1、13.2 13.2 三角形全等的判定三角形全等的判定第第1313章章 全等三角形全等三角形13.2.2 13.2.2 全等全等 三角形的判定条件三角形的判定条件知识点知识点边角边边角边知知1 1讲讲1知知1 1讲讲特别提醒特别提醒在列举两个在列举两个三角形全三角形全等的条件时，应把等的条件时，应把三个三个条件按条件按顺序排列顺序排列(一般一般是把同一个三角形是把同一个三角形的三的三个条件放在等号的个条件放在等号的同一侧同一侧)并用并用大括号将大括号将其括其括起来起来.知知1 1练练例 1如图如图13.2-13，点，点C是是AB的的中点，中点，ADCE，且且AD CE.求证：求证：ACD CBE
2、.解题秘方解题秘方：根据条件找出两根据条件找出两个三角形中的两条边及其个三角形中的两条边及其夹夹角对应角对应相等，根据相等，根据“S.A.S.”判定两个三角形全等判定两个三角形全等.知知1 1练练知知1 1练练方法提醒方法提醒：证明两个三角形全等，既要注意全证明两个三角形全等，既要注意全等的书写形式等的书写形式，又要，又要注意未知元素在证明全等注意未知元素在证明全等时必须先做好推理时必须先做好推理.知知1 1练练1-1.如图是一个如图是一个测量工件测量工件内槽宽的工具，内槽宽的工具，点点O既是既是AA的中的中点，点，也是也是BB的的中点，若测中点，若测得得AB3.5 cm，则该内，则该内槽槽A
3、B的宽的宽为为_cm.3.5知知2 2讲讲知识点知识点角边角角边角2知知2 2讲讲特别解读特别解读1.相等的元素相等的元素：两角及：两角及两角两角的夹边的夹边.2.书写顺序书写顺序：角：角边边角角.3.夹边即两个角的夹边即两个角的公共公共边边.知知2 2练练如图如图13.2-15，已知点，已知点C，E在在线段线段BF上上，ABDF，ACDE，BCFE.求证：求证：ABC DFE.例 2解题秘方解题秘方：解题的关键是由解题的关键是由两组平行线得出两组角对应两组平行线得出两组角对应相等相等，构造两角及其夹边对，构造两角及其夹边对应相等应相等.知知2 2练练知知2 2练练2-1.如图，点如图，点C在
4、线段在线段BD上上，在，在ABC和和DEC中中，AD，ABDE，BE求证求证：ACDC知知3 3讲讲知识点知识点角角边角角边3知知3 3讲讲3.“A.S.A.”与与“A.A.S.”的区别与联系的区别与联系“S”的意义的意义书写格式书写格式联系联系A.S.A.“S”是两角的是两角的夹边夹边把夹边相等写把夹边相等写在两角相等的在两角相等的中间中间由三角形内角由三角形内角和定理可知，和定理可知，“A.A.S.”可可由由“A.S.A.”推推导得出导得出A.A.S.“S”是其中一是其中一角的对边角的对边把两角相等写把两角相等写在一起，边相在一起，边相等放在最后等放在最后知知3 3讲讲特别解读特别解读1.
5、判定两个三角形全判定两个三角形全等的等的三个条件中，三个条件中，“边边”是是必不必不可少的可少的.2.由于由于“角角边角角边”和和“角边角角边角”是可以互相是可以互相转化转化的，的，故能用故能用“角角边角角边”证明证明的问题，一般的问题，一般也可以也可以用用“角角边角边角”证明证明.知知3 3练练如图如图13.2-17，点，点A，B，C，D在在同一条直线上同一条直线上，点，点E，F分别分别在直线在直线AB的的两侧，且两侧，且AEBF，AB，ACEBDF.例 3知知3 3练练解题秘方解题秘方：找出两个三角形中两个角找出两个三角形中两个角及其中及其中一角一角的对边对应相等，利用的对边对应相等，利用
6、“A.A.S.”判定判定两个三角形两个三角形全等，再根据全等三角形的性质求线段长全等，再根据全等三角形的性质求线段长.知知3 3练练(1)求证求证：ACE BDF；(2)若若AB8，AC2，求，求CD的的长长解：解：ACE BDF，AC2，BDAC2又又AB8，CDABACBD4知知3 3练练3-1.中考中考乐山乐山如图如图，AB和和CD相交相交于于点点O，AC/BD，点，点O为为AB的的中点，求证：中点，求证：ACBD.知知3 3练练知知4 4讲讲知识点知识点边边边边边边4知知4 4讲讲特别解读特别解读在两个三角形的在两个三角形的六个元素六个元素(三三条边和三个条边和三个角角)中中，由已，由
7、已知的三个元素知的三个元素可判定可判定两个三角形全等两个三角形全等的组合的组合有有4个个：“S.S.S“”.S.A.S.”“A.S.A.”和和“A.A.S.”，不能不能判定两个三判定两个三角形全角形全等的等的组合是组合是“A.A.A.”和和“S.S.A.”.知知4 4练练如图如图13.2-19，C是是BD的的中点，中点，ABED，ACEC.求证：求证：ABC EDC例 4知知4 4练练解题秘方解题秘方：紧扣紧扣“S.S.S.”找出两找出两个三角形个三角形中三边对应相等中三边对应相等的条件来的条件来判定两判定两个三角形全等个三角形全等.知知4 4练练4-1.如图，在如图，在四边形四边形ABCD中
8、中，ABCD，ADCB，连结，连结AC.求证求证：ABC CDA.知知5 5讲讲知识点知识点斜边直角边斜边直角边5知知5 5讲讲3.判定两个三角形全等常用的思路方法如下表判定两个三角形全等常用的思路方法如下表已知对应已知对应相等的元素相等的元素可选择的可选择的判定方法判定方法需寻找的条件需寻找的条件锐角锐角三角三角形或形或钝角钝角三角三角形形两边两边(SS)S.S.S.或或S.A.S.可证第三边对应相等或可证第三边对应相等或证两边的夹角对应相等证两边的夹角对应相等一边及其邻一边及其邻角角(SA)S.A.S.或或A.S.A.或或A.A.S.可证已知角的另一邻边可证已知角的另一邻边对应相等或证已知
9、边的对应相等或证已知边的另一邻角对应相等或证另一邻角对应相等或证已知边的对角对应相等已知边的对角对应相等知知5 5讲讲续表：续表：已知对应已知对应相等的元素相等的元素可选择的可选择的判定方法判定方法需寻找的条件需寻找的条件锐角锐角三角三角形或形或钝角钝角三角三角形形一边及其对一边及其对角角(SA)A.A.S.可证另一角对应相等可证另一角对应相等两角两角(AA)A.S.A.或或A.A.S.可证两角的夹边对应相可证两角的夹边对应相等或证其中一已知角的等或证其中一已知角的对边对应相等对边对应相等知知5 5讲讲续表：续表：已知对应已知对应相等的元素相等的元素可选择的可选择的判定方法判定方法需寻找的条件
10、需寻找的条件直直角角三三角角形形一锐角一锐角(A)A.S.A.或或A.A.S.可证直角与已知锐角的夹可证直角与已知锐角的夹边对应相等或锐角边对应相等或锐角(或直角或直角)的对边对应相等的对边对应相等斜边斜边(H)H.L.或或A.A.S.可证一条直角边对应相等可证一条直角边对应相等或证一锐角对应相等或证一锐角对应相等知知5 5讲讲续表：续表：已知对应已知对应相等的元素相等的元素可选择的可选择的判定方法判定方法需寻找的条件需寻找的条件直直角角三三角角形形一直角边一直角边(L)H.L.或或S.A.S.或或A.S.A.或或A.A.S.可证斜边对应相等或证另可证斜边对应相等或证另一直角边对应相等或证与一
11、直角边对应相等或证与已知边相邻的锐角对应相已知边相邻的锐角对应相等或证已知边所对的锐角等或证已知边所对的锐角对应相等对应相等知知5 5讲讲特别提醒特别提醒1.应用应用“H.L.”判定两判定两个直角三角形个直角三角形全等，在全等，在书写书写时两个三角形时两个三角形符号前符号前一定要加上一定要加上“Rt”.2.判定两个判定两个直角三角形全直角三角形全等的特殊等的特殊方法方法(“H.L.”)，只适用于只适用于直直角三角形角三角形全等的判定全等的判定，对于，对于一般三角形一般三角形不适用不适用.3.判定一般三角形全判定一般三角形全等的等的所有方法对判定所有方法对判定两个直角三角形全两个直角三角形全等等
12、同样同样适用适用.4.在用一般方法证明在用一般方法证明直角三角形直角三角形全等时，全等时，因为因为两个直角三角形两个直角三角形中已中已具备一对直角具备一对直角相等的相等的条件，故只需找条件，故只需找另外另外两个条件即可两个条件即可.知知5 5练练如图如图13.2-21，ACBC，ADBD，ADBC，CE AB，DFAB，垂足分别是点，垂足分别是点E，F.求证求证：CEDF.例 5解题秘方解题秘方：利用利用“H.L.”证明证明两个两个直角三角形直角三角形全等，为证明全等，为证明两条线段相等创造条件两条线段相等创造条件.知知5 5练练知知5 5练练5-1.如图是乐乐如图是乐乐荡秋千荡秋千的侧面示意
13、图，的侧面示意图，静止时静止时秋千位于铅秋千位于铅垂线垂线BD上上(BDDE)，转轴，转轴B到到地面的距离地面的距离BD2.5 m.乐乐在荡秋千乐乐在荡秋千的过程的过程中，中，当秋千当秋千摆动到摆动到最高点最高点A时时，测测得点得点A到到BD的的距离距离AC1.5 m(ACBD于点于点C)，当当他从他从A处摆动到处摆动到A处时，测得点处时，测得点A到到BD的的距离距离AFBC(AFBD于点于点F)，已知，已知秋千秋千的绳长固定的绳长固定不变不变(即即 BABA)，求求FD的的长度长度知知5 5练练解：在解：在RtACB和和RtBFA中，中，BABA，BCAF，RtACBRtBFA(H.L.)，BFAC1.5 m.FDBDBF2.51.51(m)，即即FD的长度是的长度是1 m.三角形全等的判定三角形全等的判定三角形三角形全等的全等的判定方判定方法法两边及两边及夹角夹角(S.A.S.)两角一边两角一边(A.S.A.或或A.A.S.)三三边边(S.S.S.)斜边直角斜边直角边边(H.L.)直角三直角三角形全角形全等的判等的判定方法定方法
