1、14.1 14.1 勾股定理勾股定理第第1414章章 勾股定理勾股定理14.1.2 14.1.2 直角三角形的判定、反证法直角三角形的判定、反证法知识点知识点勾股定理的逆定理勾股定理的逆定理知知1 1讲讲11.勾股定理勾股定理的逆定理的逆定理如果三角形的三边长如果三角形的三边长a，b，c有关系有关系a2b2c2，那，那么么这个这个三角形是直角三角形，且边三角形是直角三角形，且边c所所对的角为直角对的角为直角.知知1 1讲讲特别提醒特别提醒勾股定理勾股定理的逆定理的逆定理是判定是判定直角三角形的直角三角形的一个一个依据，在判依据，在判定时定时不能不能说说“在直角三角形中在直角三角形中”“直角边直
2、角边”“”“斜边斜边”，因为因为还没有确定是还没有确定是直角三角形直角三角形.a2b2c2只是只是一种一种表现表现形式，满足形式，满足a2b2c2或或b2a2c2的的也是也是直角三角形直角三角形，只是这时，只是这时a或或b为为斜边斜边.知知1 1讲讲2.利用边的关系判定直角三角形的步骤利用边的关系判定直角三角形的步骤(1)“找找”：找出三角形三边中的最长边；：找出三角形三边中的最长边；(2)“算算”：计算其他两边的平方和与最长边的平方；：计算其他两边的平方和与最长边的平方；(3)“判判”：若两者相等，则这个三角形是直角三角形：若两者相等，则这个三角形是直角三角形，否则否则不是不是.知知1 1讲
3、讲3.拓展拓展当两短边的平方和大于最长边的平方时，该三角形当两短边的平方和大于最长边的平方时，该三角形为为锐角三角形锐角三角形；当两短边的平方和小于最长边的平方时，；当两短边的平方和小于最长边的平方时，该该三角形三角形为钝角三角形为钝角三角形.知知1 1练练例 1判断满足下列条件的三角形是不是直角三角形：判断满足下列条件的三角形是不是直角三角形：(1)在在ABC中中，A25，C65；(2)在在ABC中中，AC12，AB20，BC16；(3)一一个三角形的三边长个三角形的三边长a，b，c满足满足a b c3 4 5.解题秘方解题秘方：紧扣紧扣“直角三角形的定义直角三角形的定义”和和“勾股定勾股定
4、理的逆定理理的逆定理”进行进行判断判断.知知1 1练练解：解：(1)在在ABC中中，ABC180，A2 5，C65，B180256590.ABC是是直角三角形直角三角形.(2)在在ABC中，中，AC2BC2122162202AB2，ABC是是直角三角形直角三角形.(3)设设a3x，则，则b4x，c5x.易得易得(3x)2(4x)2(5x)2，即，即a2b2c2，ABC是是直角三角形直角三角形.遇比例用参数法遇比例用参数法.知知1 1练练方法点拨方法点拨：判定判定直角三角形的方法：直角三角形的方法：1.如果已知条件与角度有关，可求出其中一个角是直角如果已知条件与角度有关，可求出其中一个角是直角，
5、或者或者证明其中一个角等于已知的直角，得到直角三角形证明其中一个角等于已知的直角，得到直角三角形.2.如果已知条件与边有关，可通过计算推导出三角形三如果已知条件与边有关，可通过计算推导出三角形三边边长长的数量的数量关系关系即即a2b2c2(c为为最长最长边边)，得到直角三角形得到直角三角形.知知1 1练练1-1.有五根小木棒有五根小木棒，其，其长度分别为长度分别为7，15，20，24，25，现将它们现将它们摆成摆成各选项所示的两个各选项所示的两个直角三角形直角三角形，其中正，其中正确确的是的是()C知知1 1练练D知知2 2讲讲知识点知识点勾股数勾股数21.勾股数勾股数 能够能够成为直角三角形
6、三条边长的三个成为直角三角形三条边长的三个正整数正整数，称为勾称为勾股数股数.勾股数必须勾股数必须同时满足同时满足两个两个条件：条件：(1)三三个个数都是数都是正整数；正整数；(2)两两个较小数的平方和等于最大数的个较小数的平方和等于最大数的平方平方.知知2 2讲讲2.判别判别一组数是不是勾股数的一般步骤一组数是不是勾股数的一般步骤(1)“看看”：看是不是三个正整数；：看是不是三个正整数；(2)“找找”：找最大数；：找最大数；(3)“算算”：计算最大数的平方与两个较小数的平方和；：计算最大数的平方与两个较小数的平方和；(4)“判判”：若两者相等，则这三个数是一组勾股数，否：若两者相等，则这三个
7、数是一组勾股数，否则则不是一不是一组勾股数组勾股数.知知2 2讲讲特别提醒特别提醒1.勾股数有无数组勾股数有无数组.2.一组勾股数中的各一组勾股数中的各数都数都乘相同的正整数乘相同的正整数可以可以得到一组新得到一组新的勾的勾股数股数：如：如3，4，5是是勾勾股数股数，则，则6，8，10和和9，12，15也也是勾股数，是勾股数，即如果即如果a，b，c是是一组一组勾股勾股数，那么数，那么na，nb，nc(n为正整数为正整数)也也是是一组一组勾股数勾股数.知知2 2练练下面四组数中是勾股数的一组下面四组数中是勾股数的一组是是()A.6，7，8 B.5，8，13C.1.5，2，2.5 D.21，28，
8、35例 2解题秘方解题秘方：紧扣紧扣“勾股数定义中的两个条件勾股数定义中的两个条件”进行判断进行判断.解：解：根据勾股数的定义：满足根据勾股数的定义：满足a2b2c2的的三个正整数三个正整数a，b，c称为称为勾股数，可知勾股数，可知D选项选项成立成立.D知知2 2练练2-1.下列各组数中，下列各组数中，是勾是勾股数的股数的是是()A.3，4，7B.0.5，1.2，1.3C.6，8，10D.32，42，52C知知3 3讲讲知识点知识点反证法反证法31.定义定义 反证法反证法是一种论证方式，首先假设命题的结论的是一种论证方式，首先假设命题的结论的反面反面是正确的，然后推理出明显矛盾的结果，从而下结
9、是正确的，然后推理出明显矛盾的结果，从而下结论说论说假设假设不成立，原命题得证不成立，原命题得证.知知3 3讲讲2.反证法证明命题的一般反证法证明命题的一般步骤步骤 反设反设归谬归谬结论，结论，即：即：(1)假设假设命题的结论的反面是正确的；命题的结论的反面是正确的；(2)从这个从这个假设出发，通过演绎推理，推出与假设出发，通过演绎推理，推出与基本事实基本事实、已证的定理、定义或已知条件相矛盾；已证的定理、定义或已知条件相矛盾；(3)由由矛盾判定假设不正确，从而得出原命题成立矛盾判定假设不正确，从而得出原命题成立.知知3 3讲讲特别提醒特别提醒1.若结论的反面只有若结论的反面只有一种一种情况，
10、则反设单一情况，则反设单一，只需，只需驳倒这驳倒这种情况种情况，即，即可达到反证的目的可达到反证的目的.2.若结论的反面不止若结论的反面不止一种一种情况，那么要把情况，那么要把各种各种情况一一驳情况一一驳倒，倒，才能才能证明原结论正确证明原结论正确.知知3 3练练用反证法证明：一个三角形中不能有两个角是直角用反证法证明：一个三角形中不能有两个角是直角.例 3解题秘方解题秘方：紧扣反证法证明命题的一般步骤进行紧扣反证法证明命题的一般步骤进行证明证明.知知3 3练练解：已知：解：已知：A，B，C是是ABC的的三个内角三个内角.求证求证：A，B，C中中不能有两个角是直角不能有两个角是直角.证明：假设
11、证明：假设A，B，C中中有两个角是直角有两个角是直角.不妨设不妨设BC90.ABCA9090A180 180.这这与与“三角形的内角和是三角形的内角和是 180”相矛盾相矛盾.假设不成立，即一个三角形中不能有两个角是直角假设不成立，即一个三角形中不能有两个角是直角.知知3 3练练3-1.已已 知：在知：在ABC中中，ABAC.求证：求证：B，C都是都是锐角锐角.(用反证法证明用反证法证明)知知3 3练练证明：假设证明：假设B，C不都是锐角不都是锐角ABAC，BC.B和和C不可能一个是锐角，另一个是直角或钝不可能一个是锐角，另一个是直角或钝角角B，C都是直角或钝角都是直角或钝角BC9090，即，即BC180.ABC180.该结论与该结论与“三角形的内角和等于三角形的内角和等于180”相矛盾相矛盾假设不假设不成立，即成立，即B，C都是锐角都是锐角直角三角形的判定、反证法直角三角形的判定、反证法勾股定理勾股定理的逆定理的逆定理论证论证反证法反证法作用作用勾股数勾股数判定直角判定直角
