1、对数函数-专项训练【原卷版】基础巩固练1. 已知集合A=x|log2x1，则AB=（ ）.A. 1,2B. 0,2C. 0,+D. R2. 2024四川模拟已知log2alog2b，则下列不等式一定成立的是（ ）.A. 1a1bB. 12a0D. 2a-b0,且a1)的图象可能是( ).A BC D4. 函数fx=lnx+2+ln4-x的单调递减区间是（ ）.A. 1,+)B. 1,4C. (-,1D. -2,15. （改编）已知函数fx=logax-b(a0且a1)的大致图象如图所示，则以下说法正确的是（ ）.A. a+b0B. ab-1C. 0ab06. 设a=log58,b=21.3,c
2、=0.71.3，则a,b,c的大小关系为（ ）.A. cbaB. bacC. bcaD. cab7. 2024毕节模拟已知loga141,13a1,a121，则实数a的取值范围为（ ）.A. (13,1)B. (0,14)1,+C. (14,1)D. (0,14)8. 2024湖北联考已知函数fx=log33x-1+3-12x，若fa-1f2a+1成立，则实数a的取值范围为（ ）.A. (-,-2B. -,-20,+C. -2,43D. (-,-243,+)综合提升练9. 2024邯郸模拟（多选题）已知函数fx=log2x+6+log24-x，则（ ）.A. fx的定义域为-6,4B. fx有
3、最大值C. 不等式fx1，则下列说法正确的是（ ）.A. 函数fx的图象过定点0,0B. 函数fx在0,+上单调递减C. 函数fx在(-12,1)上的最小值为0D. 若对任意的x1,2,fx1恒成立，则实数a的取值范围为1,211. 已知函数fx=1+log22-x,x1, 2x-1,x1,则ff-2=_.12. 已知a=log119，b=log1311，c=log1513，则a,b,c的大小关系是_应用情境练13. 某公司工人甲生产第x件产品所需的时间fx（单位：h）满足fx=4-logax,0x0且a1，若甲生产第2件产品的时间为3 h，生产第 件产品的时间为2 h，则f3=_14. 已知
4、大气压强p（单位：帕）随高度h（单位：米）的变化满足关系式ln p0-ln p=kh,p0表示海平面的大气压强.（1）设在海拔4000米处的大气压强为p，求在海拔8000米处的大气压强.（结果用p0和p表示）（2）我国的陆地地势可划分为三级阶梯，其平均海拔如表所示：平均海拔/米第一级阶梯H4000 第二级阶梯1000H2000 第三级阶梯H500 若用平均海拔的范围直接代表海拔的范围，设在第二级阶梯某处的压强为p2，在第三级阶梯某处的压强为p3,k=10-4，证明：p2p3e0.18p2.创新拓展练15. 2024南通统考已知函数y=fx的图象既关于点1,1中心对称，又关于直线x+y=0对称.
5、当x0,1时，fx=log2x+1，则flog210的值_16. 若存在实数m,n,使得hx=mfx+ngx，则称函数hx为fx,gx的“Tm,n函数”.（1）若hx=ex为fx，gx的“T2,1函数”，其中fx为奇函数，gx为偶函数，求函数fx，gx的解析式.（2）设函数fx=lnex+1，gx=x，是否存在实数m,n,使得hx为fx，gx的“Tm,n函数”，且同时满足：（）hx是偶函数；（）hx的值域为ln 2,+)?若存在，请求出m,n的值；若不存在，请说明理由.对数函数-专项训练【解析版】基础巩固练1. 已知集合A=x|log2x1，则AB=（ C ）.A. 1,2B. 0,2C. 0
6、,+D. R解析由log2x1 得0x0.故选C.2. 2024四川模拟已知log2alog2b，则下列不等式一定成立的是（ B ）.A. 1a1bB. 12a0D. 2a-blog2b 得，ab0，所以1a1b，A错误；因为y=12x 为减函数，所以12a0，但a-b 不一定大于1，所以log2a-b 不一定大于0，C错误；2a-b20=1，D错误.故选B.3.在同一直角坐标系中,函数y=1ax,y=logax+12(a0,且a1)的图象可能是( D).A BC D解析易知a与1a必有一个大于1,一个大于0且小于1,则f(x)=1ax与g(x)=logax+12在各自定义域内单调性相反,可排
7、除B;由g12=0可排除A,C.故选D.4. 函数fx=lnx+2+ln4-x的单调递减区间是（ B ）.A. 1,+)B. 1,4C. (-,1D. -2,1解析易得函数fx=lnx+2+ln4-x 的定义域为-2,4.fx=ln x+24-x=ln -x-12+9，由复合函数的单调性可知，函数fx=lnx+2+ln4-x 的单调递减区间是1,4.故选B.5. （改编）已知函数fx=logax-b(a0且a1)的大致图象如图所示，则以下说法正确的是（ C ）.A. a+b0B. ab-1C. 0ab0解析由图象可知fx 在定义域内单调递增，所以a1，令fx=logax-b=0，即x=b+1，
8、所以函数fx 的零点为b+1，结合函数图象可知0b+11，所以-1b0，所以A 错误；-aab1，所以-a-1，因此ab-1 不一定成立，所以B 错误；因为a-1aba0，即1aab1，且01a1，所以0ab1，所以C 正确；因为0b1，所以logabloga1，即logab0，所以D 错误.故选C.6. 设a=log58,b=21.3,c=0.71.3，则a,b,c的大小关系为（ D ）.A. cbaB. bacC. bcaD. ca0 是增函数，所以1=log55log58log525=2，即1a210.71.3，即b21c.故选D.7. 2024毕节模拟已知loga141,13a1,a1
9、21，则实数a的取值范围为（ D ）.A. (13,1)B. (0,14)1,+C. (14,1)D. (0,14)解析由13a0.由a121=112，且幂函数y=x12 在0,+) 上单调递增，得0a1.由loga141=logaa，且对数函数y=logax0a1 在0,+ 上单调递减，得0a14.综上所述，0a14.故选D.8. 2024湖北联考已知函数fx=log33x-1+3-12x，若fa-1f2a+1成立，则实数a的取值范围为（ C ）.A. (-,-2B. -,-20,+C. -2,43D. (-,-243,+)解析令gx=log33x+1-12x=log33x2+3-x2,则g
10、x 为偶函数，由定义法得gx 在0,+) 上单调递增，所以fx=log33x-1+3-12x=1+log33x-2+1-12x=log33x-2+1-12x-2=gx-2，所以fx 的图象关于直线x=2 对称，且在2,+) 上单调递增,所以fa-1f2a+1a-1-22a+1-2，两边平方并化简得a+23a-40，解得-2a43.故选C.综合提升练9. 2024邯郸模拟（多选题）已知函数fx=log2x+6+log24-x，则（ AB ）.A. fx的定义域为-6,4B. fx有最大值C. 不等式fx0,4-x0,解得-6x4，即fx 的定义域为-6,4，故A 正确；fx=log2-x2-2x
11、+24，因为y=-x2-2x+24 在-6,-1 上单调递增，在-1,4 上单调递减，y=log2x在0,+ 上单调递增，所以fx 在-6,-1 上单调递增，在-1,4 上单调递减，所以fxmax=f-1=2log25，故B 正确，D错误；因为fx 在-6,-1 上单调递增，在-1,4 上单调递减，且f-4=f2=4，所以不等式fx1，则下列说法正确的是（ ACD ）.A. 函数fx的图象过定点0,0B. 函数fx在0,+上单调递减C. 函数fx在(-12,1)上的最小值为0D. 若对任意的x1,2,fx1恒成立，则实数a的取值范围为1,2解析因为函数y=logaxa0,a1 的图象过定点1,
12、0，所以y=logax+1a1 的图象过定点0,0，故函数fx=logax+1a1 的图象过定点0,0.故A 正确.当x0 时，x+11，函数fx=logax+1=logax+1a1 单调递增，所以函数fx 在0,+ 上单调递增.故B 错误.由复合函数的单调性可知，函数fx=logax+1a1 在-1,0 上单调递减，在0,+ 上单调递增，所以函数fx 在(-12,0)上单调递减，在0,1 上单调递增，最小值f0=0，故函数fx 在(-12,1)上的最小值为0.故C 正确.当x1,2 时，函数fx 单调递增，fx1恒成立，必有fxmin=f1=loga2=loga21，解得a2，所以1a2，故
13、D 正确.故选ACD.11. 已知函数fx=1+log22-x,x1, 2x-1,x1,则ff-2=4.解析因为fx=1+log22-x,x12x-1,x1,所以f-2=1+log24=3，ff-2=f3=23-1=4.12. 已知a=log119，b=log1311，c=log1513，则a,b,c的大小关系是abc .解析因为a-b=log119-log1311=lg 9lg 11-lg 11lg 13=lg 9lg 13-lg 112lg 11lg 13.因为lg 9lg 13lg 9+lg 1322=lg 11722lg 12122=lg 112，所以a-b0，即ab，同理可得,bc.
14、综上所述，abc.应用情境练13. 某公司工人甲生产第x件产品所需的时间fx（单位：h）满足fx=4-logax,0x0且a1，若甲生产第2件产品的时间为3 h，生产第 件产品的时间为2 h，则f3=4-log23 .解析由甲生产第 件产品的时间为2 h，得f=10+1=2，解得=4，则fx=4-logax,0x410x+1,4x8.由甲生产第2件产品的时间为3 h，得f2=4-loga2=3，解得a=2，则fx=4-log2x,0x4, 10x+1,4x8, 则f3=4-log23.14. 已知大气压强p（单位：帕）随高度h（单位：米）的变化满足关系式ln p0-ln p=kh,p0表示海平
15、面的大气压强.（1）设在海拔4000米处的大气压强为p，求在海拔8000米处的大气压强.（结果用p0和p表示）（2）我国的陆地地势可划分为三级阶梯，其平均海拔如表所示：平均海拔/米第一级阶梯H4000 第二级阶梯1000H2000 第三级阶梯H500 若用平均海拔的范围直接代表海拔的范围，设在第二级阶梯某处的压强为p2，在第三级阶梯某处的压强为p3,k=10-4，证明：p2p3e0.18p2.解析（1）设在海拔8000米处的大气压强为p，则ln p0-ln p=4000k, ln p0-ln p=8000k, 所以2lnp0p=lnp0p，解得p=p2p0.（2）设在第二级阶梯某处的海拔为h2
16、，在第三级阶梯某处的海拔为h3，则ln p0-ln p2=10-4h2, ln p0-ln p3=10-4h3, 两式相减可得lnp3p2=10-4h2-h3，因为h2(1000,2000,h3200,1000，所以h2-h3(0,1800，则0lnp3p210-41800=0.18，即1p3p2e0.18，故p2p3e0.18p2.创新拓展练15. 2024南通统考已知函数y=fx的图象既关于点1,1中心对称，又关于直线x+y=0对称.当x0,1时，fx=log2x+1，则flog210的值为175 .解析用C 表示函数y=fx 的图象，对任意的x00,1，令y0=log21+x0，则Px0
17、,y0C，且y00,1.因为函数y=fx 的图象关于点1,1 中心对称，所以P02-x0,2-y0C，即2-y0=f2-x0，且2-x01,2.因为函数y=fx 的图象关于直线x+y=0 对称，所以点P02-x0,2-y0 关于直线x+y=0 对称的点P1y0-2,x0-2C，即x0-2=fy0-2，且y0-2-2,-1.又P1y0-2,x0-2C 关于点1,1 的对称点为P24-y0,4-x0，所以P24-y0,4-x0C，即4-x0=f4-y0,且4-y03,4，由log2103,4，令log210=4-y0，可得y0=4-log210=log285，所以x0=35，所以flog210=f
18、4-log285=f4-log21+35=4-35=175.16. 若存在实数m,n,使得hx=mfx+ngx，则称函数hx为fx,gx的“Tm,n函数”.（1）若hx=ex为fx，gx的“T2,1函数”，其中fx为奇函数，gx为偶函数，求函数fx，gx的解析式.（2）设函数fx=lnex+1，gx=x，是否存在实数m,n,使得hx为fx，gx的“Tm,n函数”，且同时满足：（）hx是偶函数；（）hx的值域为ln 2,+)?若存在，请求出m,n的值；若不存在，请说明理由.解析（1）因为hx=ex 为fx，gx的“T2,1函数”，所以2fx+gx=ex, 所以2f-x+g-x=e-x，因为fx
19、为奇函数，gx为偶函数，所以f-x=-fx，g-x=gx，所以-2fx+gx=e-x, 联立，解得fx=14ex-e-x,gx=12ex+e-x.（2）存在.假设存在实数m,n，使得hx 为fx，gx的“Tm,n函数”，则hx=mfx+ngx=mlnex+1+nx.（）因为hx 是偶函数，所以h-x=hx，即mlne-x+1-nx=mlnex+1+nx，即mln ex+1e-x+1+2nx=0，由ln ex+1e-x+1=ln exex+1ex+1=ln ex=x，可得2n+mx=0，因为2n+mx=0 对任意的xR 成立，所以m=-2n.（）由（）得hx=mlnex+1+nx=-2nlnex+1+nx =nln exex+12=nln 1ex+1ex+2.因为ex+1ex+22ex1ex+2=4，当且仅当ex=1ex，即x=0 时，取等号，所以ln 1ex+1ex+2ln 14=-2ln 2，因为hx 的值域为ln 2,+)，所以n0,且-2nln 2=ln 2，解得n=-12，又因为m=-2n，所以m=1.综上所述，存在m=1,n=-12满足要求.
