1、14.1 14.1 勾股定理勾股定理第第1414章章 勾股定理勾股定理14.1.1 14.1.1 直角三角形三边的关系直角三角形三边的关系知识点知识点正方形的定义正方形的定义知知1 1讲讲11.勾股定理勾股定理 直角三角形直角三角形两直角边的平方和等于斜边两直角边的平方和等于斜边的的 平方平方.几何语言：在几何语言：在RtABC中中，C90，ABc，ACb，BCa，则，则a2b2c2.知知1 1讲讲2.基本基本思想方法思想方法 勾股定理勾股定理把把“形形”与与“数数”有机地结合有机地结合起来起来，即，即把直角三角形这个把直角三角形这个“形形”与三边关系这一与三边关系这一“数数”结合起来结合起来
2、，它，它是是数形结合思想数形结合思想的典范的典范.知知1 1讲讲特别提醒特别提醒1.勾股定理揭示的是勾股定理揭示的是直角三角形直角三角形的三边的的三边的平方平方关系，只有关系，只有在在直角三角形直角三角形中才可以使用中才可以使用勾股定理勾股定理.2.利用勾股定理，已知利用勾股定理，已知直角三角形直角三角形的其中的其中任意两边任意两边可以求可以求出第三边出第三边.3.运用勾股定理求解时运用勾股定理求解时，若，若分不清哪条边是分不清哪条边是斜边斜边，则要分，则要分类讨论类讨论，写出，写出所有可能的情况所有可能的情况，以免，以免漏解或错解漏解或错解.知知1 1练练例 1在在RtABC中中，A，B，C
3、的对边的对边分别为分别为a，b，c，C90.(1)已知已知a3，b4，求，求c；(2)已知已知c13，a12，求，求b；(3)已知已知a b2 1，c5，求，求b(结果结果保留保留根号根号).解题秘方解题秘方：紧扣紧扣“勾股定理的特征勾股定理的特征”解答解答.知知1 1练练知知1 1练练1-1.在在RtABC中，中，C90，A，B，C的的对边对边分别为分别为a，b，c.(1)若若a b3 4，c75，求，求a，b；解解：设：设a3x(x0)，则，则b4x.由由勾股定理得勾股定理得a2b2c2，则则(3x)2(4x)2752，解得，解得x15.a31545，b41560.知知1 1练练(2)若若
4、ca4，b16，求，求a，c.知知1 1练练已知直角三角形两边的长分别是已知直角三角形两边的长分别是6和和8，则第三边的长，则第三边的长为为_.例 2解题秘方解题秘方：紧扣紧扣“所求第三边可能是斜边或直角边所求第三边可能是斜边或直角边”进行进行分类分类解答解答.知知1 1练练2-1.若直角三角形的若直角三角形的三边长三边长分别为分别为2，4，x，则，则x的的值可能值可能有有()A.1个个 B.2个个C.3个个 D.4个个B知知2 2讲讲知识点知识点勾股定理的证明勾股定理的证明21.常用常用证法证法 验证验证勾股定理的方法有很多，如测量法、几勾股定理的方法有很多，如测量法、几何何证明证明法等，但
5、最常用的是通过拼图，构造特殊图形，法等，但最常用的是通过拼图，构造特殊图形，并根据并根据拼图拼图中各部分面积之间的关系来验证中各部分面积之间的关系来验证.知知2 2讲讲特别提醒特别提醒通过拼图证明通过拼图证明命题的命题的思路：思路：1.图形经过割补拼接后图形经过割补拼接后，只要，只要没有重叠、没有没有重叠、没有空隙空隙，面积，面积就不会改变；就不会改变；2.根据同一种图形的根据同一种图形的面积面积的不同表示方法的不同表示方法列出列出等式；等式；3.利用等式的性质利用等式的性质验证结论验证结论成立成立.即拼出图形即拼出图形写出图形写出图形面积的表达式面积的表达式找出找出等量关系等量关系恒等恒等变
6、形变形证明命题结论证明命题结论.知知2 2讲讲2.著名证法举例著名证法举例方法方法图形图形证明证明赵爽的赵爽的“赵赵爽弦图爽弦图”知知2 2讲讲续表：续表：方法方法图形图形证明证明刘徽的刘徽的“青青朱出入图朱出入图”设大正方形的面积为设大正方形的面积为S，则，则Sc2.根据根据“出入相补，出入相补，以盈补虚以盈补虚”的原理，有的原理，有Sa2b2，a2b2c2知知2 2讲讲方法方法图形图形证明证明加菲尔德总加菲尔德总统拼图统拼图续表：续表：知知2 2讲讲方法方法图形图形证明证明毕达哥拉斯毕达哥拉斯拼图拼图续表：续表：知知2 2练练一个直立的火柴盒在桌面上倒下，启发人们发现了一个直立的火柴盒在桌
7、面上倒下，启发人们发现了勾股定理勾股定理的一种验证方法的一种验证方法.如图如图14.1-1，火柴盒的一，火柴盒的一个侧面个侧面ABCD倒下倒下后到四边形后到四边形ABCD的位置，连结的位置，连结AC，AC，CC，设，设ABa，BCb，ACc.请利用四边形请利用四边形BCCD的的面积面积验证勾股定理：验证勾股定理：a2b2c2.例 3知知2 2练练解题秘方解题秘方：紧紧扣扣“总体面积等于各部分面积之和总体面积等于各部分面积之和”进行验证进行验证.知知2 2练练知知2 2练练整个图形的面积等于整个图形的面积等于不重叠不重叠、无空、无空隙的各隙的各组成部分组成部分的面积的和的面积的和.知知2 2练练
8、方法点拨方法点拨：通过拼图，利用求面积来验证，这种通过拼图，利用求面积来验证，这种方法以数方法以数形转换形转换为指导思想，以图形拼补为手段，为指导思想，以图形拼补为手段，以各部分面积之间的以各部分面积之间的关系关系为依据而达到目的为依据而达到目的.知知2 2练练3-1.如图，写出如图，写出字母所字母所代表的正方形的代表的正方形的面积面积：SA_，SB_.625144知知2 2练练3-2.(1)观察观察图图、并填写下并填写下表表(图中每个图中每个小方格的边长小方格的边长均为均为1).16A的的面积面积B的的面积面积C的的面积面积图图图图9254913知知2 2练练(2)三三个正方形个正方形A，B
9、，C的的面积之间面积之间有什么有什么关系？关系？(3)三三个正方形个正方形围成围成的一个的一个直角三角形的直角三角形的三边长之间存在三边长之间存在什什么么关系？关系？解：解：三三个正方形个正方形A，B，C的面积之间的关系为的面积之间的关系为SASBSC.三三个正方形围成的一个直角三角形的三边长之间的关系：个正方形围成的一个直角三角形的三边长之间的关系：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方直角三角形三边的关系直角三角形三边的关系勾股定理勾股定理验证验证拼图法拼图法面积法面积法条件条件直角三角形直角三角形结论结论三边平方关系三边平方关系应用应用几何应用几何应用实际应用实际应用
