1、13.5 13.5 逆命题与逆定理逆命题与逆定理第第1313章章 全等三角形全等三角形13.5.3 13.5.3 角平分线角平分线知识点知识点角平分线的性质定理角平分线的性质定理知知1 1讲讲11.性质定理性质定理 角平分线角平分线上的点到角两边的距离相等上的点到角两边的距离相等.角平分线的性质的两个必要条件：角平分线的性质的两个必要条件：(1)点点在角平分线上；在角平分线上；(2)这个这个点到角两边的距离即点到角两边的垂线段的长度点到角两边的距离即点到角两边的垂线段的长度.知知1 1讲讲2.几何语言几何语言 如如图图13.5-12，OC平分平分AOB，P是是OC上上一点，一点，PDOA于于点
2、点D，PEOB于于点点E，PDPE.知知1 1讲讲特别提醒特别提醒1.角平分线的性质角平分线的性质是由是由两个两个条件条件(角平分线角平分线，垂线，垂线段段)得到得到一一个结论个结论(线段相等线段相等).2.利用角平分线的利用角平分线的性质证明性质证明线段相等时，线段相等时，证明证明的线段是的线段是“垂直垂直于角于角两边的线段两边的线段”而而不是不是“垂直于垂直于角平分线的角平分线的线段线段”.知知1 1练练例 1如图如图13.5-13，OD平分平分EOF，在，在OE，OF上上分别取分别取点点A，B，使，使OAOB，P为为OD上上一点，一点，PMBD，PNAD，垂足分别垂足分别为为M，N.求证
3、：求证：PMPN.知知1 1练练解题秘方：解题秘方：在图中找出符合角平分线的在图中找出符合角平分线的性质性质的模的模型，利用角平分线的性质证线段相等型，利用角平分线的性质证线段相等.知知1 1练练知知1 1练练1-1.如图，如图，AD是是BAC的的平分线，平分线，DEAB，交，交AB的的延长延长线于点线于点E，DFAC于于点点F，且且DBDC.求证：求证：BECF.知知1 1练练知知1 1练练如图如图13.5-14，在，在ABC中中，C90，ACBC，AD平分平分CAB，交，交BC于于点点D，DEAB，垂足为，垂足为E.若若AB10 cm，求求DEB的的周长周长.例 2知知1 1练练解题秘方解
4、题秘方：运用角平分线的性质及全等三角形的运用角平分线的性质及全等三角形的判定与性质判定与性质，将，将DEB的的周长转化为线段周长转化为线段AB的的长长.知知1 1练练知知1 1练练解法解法提醒提醒：求三角形的周长时，若三角形各边的长求三角形的周长时，若三角形各边的长不易求解不易求解，可，可考虑找出题中的相等线段进行等量替考虑找出题中的相等线段进行等量替换，而角平分线的换，而角平分线的性质能性质能起到等量替换的作用，使起到等量替换的作用，使三角形的周长等于一条线段长，三角形的周长等于一条线段长，从而从而整体求出整体求出.知知1 1练练2-1.如图，在如图，在ABC中中，C90，AD平分平分BAC
5、，DEAB于于点点E.有有下列结论：下列结论：CDED；ACBEAB；BDEBAC；DA平分平分CDE.其中正确结论的其中正确结论的个数是个数是()A.1 B.2C.3 D.4D知知1 1练练例 3如图如图13.5-15，BD是是ABC的的角平分线，角平分线，DEAB于于点点E，SABC90 cm2，AB18 cm，BC12 cm，求，求DE的的长长.解题秘方解题秘方：紧扣总面积等于各部分面紧扣总面积等于各部分面积的和求解积的和求解.知知1 1练练知知1 1练练3-1.中考中考北京北京如图如图，在，在ABC中中，AD平分平分BAC，DEAB.若若AC2，DE1，则，则SACD_.1知知2 2讲
6、讲知识点知识点角平分线的判定定理角平分线的判定定理21.判定判定定理定理 角角的的内部内部到角两边到角两边距离距离相等的点在角的平分相等的点在角的平分线上线上.2.几何语言几何语言 如如图图13.5-16所所示示.点点P为为AOB内内一点，一点，PDOA，PEOB，垂足分别为，垂足分别为D，E，且，且PDPE，点点P在在AOB的的平分线平分线OC上上.知知2 2讲讲3.角平分线的判定定理与性质定理的关系角平分线的判定定理与性质定理的关系(1)如如图图13.5-16，都与点到角两边的距离有关，都与点到角两边的距离有关，即即条件条件PDOA，PEOB都都具备；具备；(2)点点在角平分线在角平分线上
7、上 (角角的内部的内部的的)点点到到角两边的角两边的距离相等距离相等.知知2 2讲讲特别提醒特别提醒1.使用该判定定理的使用该判定定理的前提前提是这个点必须在是这个点必须在角的角的内部内部.2.角平分线的判定是角平分线的判定是由两由两个个条件条件(垂直垂直，线段相等线段相等)得到得到一一个个结论结论(角平分线角平分线).3.角平分线的判定角平分线的判定定理是定理是证明两角相等的证明两角相等的重要重要依据，它比依据，它比利用利用三角形三角形全等证两角全等证两角相等更相等更方便快捷方便快捷.知知2 2练练如图如图13.5-17，BECF，BFAC于点于点F，CEAB于于点点E，BF和和CE交交于点
8、于点D.求证：求证：AD平分平分BAC.例 4解题秘方解题秘方：利用角平分线的判定利用角平分线的判定定理证明角平分线时，紧定理证明角平分线时，紧扣点扣点在在角的内部且点到角两边的距离相角的内部且点到角两边的距离相等进行证明等进行证明.知知2 2练练知知2 2练练方法点拨：方法点拨：证明角平分线的方法思路：证明角平分线的方法思路：1.证明被角平分线分成的两个角相等证明被角平分线分成的两个角相等.2.证明角的内部的点到角两边的距离相等，即只需从要证证明角的内部的点到角两边的距离相等，即只需从要证的线的线上的某一点向角的两边作垂线段，再证明垂线段相等上的某一点向角的两边作垂线段，再证明垂线段相等即可
9、即可这样这样就把证就把证“某线是角的平分线某线是角的平分线”的问题转化为证的问题转化为证“垂线段相等垂线段相等”的问题，体现了的问题，体现了转化思想转化思想.知知2 2练练4-1.如图，如图，在在ABC中，中，BDAC于于点点D，CEAB于于点点E，且且BOCO.求证求证：AO平分平分BAC.知知2 2练练知知2 2练练4-2.如如图，图，D，E，F分别分别是是ABC三三边上边上的点的点，CEBF，DCE和和DBF的的面积相等面积相等.求证求证：AD平分平分BAC.知知2 2练练知知3 3讲讲知识点知识点三角形的角平分线的三角形的角平分线的性质性质(拓展点拓展点)31.性质性质定理定理 三角形
10、三角形的三条角平分线交于一点，并且这一的三条角平分线交于一点，并且这一点点到三到三条边的距离相等条边的距离相等.这一点叫三角形的内心这一点叫三角形的内心.知知3 3讲讲2.几何语言几何语言 如如图图13.5-18，在，在ABC中，中，AD，BM，CN 分别是分别是BAC，ABC，ACB的的平分线平分线，AD，BM，CN交交于于一点一点O，且，且点点O到到三三边边 BC，AB，AC的距离的距离(OE，OG，OF的长的长)相等相等，即即OEOGOF.知知3 3讲讲要点解读要点解读三角形的三条三角形的三条角平分线角平分线相交于三角形内相交于三角形内一点一点，且该点，且该点到三角形到三角形三边三边的距
11、离相等的距离相等.反之，反之，三角形三角形内部到三边距离内部到三边距离相等相等的点是三角形三条的点是三角形三条角平分线角平分线的交点的交点.知知3 3练练如如图图13.5-19，在，在ABC中中，点点O是是ABC，ACB 的平分的平分线的交点，线的交点，ABBCAC20.过过O作作OD BC于点于点D，且且OD3，求，求ABC的的面积面积.例 5解题解题秘方秘方：紧紧扣三角形的角平分扣三角形的角平分线线的的性质解题性质解题.知知3 3练练知知3 3练练5-1.如图，有一块如图，有一块三角形三角形的的空地空地ABC，其三边长其三边长AB，AC，BC分别为分别为30 m，40 m，50 m.现要把
12、它分成现要把它分成面积面积比为比为 3 4 5的三部分的三部分种植三种不同种植三种不同的花的花，请你设计一种，请你设计一种方方案案，并简要说明理由，并简要说明理由.知知3 3练练解：方案如图所示解：方案如图所示(方案不唯一方案不唯一)分别分别作作ABC和和ACB的平分线，两线交于点的平分线，两线交于点P，连结连结 AP，则，则ABP，ACP，BCP即为所求的三块地即为所求的三块地知知3 3练练理由理由：易知：易知P为为ABC的三个内角平分线的交点的三个内角平分线的交点，点点P到到AB，AC，BC的距离均相等的距离均相等ABP，ACP，BCP的面积比即为它们的底边的面积比即为它们的底边AB，AC，BC的长度的比的长度的比即即ABP，ACP，BCP的面积比为的面积比为345.角平分线角平分线角平角平分线分线三角形的三角形的角平分线角平分线性质性质判定判定
