112 3 2 3 1 2A B C A C C AS S S? ? ? ?表. 15.【答案】 (1,1)a= ， (1,2)b= ， (2,1)c= （ 答案不唯
16、一） 【解析】 设 (1,1)a= ， (1,2)b= ， (2,1)c= ,则 3?a b= ， 3?a c= ，所以 ?a b=a c 但 ?bc，所以若 ?a b=a c ，则 b=c 为假命题。 16.【答案】 334； 【解析】内接正 n 边形可拆解为 n 个等腰三角形，腰长为单位长度 1，顶角为 2n? . 每个三角形的面积为 12sin2 n? ，所以正 n 边形面积为 2( ) sin2nfn n? . 3 2 3 3 3 3(3 ) s in2 3 2 2 4=f ?， 正确； 正 n 边形面积无法等于圆的面积，所以 不对； 随着 n 的值增大，正 n 边形面积也越来越大，所以 正确； 当且仅当 3n? 时，有 2 (3) (6)ff? ，由几何图形 可知其他情况下都有 (2 ) 2 ( )f n f n? 所以 正确 . 四、 解答题 共 6小题 ,共 70分 .解答应写出文字说明，验算步骤或证明 . 17、解 :() 由题意得： ( ) s in 2 c o s 2 2 s in ( 2 )4f x x x x ? ? ? ?, 22T ? ? ? ? () 当 0,2x ?时， 32,4 4 4x ? ? ? ? ?
