1、 中考数学 （浙江专用） 4.3 等腰三角形与直角三角形 A组 20162020年浙江中考题组 考点一 等腰三角形 1.(2019衢州,7,3分)“三等分角”大约是在公元前五世纪由古希腊人提出来的,借助如图所示的“三等 分角仪”能三等分任一角.这个三等分角仪由两根有槽的棒OA,OB组成,两根棒在O点相连并可绕O转 动,C点固定,OC=CD=DE,点D、E可在槽中滑动.若BDE=75,则CDE的度数是( ) A.60 B.65 C.75 D.80 答案答案 D OC=CD=DE, O=ODC,DCE=DEC, DCE=O+ODC=2ODC, O+OED=3ODC=BDE=75, ODC=25,
2、CDE+ODC=180-BDE=105, CDE=105-ODC=80.故选D. 2.(2018湖州,5,3分)如图,AD,CE分别是ABC的中线和角平分线.若AB=AC,CAD=20,则ACE的度数 是( ) A.20 B.35 C.40 D.70 答案答案 B AD是ABC的中线,AB=AC,CAD=20,CAB=2CAD=40,B=ACB=(180- CAB)=70. CE是ABC的角平分线,ACE=ACB=35.故选B. 1 2 1 2 3.(2017湖州,6,4分)如图,已知在RtABC中,C=90,AC=BC,AB=6,点P是RtABC的重心,则点P到AB所 在直线的距离等于( )
3、 A.1 B. C. D.2 2 3 2 答案答案 A 如图,连接CP并延长交AB于D,连接BP并延长交AC于E,且延长到F,使EF=PE,连接AF, ACB=90,AC=BC,AB=6, AC=BC=3, P为ABC的重心,CE=AE,AD=DB, CD=AB=3,CDB=90. 2 1 2 在AEF和CEP中, AEFCEP. FAE=ECP=45,CP=AF=3-DP. FAD=90,CDFA, BPDBFA. =.=.PD=1. 故选A. , , , AECE AEFCEP EFEP PD FA BD BA3 PD PD 3 6 关键提示关键提示 三角形的重心是三条中线的交点. 4.(
4、2016杭州,9,3分)已知直角三角形纸片的两条直角边长分别为m和n(mAB,且ABE和AEC均为等腰三角形,AB=BE=m, AE=EC=n-m,AE=AB,n-m=m,两边平方整理得,m2+2mn-n2=0,故选C. 22 关键提示关键提示 本题考查直角三角形与等腰三角形,涉及等式变形,关键是画出草图,挖掘条件. 5.(2020台州,13,5分)如图,等边三角形纸片ABC的边长为6,E,F是边BC上的三等分点.分别过点E,F沿着平 行于BA,CA方向各剪一刀,则剪下的DEF的周长是 . 答案答案 6 解析解析 ABC是等边三角形, B=C=60, DEAB,DFAC,DEF=DFE=60,
5、 DEF是等边三角形, DE=EF=DF, E,F是边BC上的三等分点,BC=6,EF=2, DE=EF=DF=2,DEF的周长=DE+EF+DF=6. 思路分析思路分析 先证明DEF是等边三角形,再根据E,F是边BC上的三等分点及BC的长求出EF的长,最后求 周长即可. 6.(2019温州,16,5分)图1是一种折叠式晾衣架.晾衣时,该晾衣架左右晾衣臂张开后示意图如图2所示,两 支脚OC=OD=10分米,展开角COD=60,晾衣臂OA=OB=10分米,晾衣臂支架HG=FE=6分米,且HO=FO =4分米.当AOC=90时,点A离地面的距离AM为 分米;当OB从水平状态旋转到OB(在CO延长
6、线上)时,点E绕点F随之旋转至OB上的点E处,则BE-BE为 分米. 图1 图2 答案答案 (5+5);4 3 解析解析 过O作ONAM,交AM于N,作OTCD,交MD于T, ONAM,AMMD,OTCD, ONMD,OT=MN, NOC=OCD(两直线平行,内错角相等), 又OC=OD,COD=60, OCD为等边三角形, OCD=60,NOC=60. 又AOC=90,AON=30, AN=OAsin 30=10=5分米, 又MN=OT=OCsin 60=10=5 分米, AM=(5+5)分米. 作EKOF交FO的延长线于K. 则KOE=COD=60, 1 2 3 2 3 3 设OK=x分米
7、,则KE=x分米, 在KEF中,(x)2+(x+4)2=62, 即3x2+x2+8x+16=36,解得x1=-1,x2=-1(舍), OE=2(-1)=(2-2)分米, 作FNOB,交OB于N, 则FN=OFsin 60=2 分米,NE=2 分米,ON=OFcos 60=4=2分米, OE=(2+2)分米, BE-BE=(OB-OE)-(OB-OE)=OE-OE=4分米. 3 3 66 66 3 22 6(2 3) 6 1 2 6 7.(2020绍兴,22,12分)问题:如图,在ABD中,BA=BD,在BD的延长线上取点E,C,作AEC,使EA=EC.若 BAE=90,B=45,求DAC的度数
8、. 答案 DAC=45. 思考:(1)如果把以上“问题”中的条件“B=45”去掉,其余条件不变,那么DAC的度数会改 变吗?说明理由. (2)如果把以上“问题”中的条件“B=45”去掉,再将“BAE=90”改为“BAE=n”,其 余条件不变,求DAC的度数. 解析解析 (1)DAC的度数不会改变. 理由:EA=EC,AED=2C, BAE=90, BAD=180-(90-2C)=45+C, DAE=90-BAD=90-(45+C)=45-C, DAC=DAE+CAE=45. (2)设ABC=m, 则BAD=(180-m)=90-m,AEB=180-n-m, DAE=n-BAD=n-90+m,
9、EA=EC, CAE=AEB=90-n-m, 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 DAC=DAE+CAE=n-90+m+90-n-m=n. 1 2 1 2 1 2 1 2 8.(2020台州,21,10分)如图,已知AB=AC,AD=AE,BD和CE相交于点O. (1)求证:ABDACE; (2)判断BOC的形状,并说明理由. 解析解析 (1)证明: ABDACE(SAS). (2)BOC为等腰三角形, 理由如下: ABDACE,ABD=ACE, AB=AC,ABC=ACB, ABC-ABD=ACB-ACE,即OBC=OCB, OB=OC,BOC为等腰三角形. , , ,
10、ABAC BADCAE ADAE 思路分析思路分析 (1)由“SAS”可证ABDACE; (2)由全等三角形的性质可得ABD=ACE,由等腰三角形的性质可得ABC=ACB,可求OBC= OCB,可得BO=CO,即可得结论. 9.(2018绍兴、义乌,22,12分)数学课上,张老师举了下面的例题: 例1 等腰三角形ABC中,A=110,求B的度数.(答案:35) 例2 等腰三角形ABC中,A=40,求B的度数.(答案:40或70或100) 张老师启发同学们进行变式,小敏编了如下一题: 变式 等腰三角形ABC中,A=80,求B的度数. (1)请你解答以上的变式题; (2)解(1)后,小敏发现,A的
11、度数不同,得到B的度数的个数也可能不同,如果在等腰三角形ABC中,设 A=x,当B有三个不同的度数时,请你探索x的取值范围. 解析解析 (1)若A为顶角,则B=(180-A)2=50; 若A为底角,B为顶角,则B=180-280=20; 若A为底角,B为底角,则B=80. 故B=50或20或80. (2)分两种情况: 当90 x180时,A只能为顶角,B的度数只有一个. 当0x90时, 若A为顶角,则B=; 若A为底角,B为顶角,则B=(180-2x); 若A为底角,B为底角,则B=x. 当180-2x且180-2xx且x,即x60时,B有三个不同的度数. 综上所述,当0x90且x60时,B有
12、三个不同的度数. 180 2 x 180 2 x180 2 x 10.(2018杭州,21,10分)如图,在ABC中,ACB=90,以点B为圆心,BC长为半径画弧,交线段AB于点D;以 点A为圆心,AD长为半径画弧,交线段AC于点E,连接CD. (1)若A=28,求ACD的度数; (2)设BC=a,AC=b. 线段AD的长是方程x2+2ax-b2=0的一个根吗?说明理由; 若AD=EC,求的值. a b 解析解析 (1)ACB=90,A=28,B=62, 由题意知BD=BC, BCD=BDC=59,ACD=90-BCD=31. (2)线段AD的长是方程x2+2ax-b2=0的一个根.理由如下:
13、 由勾股定理得AB=, AD=-a, 解方程x2+2ax-b2=0,得x=-a, 线段AD的长是方程x2+2ax-b2=0的一个根. AD=AE,AD=EC,AE=EC=, 由勾股定理得a2+b2=,整理得=. 22 ACBC 22 ab 22 ab 22 244 2 aab 22 ab 2 b 2 1 2 ba a b 3 4 思路分析思路分析 (1)根据三角形内角和定理求出B,再根据等腰三角形的性质求出BCD,根据ACD为 BCD的余角计算即可;(2)根据勾股定理求出AB,进而得到AD,利用求根公式解方程,比较即可; 根据勾股定理及等量关系列出等式,化简、整理即可. 11.(2019杭州,
14、19,8分)如图,在ABC中,ACABBC. (1)如图1,已知线段AB的垂直平分线与BC边交于点P,连接AP,求证:APC=2B; (2)如图2,以点B为圆心,线段AB的长为半径画弧,与BC边交于点Q,连接AQ.若AQC=3B,求B的度数. 图1 图2 解析解析 (1)证明:因为点P在AB的垂直平分线上, 所以PA=PB,所以PAB=B,所以APC=PAB+B=2B. (2)根据题意,得BQ=BA,所以BAQ=BQA. 设B=x,所以AQC=B+BAQ=3x, 所以BAQ=BQA=2x. 在ABQ中,x+2x+2x=180,解得x=36,即B=36. 考点二 直角三角形 1.(2020宁波,
15、7,4分) 如图,在RtABC中,ACB=90,CD为中线,延长CB至点E,使BE=BC,连接DE,F为DE中点,连接BF.若AC= 8,BC=6,则BF的长为( ) A.2 B.2.5 C.3 D.4 答案答案 B 在RtABC中,ACB=90,AC=8,BC=6, AB=10. 又CD为RtABC的中线, CD=AB=5. F为DE中点,BE=BC, BF是CDE的中位线,则BF=CD=2.5. 故选B. 22 ACBC 22 86 1 2 1 2 思路分析思路分析 利用勾股定理求得AB=10,然后由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求得CD的长度, 结合题意知线段BF是CDE的中位线,
16、则BF=CD. 1 2 2.(2019绍兴,10,4分)如图1,长、宽均为3,高为8的长方体容器,放置在水平桌面上,里面盛有水,水面高为6, 绕底面一棱进行旋转倾斜后,水面恰好触到容器口边缘,图2是此时的示意图,则图2中水面高度为( ) A. B. C. D. 24 5 32 5 12 34 17 20 34 17 答案案 A 过点C作CFBG于F,如图所示: 设DE=x,则AD=8-x, 根据题意得(8-x+8)33=336, 解得x=4,DE=4, E=90, 由勾股定理得CD=5, BCE=DCF=90,DCE=BCF, DEC=BFC=90,CDECBF, 1 2 22 DECE 22
17、 43 =,即=,CF=.故选A. CE CF CD CB 3 CF 5 8 24 5 3.(2016宁波,12,4分) 下图是一个由5张纸片拼成的平行四边形,相邻纸片之间互不重叠也无缝隙,其中两张等腰直角三角形纸 片的面积都为S1,另两张直角三角形纸片的面积都为S2,中间一张正方形纸片的面积为S3,则这个平行四 边形的面积一定可以表示为( ) A.4S1 B.4S2 C.4S2+S3 D.3S1+4S3 答案答案 A 设等腰直角三角形纸片的直角边长为a,中间一张正方形纸片的边长为m,则S1=a2,S3=m2,S2= (a-m)(a+m)=(a2-m2),S2=(2S1-S3),即S3=2S1
18、-2S2,所求平行四边形的面积为2S1+2S2+S3=2S1+2S2+(2S1 -2S2)=4S1.故选A. 1 2 1 2 1 2 1 2 解题关键解题关键 解决本题的关键是引入字母表示出纸片的边长,从而找出S1、S2、S3之间的关系. 4.(2019湖州,16,4分)七巧板是我国祖先的一项卓越创造,被誉为“东方魔板”.由边长为4的正方形 ABCD可以制作一副如图1所示的七巧板,现将这副七巧板在正方形EFGH内拼成如图2所示的“拼搏 兔”造型(其中点Q、R分别与图2中的点E、G重合,点P在边EH上),则“拼搏兔”所在正方形EFGH的边 长是 . 2 答案答案 4 解析 如图,连接EG,作GM
19、EN交EN的延长线于M, 在RtEMG中,GM=4,EM=2+2+4+4=12, EG=4, 5 22 EMGM 22 12410 EH=4. 2 EG 5 5.(2019金华,16,4分)图2、图3是某公共汽车双开门的俯视示意图,ME,EF,FN是门轴的滑动轨道,E=F =90,两门AB,CD的门轴A,B,C,D都在滑动轨道上.两门关闭时(图2),A,D分别在E,F处,门缝忽略不计(即 B,C重合);两门同时开启,A,D分别沿EM,FN的方向匀速滑动,带动B,C滑动;B到达E时,C恰好到达F,此 时两门完全开启.已知AB=50 cm,CD=40 cm. (1)如图3,当ABE=30时,BC=
20、 cm; (2)在(1)的基础上,当A向M方向继续滑动15 cm时,四边形ABCD的面积为 cm2. 答案答案 (1)(90-45) (2)2 256 解析解析 AB=50 cm,CD=40 cm, EF=50+40=90 cm, B到达E时,C恰好到达F,此时两门完全开启, B、C两点运动的路程之比为54. (1)ABE=30,E=90, BE=AB cos 30=25 cm, B运动的路程为(50-25)cm. B、C两点运动的路程之比为54, 此时点C运动的路程为(50-25)=(40-20)cm. BC=50-25+40-20=(90-45)cm. (2) 3 3 3 4 5 33 3
21、33 当A向M方向继续滑动15 cm时,设点A运动到点A处,点B、C、D分别运动到点B、C、D处.连接AD,如 图: 则此时AA=15 cm, AE=15+25=40 cm, EB=30 cm, B运动的路程为50-30=20 cm, C运动的路程为16 cm, CF=40-16=24 cm, 22 A BA E DF=32 cm, S四边形ABCD=S梯形AEFD-SAEB-SDFC=90(40+32)-3040-2432=2 256 cm2. 四边形ABCD的面积为2 256 cm2. 22 D CC F 1 2 1 2 1 2 6.(2019舟山,16,4分) 如图,一副含30和45角的
22、三角板ABC和EDF拼合在一个平面上,边AC与EF重合,AC=12 cm.当点E从点A 出发沿AC方向滑动时,点F同时出发沿射线BC方向滑动.当点E从点A滑动到点C时,点D运动的路径长为 cm;连接BD,则ABD面积的最大值为 cm2. 答案答案 (24-12);(36+24-12) 2236 解析解析 AC=12 cm,BAC=30,DEF=45, BC=4 cm,AB=8 cm,ED=DF=6 cm. 当点E沿AC方向下滑时,得EDF. 过点D作DNAC于点N,作DMBC于点M. MDN=90,又EDF=90, EDN=FDM,又DNE=DMF=90,ED=DF, DNEDMF(AAS),
23、 DN=DM,又DNAC,DMCM,CD平分ACM. 即点E沿AC方向下滑时,点D在射线CD上移动. 当EDAC时,DD的长最大,最大值为ED-CD=(12-6)cm, 当点E从点A滑动到点C时,点D运动的路径长=2(12-6)=(24-12)cm. 连接BD,AD. SADB=SABC+SADC-SBDC, 332 22 22 SADB=BCAC+ACDN-BCDM=24+(12-4)DN. 当EDAC时,SADB有最大值, ABD面积的最大值=24+(12-4)6=(36+24-12)cm2. 1 2 1 2 1 2 3 1 2 3 3 1 2 32236 7.(2017台州,24,14分
24、)在平面直角坐标系中,借助直角三角板可以找到一元二次方程的实数根,比如对于 方程x2-5x+2=0,操作步骤是: 第一步:根据方程系数特征,确定一对固定点A(0,1),B(5,2); 第二步:在坐标平面中移动一个直角三角板,使一条直角边恒过点A,另一条直角边恒过点B; 第三步:在移动过程中,当三角板的直角顶点落在x轴上点C处时,点C 的横坐标m即为该方程的一个实数 根(如图1); 第四步:调整三角板直角顶点的位置,当它落在x轴上另一点D处时,点D 的横坐标n即为该方程的另一个 实数根. (1)在图2 中,按照“第四步”的操作方法作出点D(请保留作出点D时直角三角板两条直角边的痕迹); (2)结
25、合图1,请证明“第三步”操作得到的m就是方程x2-5x+2=0的一个实数根; (3)上述操作的关键是确定两个固定点的位置,若要以此方法找到一元二次方程ax2+bx+c=0(a0,b2-4ac 0)的实数根,请你直接写出一对固定点的坐标; (4)实际上,(3)中的固定点有无数对,一般地,当m1,n1,m2,n2与a,b,c之间满足怎样的关系时,点P(m1,n1),Q(m2,n2)就 是符合要求的一对固定点? 图1 图2 解析解析 (1)如图所示. 图 (2)证明:如图,过点B作BDx轴,交x轴于点D. 图 据题意可证AOCCDB, =,=. m(5-m)=2,m2-5m+2=0. m是方程x2-
26、5x+2=0的实数根. (3)方程ax2+bx+c=0(a0)可化为x2+x+=0. 模仿可得A(0,1),B或A,B等. 说明:当点A在y轴上时,写出形如A(0,t),B(t0)的形式即可. AO CD OC BD 1 5m2 m b a c a , b c a a 1 0, a , b c a , b c a at 图 (4)如图,P(m1,n1),Q(m2,n2). 解法一:设方程的根为x,根据三角形相似可得=, 上式可化为x2-(m1+m2)x+m1m2+n1n2=0, 1 1 n xm 2 2 mx n 又ax2+bx+c=0(a0)即x2+x+=0, 比较系数可得m1+m2=-,m
27、1m2+n1n2=. 解法二:=-,m1+m2=-, 根据三角形相似可得=, 上式可化为m1m2+n1n2=. b a c a b a c a 12 2 mm 2 b a b a 1 11 n xm 21 2 mx n c a B组 20162020年全国中考题组 考点一 等腰三角形 1.(2020四川成都,7,3分)如图,在ABC中,按以下步骤作图:分别以点B和C为圆心,以大于BC的长为 半径作弧,两弧相交于点M和N;作直线MN交AC于点D,连接BD.若AC=6,AD=2,则BD的长为( ) A.2 B.3 C.4 D.6 1 2 答案答案 C 由作图可得,直线MN为线段CB的垂直平分线,D
28、在直线MN上,BD=CD,AC=6,AD=2, CD=AC-AD=6-2=4,BD=CD=4,故选C. 2.(2019内蒙古包头,10,3分)已知等腰三角形的三边长分别为a、b、4,且a、b是关于x的一元二次方程x2- 12x+m+2=0的两根,则m的值是( ) A.34 B.30 C.30或34 D.30或36 答案答案 A 由根与系数的关系可得当a=4时,b=8;当b=4时,a=8.这两种情况都不能构成三角形, a=b=6,m=34,故选A. 12, 2, ab abm 易错警示易错警示 本题易错选C,原因是未考虑到a=4,b=8及b=4,a=8的情况下不能构成三角形. 3.(2018福建
29、,5,4分)如图,等边三角形ABC中,ADBC,垂足为D,点E在线段AD上,EBC=45,则ACE等 于( ) A.15 B.30 C.45 D.60 答案答案 A 由等边三角形ABC中,ADBC,垂足为点D,可得ACB=60,且点D是BC的中点,所以AD垂直 平分BC,所以EC=EB,根据等边对等角,得到ECB=EBC=45,故ACE=ACB-ECB=60-45=15. 4.(2020海南,15,4分)如图,在ABC中,BC=9,AC=4,分别以点A、B为圆心,大于AB的长为半径画弧,两弧 相交于点M,N,作直线MN,交BC边于点D,连接AD,则ACD的周长为 . 1 2 答案答案 13 解
30、析解析 根据作图可知MN垂直平分线段AB,AD=BD, BC=BD+DC=9,AD+DC=9. AC=4,ACD的周长为AC+AD+DC=4+9=13. 思路分析思路分析 首先根据尺规作图可得MN垂直平分线段AB,即可得AD=BD,又由BC的长求得AD+DC的长, 则可求得ACD的周长. 1 2 答案答案 15或45或75 5.(2019黑龙江齐齐哈尔,16,3分)等腰ABC中,BDAC,垂足为点D,且BD=AC,则等腰ABC底角的度 数为 . 解析解析 如图,当BA=BC时, BDAC, AD=CD=AC, BD=AC, 1 2 1 2 AD=BD=CD, A=C=(180-90)=45.
31、如图,当AB=AC且A为锐角时, BD=AC=AB, A=30, ABC=ACB=75. 如图,当AB=AC且BAC为钝角时, 1 2 1 2 1 2 BD=AC=AB, BAD=30, ABC=ACB=30=15. 同理,当BC=AC时,可求得CBA=CAB=75或15. 故答案为15或45或75. 1 2 1 2 1 2 方法点拨方法点拨 等腰三角形中没有指明顶角、底角或者没有指明底边、腰的都需要分类讨论. 6.(2018安徽,14,5分)矩形ABCD中,AB=6,BC=8.点P在矩形ABCD的内部,点E在边BC上,满足PBEDBC. 若APD是等腰三角形,则PE的长为 . 答案答案 3或
32、 6 5 解析解析 在矩形ABCD中,AD=BC=8,在ABD中,由勾股定理可得BD=10,ABAD,根据PBE DBC可知P点在线段BD上,当AD=PD=8时,由相似可得=PE=;当AP=PD时,P点为BD 的中点,PE=CD=3,故答案为3或. 22 68 PE CD BP BD 2 10 6 5 1 2 6 5 思路分析思路分析 根据AB0. 尝试 化简整式A. 发现 A=B2.求整式B. 联想 由上可知,B2=(n2-1)2+(2n)2,当n1时,n2-1,2n,B为直角三角形的三边长,如图.填写下表中B的值. 直角三角形三边 n2-1 2n B 勾股数组 8 勾股数组 35 解析解析
33、 尝试 A=n4-2n2+1+4n2(2分) =n4+2n2+1.(4分) 发现 A=n4+2n2+1=(n2+1)2, 且A=B2,B0,B=n2+1.(7分) 联想 勾股数组 17(8分) 勾股数组 37(9分) 提示:勾股数组 2n=8,n=4. 由发现可知,B=n2+1=16+1=17. 勾股数组 n2-1=35,B=n2+1=(n2-1)+2=35+2=37. 6.(2018安徽,23,14分)如图1,RtABC中,ACB=90.点D为边AC上一点,DEAB于点E.点M为BD的中点, CM的延长线交AB于点F. (1)求证:CM=EM; (2)若BAC=50,求EMF的大小; (3)
34、如图2,若DAECEM,点N为CM的中点.求证:ANEM. 图1 图2 解析解析 (1)证明:由已知,在RtBCD中,BCD=90,M为斜边BD的中点, CM=BD. 又DEAB,同理,EM=BD, CM=EM.(4分) (2)由已知得,CBA=90-50=40. 又由(1)知CM=BM=EM, CME=CMD+DME=2(CBM+EBM)=2CBA=240=80, EMF=180-CME=100.(9分) (3)证明:DAECEM, CME=DEA=90,DE=CM,AE=EM. 又CM=DM=EM, DM=DE=EM,DEM是等边三角形, MEF=DEF-DEM=30. 1 2 1 2 证
35、法一:在RtEMF中,EMF=90,MEF=30, =, 又NM=CM=EM=AE, FN=FM+NM=EF+AE=(AE+EF)=AF. =. 又AFN=EFM, AFNEFM,NAF=MEF, ANEM.(14分) 证法二:连接AM,则EAM=EMA=MEF=15, MF EF 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 MF EF FN AF 1 2 1 2 AMC=EMC-EMA=75, 又CMD=EMC-EMD=30,且MC=MD, ACM=(180-30)=75. 由可知AC=AM,又N为CM的中点, ANCM,又EMCF,ANEM.(14分) 1 2 C组 教
36、师专用题组 考点一 等腰三角形 1.(2020河南,10,3分)如图,在ABC中,AB=BC=,BAC=30,分别以点A,C为圆心,AC的长为半径作弧, 两弧交于点D,连接DA,DC,则四边形ABCD的面积为( ) A.6 B.9 C.6 D.3 3 33 答案答案 D 根据作图可知ACD为等边三角形.在ABC中,作BEAC于点E,在RtAEB中,AE=AB cos 30 =,BE=AB=,AB=BC,AC=2AE=3,S四边形ABCD=SACD+SABC=AC2+AC BE=3.故选D. 3 2 1 2 3 2 3 4 1 2 3 思路分析思路分析 根据作图知ACD为等边三角形,依据ABC中
37、的条件求得AC的长及AC边上的高,进而求 得四边形ABCD的面积. 2.(2019山西,5,3分)如图,在ABC中,AB=AC,A=30,直线ab,顶点C在直线b上,直线a交AB于点D,交 AC于点E,若1=145,则2的度数是( ) A.30 B.35 C.40 D.45 答案答案 C AB=AC且A=30, B=ACB=75. 1=A+3,3=115. ab,3=2+ACB, 2=40.故选C. 3.(2019湖南怀化,14,4分)若等腰三角形的一个底角为72,则这个等腰三角形的顶角为 . 答案答案 36 解析解析 等腰三角形的一个底角为72, 等腰三角形的顶角=180-72-72=36,
38、 故答案为36. 4.(2020江苏南京,15,2分)如图,线段AB、BC的垂直平分线l1、l2相交于点O.若1=39,则AOC= . 答案答案 78 解析解析 如图,连接BO并延长,设l1交AB于点D,l2交BC于点E. 线段AB、BC的垂直平分线l1、l2相交于点O, OA=OB=OC,A=OBA,C=OBC, AOP=2ABO,COP=2CBO, AOC=AOP+COP=2(ABO+CBO)=2ABC. BDO=BEO=90, DOE+ABC=360-BDO-BEO=180, DOE+1=180, ABC=1=39,AOC=2ABC=78. 解题关键解题关键 本题考查线段垂直平分线的性质
39、、等腰三角形的性质、同角的补角相等等性质,掌握线段 垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等是解决本题的关键. 5.(2020广东,15,4分)如图,在菱形ABCD中,A=30,取大于AB的长为半径,分别以点A,B为圆心作弧相 交于两点,过此两点的直线交AD边于点E(作图痕迹如图所示),连接BE,BD.则EBD的度数为 . 1 2 答案答案 45 解析解析 根据作图可知虚线为线段AB的垂直平分线, AE=BE,EBA=A=30. 四边形ABCD是菱形,ADBC,ABD=CBD. A=30,ABC=180-30=150, ABD=ABC=75, EBD=75-30=45. 1 2 6.(2019内
40、蒙古包头,17,3分)如图,在ABC中,CAB=55,ABC=25.在同一平面内,将ABC绕点A逆时 针旋转70得到ADE,连接EC,则tanDEC的值是 . 答案答案 1 解析解析 在ACB中,ACB=180-55-25=100,由旋转的性质可得AED=ACB =100,CAE=70,AE =AC,AEC=55,DEC=100-55=45,tanDEC=1. 18070 2 解题关键解题关键 抓住旋转的性质得出AEC是等腰三角形且CAE=70是解答本题的关键. 7.(2020贵州贵阳,15,4分)如图,ABC中,点E在边AC上,EB=EA,A=2CBE,CD垂直于BE的延长线于点 D,BD=
41、8,AC=11,则边BC的长为 . 答案 4 5 解析解析 延长BD到F,使得DF=BD=8,过点C作CHAB,交BF于点H,连接CF. CDBF,BC=CF, CBE=F, EA=EB,A=ABE, A=2CBE,ABE=2F. CHAB,ABE=CHD,A=ECH, CHD=2F,CHD=ECH, F=HCF,EC=EH, HF=HC,BH=AC=11,DH=BH-BD=3, HF=HC=8-3=5,CD=4, BC=4. 22 CHDH 22 BDDC5 8.(2020黑龙江齐齐哈尔,17,3分)如图,在平面直角坐标系中,等腰直角三角形沿x轴正半轴滚动并且按 一定规律变换,每次变换后得到
42、的图形仍是等腰直角三角形.第一次滚动后点A1(0,2)变换到点A2(6,0),得 到等腰直角三角形;第二次滚动后点A2变换到点A3(6,0),得到等腰直角三角形;第三次滚动后点A3变 换到点A4(10,4),得到等腰直角三角形;第四次滚动后点A4变换到点A5(10+12,0),得到等腰直角三 角形;依此规律,则第2 020个等腰直角三角形的面积是 . 22 答案答案 22 020 解析解析 可令等腰直角三角形的直角边长为a1,等腰直角三角形的直角边长为a2,依此类推. 由A1(0,2),A2(6,0),A3(6,0),A4(10,4)推出a1=2,a2=(6-2)=2,a3=10-6=4,a4
43、=4, 解法一:由此可发现从a1=2开始,后一个等腰直角三角形的直角边长是前一个的倍,因此a2 020=2()2 019 =()2 021, 设第2 020个等腰直角三角形的面积为S2 020. S2 020= =()2 0212=22 021=22 020. 解法二:令第n个等腰直角三角形的面积为Sn, 则S1=22=2, S2=(2)2=8=4=22, S3=42=16=8=23, 2 2 2 22 22 2 1 2 2 2 020 a 1 2 2 1 2 1 2 2 1 a 1 2 1 2 2 2 a 1 2 2 1 2 1 2 2 3 a 1 2 1 2 S2 020=22 020.
44、解题关键解题关键 本题考查等腰直角三角形的性质及面积表示,属于几何图形的规律探究类型问题,解决本题 的关键在于根据A点经过滚动、变换后的坐标确定出对应的等腰直角三角形的直角边长,由特殊得出一 般规律,从而根据等腰直角三角形的面积公式:S=a2(其中a为直角边长)求得面积.熟练掌握等腰直角三 角形直角边长与斜边长之比为1,可以快速确定直角边长,事半功倍. 1 2 2 9.(2019湖北孝感,18,8分)如图,已知C=D=90,BC与AD交于点E,AC=BD,求证:AE=BE. 证明证明 C=D=90, ACB和BDA是直角三角形, 在RtACB和RtBDA中, RtACBRtBDA(HL), A
45、BC=BAD, AE=BE. , , ABBA ACBD 10.(2018嘉兴,19,6分)已知:在ABC中,AB=AC,D为AC的中点,DEAB,DFBC,垂足分别为点E,F,且DE =DF.求证:ABC是等边三角形. 证明证明 AB=AC,B=C, DEAB,DFBC,DEA=DFC=90, D的为AC中点,DA=DC, 又DE=DF,RtAEDRtCFD(HL), A=C, A=B=C, ABC是等边三角形. 11.(2019吉林,24,8分)性质探究 如图,在等腰三角形ABC中,ACB=120,则底边AB与腰AC的长度之比为 . 理解运用 (1)若顶角为120的等腰三角形的周长为8+4
46、,则它的面积为 ; (2)如图,在四边形EFGH中,EF=EG=EH. 求证:EFG+EHG=FGH; 在边FG,GH上分别取中点M,N,连接MN.若FGH=120,EF=10,直接写出线段MN的长. 3 类比拓展 顶角为2的等腰三角形的底边与一腰的长度之比为 (用含的式子表示). 解析解析 性质探究 .(2分) 理解运用 (1)4.(3分) (2)证明:EF=EG=EH, EFG=EGF,EGH=EHG.(5分) EFG+EHG=EGF+EGH=FGH.(6分) 5.(7分) 提示:由可知EFG+EHG=FGH. FGH=120, EFG+EHG=120. FEH+EFG+EHG+FGH=3
47、60, FEH=120. 连接FH. 3 3 3 EF=EH, EFH是顶角为120的等腰三角形,由性质探究可知FH=EF. 又EF=10,FH=10. M,N分别为FG,GH的中点, MN为FHG的中位线, MN=FH=5. 类比拓展 2sin .(8分) 3 3 1 2 3 提示:如图,作ADBC于点D,BAD=,BD=ABsin , BC=2ABsin ,底边BC与腰AB的长度之比为2sin . 评分说明:结果写成1,2sin 1不扣分. 3 考点二 直角三角形 1.(2019河南,9,3分)如图,在四边形ABCD中,ADBC,D=90,AD=4,BC=3,分别以点A、C为圆心,大于 AC长为半径作弧,两弧交于点E,作射线BE交AD于点F,交AC于点O.若点O是AC的中点,则CD的长为 ( ) A.2 B.4 C.3 D. 1 2 210 答案答案 A 连接FC,由作图方法及点O是AC的中
