1、13.4 13.4 尺规作图尺规作图第第1313章章 全等三角形全等三角形知识点知识点尺规作图尺规作图知知1 1讲讲11.尺尺规作图的定义规作图的定义 我们我们把只能使用把只能使用圆规圆规和和没有刻度的没有刻度的直直尺尺这这两种工具作几何图形的方法称为尺规作图两种工具作几何图形的方法称为尺规作图.知知1 1讲讲特别解读特别解读直尺直尺的的作用：作用：(1)过两点过两点画一条直线画一条直线；(2)将线段将线段向两端向两端延长延长.圆规圆规的作用：以定点的作用：以定点为圆心为圆心、定长为半径画、定长为半径画圆或圆或画弧画弧.作图作图时，也可以使用时，也可以使用带有带有刻度的直尺，但是刻度的直尺，但
2、是不能不能使用它使用它的度量功能的度量功能.几何几何作图问题一般作图问题一般都是都是由若干个基本由若干个基本作图组合作图组合而成的而成的.知知1 1讲讲2.最最基本、最常用的尺规作图，通常称为基本作图基本、最常用的尺规作图，通常称为基本作图.常见的五种基本作图常见的五种基本作图(1)作作一条线段等于已知线段一条线段等于已知线段；(2)作作一个角等于已知角一个角等于已知角；(3)作作已知角的平分线；已知角的平分线；(4)经过经过一已知点作已知直线的垂线；一已知点作已知直线的垂线；(5)作作已知线段的垂直平分线已知线段的垂直平分线.知知1 1练练例 1下列属于尺规作图的下列属于尺规作图的是是()A
3、.用量角器画出用量角器画出AOB的的平分线平分线OCB.已知线段已知线段a，求作线段，求作线段AB，使，使AB2aC.作线段作线段AC3 cmD.平移法作线段平移法作线段AB的的平行线平行线CD解题秘方解题秘方：紧扣尺规作图的工具及常见的五种基本紧扣尺规作图的工具及常见的五种基本作图作图类型类型进行识别进行识别.知知1 1练练解：解：选项选项A中中，用量角器作角的平分线，不是尺规作图；，用量角器作角的平分线，不是尺规作图；选项选项C中中，需要用刻度尺测量，不是尺规作图；选项，需要用刻度尺测量，不是尺规作图；选项D中中，需要需要用到用到的工具是直尺和三角尺，也不是尺规作图；选项的工具是直尺和三角
4、尺，也不是尺规作图；选项B中中，可以通过可以通过使用圆规和没有刻度的直尺来完成，属于使用圆规和没有刻度的直尺来完成，属于尺规作图尺规作图.答案：答案：B知知1 1练练1-1.在下列各项中，在下列各项中，属于属于尺规作图的尺规作图的是是()A.利用三角尺画利用三角尺画45角角B.用直尺和三角尺画用直尺和三角尺画平行线平行线C.用直尺画一工件用直尺画一工件边缘的边缘的垂线垂线D.用圆规在已知直线用圆规在已知直线上截取上截取一条线段等于一条线段等于已知已知线段线段D知知2 2讲讲知识点知识点作一条线段等于已知线段作一条线段等于已知线段2步骤步骤已知：线段已知：线段a.求作：线段求作：线段AB，使，使
5、ABa.作法：作法：(1)作射线作射线AP；(2)在射线在射线AP上截取上截取ABa，则线段则线段AB就是要求作的线段就是要求作的线段.图示图示知知2 2讲讲特别解读特别解读作一条线段等于作一条线段等于已知已知线段，也可以用线段，也可以用度量方法度量方法截取，截取，但由于但由于度量时度量时会有误差，故选择会有误差，故选择尺规尺规作图更精确作图更精确.知知2 2练练如图如图13.4-1，已知线段，已知线段a，b(ab)，求，求作一条线段作一条线段AB，使使AB2(ab).例 2解题秘方解题秘方：运用运用线段的和、差来转化线段之间的线段的和、差来转化线段之间的数量关系数量关系.知知2 2练练解：如
6、图解：如图13.4-2，线段，线段AB即即为所求为所求.作法：作法：(1)作射线作射线OP；(2)在射线在射线OP上顺次截取上顺次截取OMMBa；(3)在线段在线段OB上顺次截取上顺次截取ONNAb，则线段，则线段AB就是就是所求作的线段所求作的线段.知知2 2练练2-1.如如图，已知图，已知线段线段a和和b(ab).求求作：线段作：线段c，使，使cab.知知2 2练练解：如图，线段解：如图，线段BC即为所求作的线段即为所求作的线段c.作法作法：(1)作射线作射线AM；(2)在射线在射线AM上截取线段上截取线段ABa；(3)在线段在线段AB上截取线段上截取线段ACb，则线段，则线段BC就是所求
7、作的就是所求作的线段线段c.知知3 3讲讲知识点知识点作一个角等于已知角作一个角等于已知角3作一个角等于已知角作一个角等于已知角 已知已知AOB(如如图图13.4-3)，求求作作AOB，使使AOBAOB.知知3 3讲讲特别解读特别解读作一个角等于作一个角等于已知角已知角，是利用尺规作一，是利用尺规作一个三角形个三角形与与已知三角形已知三角形全等全等，利用的判定方法，利用的判定方法是是“S.S.S.”，然后利，然后利用用三角形三角形全等的性质全等的性质对应对应角相等，说明作出的角相等，说明作出的角等角等于于已知角已知角.知知3 3讲讲作法：作法：(1)以以点点O为为圆心、任意长为半径圆心、任意长
8、为半径画弧画弧，分别交，分别交OA，OB于于点点C，D(如图如图13.4-3)；知知3 3讲讲(2)画画一条射线一条射线OA，以点，以点O为为圆心圆心、OC长长为半径画弧，为半径画弧，交交OA于于点点C；(3)以以点点C为为圆心、圆心、CD长长为半径画弧为半径画弧，交交前弧于点前弧于点D；(4)过过点点D画画射线射线OB，则，则AOB即即为为所求作的所求作的角角(如如图图13.4-3).知知3 3练练如图如图13.4-4，过点，过点C作作直线直线DE，使，使DEAB.例 3解题秘方解题秘方：通过作一对相等通过作一对相等的内错角来作已知直线的平的内错角来作已知直线的平行线行线.知知3 3练练解：
9、作法如下：解：作法如下：(1)过过点点C作作直线直线MN与与AB相交相交，交点为，交点为F；(2)在在直线直线MN的的右侧作右侧作FCE，使使FCEAFC；(3)反向反向延长射线延长射线CE得到得到射线射线CD，则则直线直线DE即即为为所求所求(如如图图13.4-5).知知3 3练练3-1.如图，已知如图，已知，求，求作作AOB，使，使AOB3.(写写出作法出作法)知知3 3练练解：如图所示解：如图所示作法作法：(1)作射线作射线OA，分别以，分别以的顶点和点的顶点和点O为圆心，以为圆心，以相等的任意长为半径作弧，分别交相等的任意长为半径作弧，分别交的两边于点的两边于点M，N，交交OA于点于点
10、E；知知3 3练练(2)以点以点E为圆心，以线段为圆心，以线段MN的长为半径作弧，两弧交的长为半径作弧，两弧交于于 点点F；(3)过点过点F作射线作射线OC，则，则AOC；(4)同理，以同理，以OC为一边，在为一边，在AOC 的外部，作的外部，作COD，再以，再以OD为一边，在为一边，在AOD的外部，作的外部，作BOD ，则，则AOB3.AOB就是所求作的角就是所求作的角知知4 4讲讲知识点知识点作已知角的平分线作已知角的平分线4尺规作图步骤与图示尺规作图步骤与图示已知：已知：AOB(如如图图13.46).求作：求作：AOB的的平分线平分线.知知4 4讲讲知知4 4讲讲知知4 4练练例 4解题
11、秘方解题秘方：利用尺规作图作两次利用尺规作图作两次角平分线，可将已知角四等分角平分线，可将已知角四等分.知知4 4练练知知4 4练练4-1.已知已知：AOB(如图如图).求求作：作：AOB的补角的的补角的平分线平分线.知知4 4练练解：如图，射线解：如图，射线OD即为所求即为所求作法作法：(1)反向延长射线反向延长射线OB得到射线得到射线OC，则，则AOC就是就是AOB的补角；的补角；知知4 4练练知知5 5讲讲知识点知识点作已知角的平分线作已知角的平分线51.经过已知直线上一点作已知直线的垂线经过已知直线上一点作已知直线的垂线步骤步骤知知5 5讲讲续表：续表：图示图示知知5 5讲讲2.经过已
12、知直线外一点作已知直线的垂线经过已知直线外一点作已知直线的垂线步骤步骤知知5 5讲讲续表：续表：图示图示知知5 5讲讲特别解读特别解读1.过已知直线上一点过已知直线上一点作已知作已知直线的垂线，直线的垂线，实质实质是作一个平是作一个平角的角的平分平分线，并反向延长线，并反向延长.2.过已知直线外一点过已知直线外一点作已知作已知直线的垂线，直线的垂线，实质实质是作等腰三是作等腰三角形角形顶角顶角的平分线的平分线.知知5 5练练如图如图13.4-8，已知直角三角形，已知直角三角形ABC，C90，试，试利用尺规作图作出斜边利用尺规作图作出斜边AB上上的高的高.解题秘方解题秘方：紧扣紧扣“经过已知直线
13、经过已知直线外一点外一点作作已知已知直线的垂线直线的垂线”的步的步骤，将作高转化为作垂线骤，将作高转化为作垂线.例 5知知5 5练练知知5 5练练5-1.如图，已知：点如图，已知：点P和和直线直线l，求作：点，求作：点P关于关于直线直线l的的对对称点称点P.知知5 5练练解：如图所示解：如图所示作法作法：(1)过点过点P作直线作直线l的垂线，垂足为的垂线，垂足为O；(2)在直线在直线PO上上截取线段截取线段OPOP，则点，则点P就是点就是点P关于直线关于直线l的对称点的对称点知知6 6讲讲知识点知识点作已知线段的垂直平分线作已知线段的垂直平分线6步骤步骤知知6 6讲讲续表：续表：图示图示知知6
14、 6讲讲特别解读特别解读作线段的作线段的垂直平分线垂直平分线时，一定要注意两点时，一定要注意两点：一：一是画弧的半径要是画弧的半径要大于线段大于线段长的一半；二是长的一半；二是线段线段的垂的垂直平分线是一直平分线是一条直线条直线.知知6 6练练如图如图13.4-10，已知线段，已知线段AB和和直线直线l，试在，试在l上上找一点找一点P，使得使得点点P在在线段线段AB的的垂直平分线上垂直平分线上.例 6解题秘方解题秘方：利用作线段的垂直平利用作线段的垂直平分线的步骤找线段的分线的步骤找线段的垂直平分线垂直平分线与直线与直线l的的交点交点.知知6 6练练知知6 6练练6-1.如图，如图，ABC是等腰是等腰直角三角形，直角三角形，且且C90.作作AB边的垂直平分线边的垂直平分线DE，使其，使其与与AB边边交于点交于点D，并，并写写出图出图中的相等线段中的相等线段.知知6 6练练尺规作图尺规作图尺尺规规作作图图工具工具没有刻度的没有刻度的直尺、圆规直尺、圆规作线段作线段作角作角作角的平分线作角的平分线作垂线作垂线作线段的垂直平分线作线段的垂直平分线
