1、 中考数学 3.3 反比例函数 考点一 反比例函数的图象与性质 1.(2020辽宁营口,5,3分)反比例函数y=(x0,所以反比例函数的图象在第一、三象限,又因为x0,所以y=(x0)的图象在第三 象限,故选C. 1 x 2.(2020山西,7,3分)已知点A(x1,y1),B(x2,y2),C(x3,y3)都在反比例函数y=(k0)的图象上,且x1x20y1y3 B.y3y2y1 C.y1y2y3 D.y3y1y2 k x 答案答案 A k0,当x0,当x0时,y随x的增大而增大且y0,又x1x2y10,x30,y3y1y3,故选A. 思路分析思路分析 根据k0得反比例函数y=的图象在第二、
2、四象限,并在各个象限内y随x的增大而增大,然后 根据x1x20分别得出y2y10和y30,x0)的图象经过点B,则k的值为( ) A. B.9 C. D. k x 9 2 27 8 27 4 答案答案 D 过点B作BDx轴于点D,易得AOCCDB.AC=2BC,相似比为21,于是可得BD=CD =.OD=3+=,B,k=. 3 2 3 2 9 2 9 3 , 2 2 9 2 3 2 27 4 思路分析思路分析 过点B作x轴的垂线,构造两个相似的三角形,利用相似比求出边长,进而求出点B的坐标,最后 可得k的值. 4.(2020重庆A卷,12,4分)如图,在平面直角坐标系中,矩形ABCD的对角线A
3、C的中点与坐标原点重合,点E 是x轴上一点,连接AE.若AD平分OAE,反比例函数y=(k0,x0)的图象经过AE上的两点A,F,且AF=EF, ABE的面积为18,则k的值为( ) A.6 B.12 C.18 D.24 k x 答案答案 B 连接BD,AD平分OAE,OAD=EAD,四边形ABCD是矩形,OA=OD,ODA= OAD,ODA=EAD,BDAE,AOE与ABE的面积相等,为18,又AF=EF,OEF的面积为 9,设F,F为AE的中点且A点在反比例函数y=(k0,x0)的图象上,A,过A作AMx轴 于M,过F作FNx轴于N,则OM=,MN=,又AF=EF,MN=NE,OFN的面积
4、为OEF面积的,为 6,k=2SOFN=12. , k a a k x 2 , 2 ak a 2 a 2 a2 3 5.(2019陕西,13,3分)如图,D是矩形AOBC的对称中心,A(0,4),B(6,0).若一个反比例函数的图象经过点D,交 AC于点M,则点M的坐标为 . 答案答案 3 ,4 2 解析解析 点D是矩形AOBC的对称中心,A(0,4),B(6,0),点D是AB的中点,点D的坐标为(3,2),设反比例 函数解析式为y=(k0),把(3,2)代入得k=6.点M的纵坐标与点A的纵坐标相同,为4,令4=,得x=,点M 的坐标为. k x 6 x 3 2 3 ,4 2 6.(2019内
5、蒙古包头,19,3分)如图,在平面直角坐标系中,已知A(-1,0),B(0,2),将ABO沿直线AB翻折后得 到ABC,若反比例函数y=(x0)的图象上(点B的横 坐标大于点A的横坐标),点A的坐标为(2,4),过点A作ADx轴于点D,过点B作BCx轴于点C,连接OA,AB. (1)求k的值; (2)若D为OC的中点,求四边形OABC的面积. k x 解析解析 (1)把(2,4)代入y=,得4=. 解得k=8.(3分) (2)点A的坐标是(2,4), OD=2,AD=4. D为OC的中点, OC=2OD=4.(4分) 当x=4时,y=2, 点B的坐标是(4,2), BC=2.(5分) S四边形
6、OABC=SAOD+S四边形ABCD =24+(2+4)2 =10. k x2 k 8 4 1 2 1 2 四边形OABC的面积是10.(7分) 思路分析思路分析 (1)将点A的坐标代入y=,可得k值; (2)将点C的横坐标代入反比例函数的解析式可得点B的纵坐标,利用三角形和梯形的面积公式可得结果. k x 8.(2020江西,18,8分)如图,RtABC中,ACB=90,顶点A,B都在反比例函数y=(x0)的图象上,直线AC x轴,垂足为D,连接OA,OC,并延长OC交AB于点E,当AB=2OA时,点E恰为AB的中点,若AOD=45,OA=2 . (1)求反比例函数的解析式; (2)求EOD
7、的度数. k x 2 解析解析 (1)ADx轴,AOD=45,OA=2, AD=OD=2. A(2,2). 点A在反比例函数图象上, k=22=4. y=. (2)ABC为直角三角形,点E为AB的中点, AE=CE=EB,AEC=2ECB. AB=2OA, AO=AE. AOE=AEO=2ECB. ACB=90,ADx轴, BCx轴. 2 4 x ECB=EOD. AOE=2EOD. AOD=45, EOD=AOD=45=15. 1 3 1 3 思路分析思路分析 (1)由已知易推出AOD是等腰直角三角形,而斜边OA=2,从而可求点A的坐标,代入反比 例函数解析式求出k;(2)由直角三角形斜边上
8、的中线等于斜边的一半可得ACE、BCE都是等腰三角 形,再根据AB=2OA可推出AO=AE,由已知易推出BCx轴,然后根据平行线及三角形外角的性质可推出 AOE=2EOD,问题解决. 2 9.(2019甘肃兰州,23,7分)如图,在平面直角坐标系xOy中,反比例函数y=(k0)的图象过等边三角形BOC 的顶点B,OC=2,点A在反比例函数图象上,连接AC,AO. (1)求反比例函数y=(k0)的表达式; (2)若四边形ACBO的面积是3,求点A的坐标. k x k x 3 解析解析 (1)OC=2,且BOC为等边三角形, B(-1,-), k=(-1)(-)=,反比例函数表达式为y=. (2)
9、S四边形ACBO=SBOC+SAOC,过点A作ANx轴于点N. SBOC=OC2=,+SAOC=3, SAOC=2,即OC AN=2,又OC=2,AN=2, 设A(t,2),2t=,t=, 即点A的坐标为. 3 33 3 x 3 4 333 3 1 2 33 333 1 2 1 ,2 3 2 考点二 反比例函数与一次函数的综合应用 1.(2020宁夏,7,3分)如图,函数y1=x+1与函数y2=的图象相交于点M(1,m),N(-2,n).若y1y2,则x的取值范围是 ( ) A.x-2或0x1 B.x1 C.-2x0或0x1 D.-2x1 2 x 答案答案 D 当y1y2时,函数y1=x+1的
10、图象在函数y2=图象的上方,由题图可知x的取值范围是-2x 1,故选D. 2 x 方法总结方法总结 解决这类题的方法就是数形结合,抓住两个图象的交点的横坐标. 2.(2020内蒙古包头,11,3分)如图,在平面直角坐标系中,直线y=-x+3与x轴、y轴分别交于点A和点B,C是 线段AB上一点,过点C作CDx轴,垂足为D,CEy轴,垂足为E,SBECSCDA=41,若双曲线y=(x0)经过 点C,则k的值为 ( ) A. B. C. D. 3 2 k x 4 3 3 4 2 5 5 2 答案答案 A 由题意知四边形EODC是矩形.已知y=-x+3,令x=0,得y=3,B(0,3),OB=3, 令
11、y=0,则-x+3=0,解得x=2,A(2,0), CDx轴,CDy轴,ACD=CBE,又CDA=BEC, BECCDA. SBECSCDA=41, BECD=21,又OB=3, CD=1, 将y=1代入y=-x+3,得-x+3=1,解得x=, C, 将代入y=(x0),得1=,解得k=. 3 2 3 2 3 2 3 2 4 3 4 ,1 3 4 ,1 3 k x 4 3 k 4 3 3.(2017甘肃兰州,11,4分)如图,反比例函数y=(x0)与一次函数y=x+4的图象交于A,B两点,A,B两点的横 坐标分别为-3,-1,则关于x的不等式x+4(x0)的解集为( ) A.x-3 B.-3x
12、-1 C.-1x0 D.x-3或-1x0 k x k x 答案答案 B 由题意知A,B两点既在一次函数y=x+4的图象上,又在反比例函数y=(x0)的图象上.当x-3 时,反比例函数y=(x0)的图象在一次函数y=x+4图象的上方;当-3x-1时,反比例函数y=(x0)的图象 在一次函数y=x+4图象的下方;当-1x0时,反比例函数y=(x0)的图象在一次函数y=x+4图象的上方,故 选B. k x k x k x k x 思路分析思路分析 分析图象解题,根据“函数值大的图象在上方”写出x的取值范围. 4.(2019江西,5,3分)已知正比例函数y1的图象与反比例函数y2的图象相交于点A(2,
13、4),下列说法正确的是 ( ) A.反比例函数y2的解析式是y2=- B.两个函数图象的另一交点坐标为(2,-4) C.当x-2或0x2时,y1y2 D.正比例函数y1与反比例函数y2都随x的增大而增大 8 x 答案答案 C 设反比例函数的解析式为y2=,k0,将点A(2,4)代入,得4=,k=8,所以反比例函数的解析式为 y2=,故A选项错误;易知反比例函数图象和正比例函数图象的交点关于原点中心对称,所以另一个交点 坐标为(-2,-4),故B选项错误;y1和y2的大致图象如图: 结合函数图象,可知当x-2或0x2时,y10)的图象与x轴和y轴分别交于点A和点B,与反比例函数y= 的图象在第一
14、象限内交于点C,CDx轴,CEy轴,垂足分别为点D,E.当矩形ODCE与OAB的面积相等 时,k的值为 . k x 答案答案 2 解析解析 由一次函数表达式易得A(-k,0),B(0,k), OAB的面积S1=k2.CDx轴,CEy轴, 矩形ODCE的面积S2=xCyC=k,S1=S2,k2=k, k=2(k=0舍去). 1 2 1 2 6.(2019新疆,15,5分)如图,在平面直角坐标系xOy中,已知正比例函数y=-2x与反比例函数y=的图象交于 A(a,-4),B两点.过原点O的另一条直线l与双曲线y=交于P,Q两点(P点在第二象限),若以点A,B,P,Q为顶 点的四边形面积为24,则点
15、P的坐标是 . k x k x 答案答案 (-4,2)或(-1,8) 解析解析 把y=-4代入y=-2x,解得x=2,点A(2,-4).把点A(2,-4)代入y=,解得k=-8,y=-.易知点A与点B关于 原点对称,B点坐标为(-2,4). 反比例函数的图象关于原点O成中心对称,以点A,B,P,Q为顶点的四边形是平行四边形,SPOB=2 4=6.设点P的横坐标为m(m0且m-2),则P. 分别过点P,B作x轴的垂线,垂足为M,N,连接BP. 当m-2时,如图, k x 8 x 1 4 8 ,-m m 点P,B在双曲线上,SPOM=SBON=4, SBON+S梯形PMNB=SPOB+SPOM,S
16、梯形PMNB=SPOB=6, (-2-m)=6, 解得m=-4或m=1(舍去), 1 2 8 4- m P(-4,2). 当-2m0)个单位后,点C和点M平移后的对 应点同时落在另一个反比例函数y=的图象上时,求k的值. 8 x k x 解析解析 (1)令-2x+8=,得x2-4x+4=0(x0),解得x1=x2=2,则y=4,切点C的坐标为(2,4).故填(2,4). (2)由(1)可知C(2,4), 直线y=-2x+8与x轴交于点B, B(4,0), 线段BC的中点M(3,2). 直线AB向左平移m(m0)个单位, 点C平移后的对应点的坐标为(2-m,4), 点M平移后的对应点的坐标为(3
17、-m,2), 平移后的对应点同时落在反比例函数y=的图象上, 解得 k的值是4. 8 x k x 2(3- ), 4(2- ), mk mk 1, 4. m k 8.(2020四川南充,21,10分)如图,反比例函数y=(k0,x0)的图象与y=2x的图象相交于点C,过直线上点A (a,8)作ABy轴交于点B,交反比例函数图象于点D,且AB=4BD. (1)求反比例函数的解析式; (2)求四边形OCDB的面积. k x 解析解析 (1)由点A(a,8)在y=2x的图象上,得a=4, A(4,8).(1分) ABy轴,与反比例函数图象交于点D,且AB=4BD, BD=1,D(1,8).(3分)
18、k=8,反比例函数的解析式为y=.(5分) (2)C是直线y=2x与反比例函数y=(x0)图象的交点, 2x=,又x0,x=2,则C(2,4).(7分) SABO=48=16,(8分) SADC=34=6,(9分) S四边形OCDB=SABO-SADC=10.(10分) 8 x 8 x 8 x 1 2 1 2 9.(2020四川成都,19,10分)在平面直角坐标系xOy中,反比例函数y=(x0)的图象经过点A(3,4),过点A的 直线y=kx+b与x轴、y轴分别交于B,C两点. (1)求反比例函数的表达式; (2)若AOB的面积为BOC的面积的2倍,求此直线的函数表达式. m x 解析解析 (
19、1)反比例函数y=的图象过A(3,4), m=34=12, 反比例函数的表达式为y=. (2)连接OA,当k0时,直线y=kx+b为图中直线l1, 由图象可知,0时,若b0,直线y=kx+b为图中直线l2,过A作ADx轴,垂足为D. =2,=,=,OC2=AD,OB2=OD. 又A(3,4),AD=4,OD=3, B2O=OD=3,OC2=2,B2(-3,0),C2(0,2), y=x+2. 若b0)的图象上,点B 在OA的延长线上,BCx轴,垂足为C,BC与反比例函数的图象相交于点D,连接AC,AD. (1)求该反比例函数的解析式; (2)若SACD=,设点C的坐标为(a,0),求线段BD的
20、长. k x 3 2 解析解析 (1)将(3,2)代入y=中,得2=,解得k=6,所以该反比例函数的解析式为y=(x0). (2)过A作AEBC于点E,延长EA交y轴于点F, 点A的坐标为(3,2), AF=3, k x3 k6 x BCx轴,点C的坐标为(a,0), 点D的坐标为,AE=a-3. SACD=CD AE= (a-3)=, a=6,经检验,a=6是上述分式方程的解. 点D的坐标为(6,1). 设OA所在直线的解析式为y=mx(m0), 将(3,2)代入,得2=3m,解得m=, OA所在直线的解析式为y=x, 当x=6时,y=6=4. 点B的坐标为(6,4). 6 , a a 1
21、2 1 2 6 a 3 2 2 3 2 3 2 3 BD=3. 考点三 反比例函数的实际应用 (2020云南昆明,19,8分)为了做好校园疫情防控工作,校医每天早上对全校办公室和教室进行药物喷洒消 毒,她完成3间办公室和2间教室的药物喷洒要19 min,完成2间办公室和1间教室的药物喷洒要11 min. (1)校医完成一间办公室和一间教室的药物喷洒各要多少时间? (2)消毒药物在一间教室内空气中的浓度y(单位:mg/m3)与时间x(单位:min)的函数关系如图所示.校医进 行药物喷洒时y与x的函数关系式为y=2x,药物喷洒完成后y与x成反比例函数关系,两个函数图象的交点 为A(m,n).当教室
22、空气中的药物浓度不高于1 mg/m3时,对人体健康无危害.校医依次对一班至十一班教室 (共11间)进行药物喷洒消毒,当她把最后一间教室药物喷洒完成后,一班学生能否进入教室?请通过计算 说明. 解析解析 (1)设校医完成一间办公室的药物喷洒要a min,完成一间教室的药物喷洒要b min.(1分) 根据题意得(3分) 解得(4分) 答:校医完成一间办公室的药物喷洒要3 min,完成一间教室的药物喷洒要5 min.(5分) (2)由(1)得,m=5,则n=25=10,A(5,10). 设药物喷洒完成后y与x的函数解析式为y=(k0), 则10=,解得k=50,y=(x5),(7分) 当y1时,即1
23、,解得x50, 115=55 min50 min, 当校医把最后一间教室药物喷洒完成后,一班学生能进入教室.(8分) 3219, 211, ab ab 3, 5. a b k x 5 k50 x 50 x 考点一 反比例函数的图象与性质 教师专用题组 1.(2020湖北武汉,7,3分)若点A(a-1,y1),B(a+1,y2)在反比例函数y=(ky2,则a的取值范围 是( ) A.a-1 B.-1a1 D.a1 k x 答案答案 B k0,反比例函数的图象在第二、四象限,当x0且y随x增大而增大,当x0时, yy2,x1=a-1a+1=x2,点A在第二象限,点B在第四象限,即解得-1a0时,y
24、=0,y=(x0)的图象在第一象限,当x0,y=-(x0,x0)的图象过点C且交线段AB于点D,连接CD,OD,若S OCD= ,则k的值为( ) A.3 B. C.2 D.1 k x 3 2 5 2 答案答案 C 如图,过点C作CEOA于点E,则CEAB,所以OCEOBA.又因为C是OB的中点,所以SO- BA=4SOCE.由反比例函数系数k的几何意义可知SOCE=SOAD=0.5k,所以SOBA=2k,所以SOBD=1.5k.因为SOCD= ,C是OB的中点,所以SOBD=3,所以k=2. 3 2 解后反思解后反思 本题需要借助反比例函数系数k的几何意义以及相似三角形的相关知识解决. 5.
25、(2019湖北武汉,8,3分)已知反比例函数y=的图象分别位于第二、第四象限,A(x1,y1),B(x2,y2)两点在该 图象上.下列命题:过点A作ACx轴,C为垂足,连接OA,若ACO的面积是3,则k=-6;若x10y 2;若x1+x2=0,则y1+y2=0.其中真命题个数是( ) A.0 B.1 C.2 D.3 k x 答案答案 D 由题意可知=3,k0,k=-6,正确;当x0,当x0时,y0,x10y2,正确; 当x1=-x2时,y1=-y2,正确.故选D. | | 2 k 6.(2020云南,4,3分)已知一个反比例函数的图象经过点(3,1),若该反比例函数的图象也经过点(-1,m),
26、则m = . 答案答案 -3 解析解析 点(3,1)和点(-1,m)在同一个反比例函数的图象上,31=-m,则m=-3. 7.(2020陕西,13,3分)在平面直角坐标系中,点A(-2,1),B(3,2),C(-6,m)分别在三个不同的象限.若反比例函数 y=(k0)的图象经过其中两点,则m的值为 . k x 答案答案 -1 解析解析 A(-2,1),B(3,2),A在第二象限,B在第一象限.故A、B不可能同时在反比例函数y=(k0)的图 象上. 若A、C在反比例函数y=(k0)的图象上,则k=-2,m=,C在第二象限,不符合题意,舍去. 若B、C在反比例函数y=(k0)的图象上,则k=6,m
27、=-1,C在第三象限,符合题意.故m=-1. k x k x 1 3 k x 8.(2020黑龙江齐齐哈尔,16,3分)如图,在平面直角坐标系中,矩形ABCD的边AB在y轴上,点C坐标为(2,-2), 并且AOBO=12,点D在函数y=(x0)的图象上,则k的值为 . k x 答案答案 2 解析解析 由矩形的性质知AD=BC,BCAB,ADy轴,由C(2,-2)可得OB=2,BC=AD=2,所以AO=OB=1,所以 D点的坐标为(2,1),将D点坐标代入y=中,得k=21=2. 1 2 k x 9.(2019云南,4,3分)若点(3,5)在反比例函数y=(k0)的图象上,则k= . k x 答
28、案答案 15 解析解析 把点(3,5)代入y=中,得5=,k=15. k x3 k 10.(2019甘肃兰州,15,4分)如图,矩形OABC的顶点B在反比例函数y=(x0)的图象上,S矩形OABC=6,则k= . k x 答案答案 6 解析解析 矩形OABC的面积等于6,BC BA=6,即xy=6,k=6. 11.(2019北京,13,2分)在平面直角坐标系xOy中,点A(a,b)(a0,b0)在双曲线y=上,点A关于x轴的对称点 B在双曲线y=上,则k1+k2的值为 . 1 k x 2 k x 答案答案 0 解析解析 点A(a,b)(a0,b0)在双曲线y=上,k1=ab.点B与点A关于x轴
29、对称,点B坐标为(a,-b),同理 有k2=-ab.k1+k2=0. 1 k x 解题关键解题关键 解决本题的关键是通过表示对称点的坐标求出k1和k2与ab的关系,进而化简得到答案. 12.(2018内蒙古包头,19,3分)以矩形ABCD两条对角线的交点O为坐标原点,以平行于两边的直线为坐标 轴,建立如图所示的平面直角坐标系,BEAC,垂足为E.若双曲线y=(x0)经过点D,则OB BE的值为 . 3 2x 答案答案 3 解析解析 根据题意得,矩形ABCD的顶点B在双曲线y=上,顶点A,C在双曲线y=-上.设AB与x轴交于 点M,BC与y轴交于点N,则SAMO=SCNO=,S矩形BMON=,S
30、ABC=3.OB=BD=AC,BEAC,SABC=BE AC=BE 2OB=3,即OB BE=3. 3 2x 3 2x 3 4 3 2 1 2 1 2 1 2 1 2 13.(2019山西,14,3分)如图,在平面直角坐标系中,点O为坐标原点,菱形ABCD的顶点B在x轴的正半轴上, 点A的坐标为(-4,0),点D的坐标为(-1,4),反比例函数y=(x0)的图象恰好经过点C,则k的值为 . k x 答案答案 16 解析解析 过点D作DEAB于点E, 则AD=5, 四边形ABCD为菱形, CD=5, C(4,4),将C点坐标代入y=得4=, k=16. k x4 k 14.(2019山东潍坊,1
31、5,3分)如图,RtAOB中,AOB=90,顶点A,B分别在反比例函数y=(x0)与y=(x0)与y=(x0)的图象上,函数y=(k3,x0)的图象关于 直线AC对称,且过B,D两点.若AB=2,BAD=30,则k= . 3 x k x 答案答案 6+2 3 解析解析 连接AC,过B作BFx轴于F,过A作AMBF于M.如图. 由双曲线的对称性可知,点A,C是第一象限角平分线上的点,即xA=yA,=3,即xA=,A(,). 根据题意可得CAM=45, BAC=BAD=30=15, BAM=30,BM=AB=2=1. AM=. B(2,1+). 2 A x333 1 2 1 2 1 2 1 2 2
32、2 -AB BM 2 2 -13 33 k=2(1+)=6+2. 333 疑难突破疑难突破 本题的突破口是得到CAM=45,能将点的坐标转化为线段长,构建含30角的RtABM. 16.(2019吉林,17,5分)已知y是x的反比例函数,并且当x=2时,y=6. (1)求y关于x的函数解析式; (2)当x=4时,求y的值. 解析解析 (1)设y=(k0).(1分) 因为x=2时,y=6, 所以6=,(2分) 解得k=12. 因此y=.(3分) (2)把x=4代入y=,得 y=3.(5分) k x 2 k 12 x 12 x 12 4 考点二 反比例函数与一次函数的综合应用 1.(2018四川遂宁
33、,7,4分)已知一次函数y1=kx+b(k0)与反比例函数y2=(m0)的图象如图所示,则当y1y 2时,自变量x满足的条件是( ) A.1x1 D.xy2,根据图象可得当1x3时y1的图象在y2的上方, 自变量x满足的条件是1x0)于点C,D,若AC=BD,则3OD2-OC2的值为( ) A.5 B.3 C.4 D.2 1 x 3 23 答案答案 C 延长BD交y轴于E,延长CA交y轴于F, 设C,D,则FC=n,DE=m, 点A,B在直线y=x上,OF=AF=,OE=BE=, 故BD=BE-DE=-m,AC=FC-AF=n-, BD=AC,=n-, 1 , n n 1 ,m m 1 n 1
34、 m 1 m 1 n 33 1 -m m 1 n 3=,整理得3-=4, 又3OD2=3(OE2+DE2)=3, OC2=FC2+OF2=n2+, 3OD2-OC2=3-=4.故选C. 2 1 -m m 2 1 -n n 2 2 1 m m 2 2 1 n n 2 2 1 m m 2 1 n 2 2 1 m m 2 2 1 n n 3.(2018安徽,13,5分)如图,正比例函数y=kx与反比例函数y=的图象有一个交点A(2,m),ABx轴于点B.平 移直线y=kx,使其经过点B,得到直线l,则直线l对应的函数表达式是 . 6 x 答案答案 y=x-3 3 2 解析解析 将点A的坐标代入y=,
35、可得m=3,将(2,3)代入y=kx,可得k=,因为ABx轴,所以点B(2,0),由平移可 得直线l对应的函数表达式为y=x-3. 6 x 3 2 3 2 4.(2020四川成都,24,4分)在平面直角坐标系xOy中,已知直线y=mx(m0)与双曲线y=交于A,C两点(点A 在第一象限),直线y=nx(n0)交双曲线y=于A、C两点, OA=OC. 直线y=nx(n0)的图象与(1)求得的函数的图象交于A,B两点,O为坐标原点且SAOB=30,求反比 例函数解析式;已知a0,点(a,y2)与(a,y1)分别在反比例函数与(1)求得的函数的图象上,直接写出y2与y1的 大小关系. k x 解析解
36、析 (1)根据题表中的数据发现:y1和x的和为10,y1=10-x,且当x=0时,y1=10, 令y1=0,得x=10,M(10,0),N(0,10). (2)设A(m,10-m),B(n,10-n), 分别过A和B作x轴的垂线,垂足为C和D,如图, SAOB=SAOM-SOBM =10(10-m)-10(10-n)=30, 化简得n-m=6, 令y1=y2,得x2-10 x+k=0, m+n=10,mn=k,n-m=6, 则=6,解得k=16, 反比例函数解析式为y2=, 解x2-10 x+16=0,得x=2或x=8,A(2,8),B(8,2), 1 2 1 2 2 () -4mnmn 2
37、10 -4k 16 x (a,y2)在反比例函数y2=的图象上,(a,y1)在一次函数y1=10-x的图象上,当0a8时,y2y1,当2a 8或a0时,y2的x的取值范围; (2)求这两个函数的表达式; (3)点P在线段AB上,且SAOPSBOP=12,求点P的坐标. 2 k x 2 k x 解析解析 (1)x-1或0x4.(2分) (2)点A(-1,4)在y=的图象上, 4=,(3分) 解得k2=-4. 反比例函数的表达式为y=-.(4分) 点B(4,n)在反比例函数y=-的图象上, n=-=-1, 点B(4,-1), 一次函数的图象过A、B两点, 解得 2 k x 2 -1 k 4 x 4
38、 x 4 4 1 1 -4, 4-1, kb kb 1 -1, 3, k b 一次函数的表达式为y=-x+3.(6分) (3)如图, 设直线y=-x+3与x轴交于点C. 当y=0时,x=3, 点C的坐标为(3,0). SAOB=SAOC+SBOC, SAOB=34+31=.(7分) SAOPSBOP=12, 1 2 1 2 15 2 SBOP=SAOB=5. 点P在线段AB上, 可设P的坐标为(m,-m+3)(-1mOB)的对角线长为5,周长为1 4.若反比例函数y=的图象经过矩形顶点A. (1)求反比例函数解析式;若点(-a,y1)和(a+1,y2)在反比例函数的图象上,试比较y1与y2的大
39、小; (2)若一次函数y=kx+b的图象过点A并与x轴交于点(-1,0),求出一次函数解析式,并直接写出kx+b-0成 立时,对应x的取值范围. m x m x 解析解析 (1)设A点的坐标为(x,y),则x2+y2=25, (x+y)2-2xy=25, 又x+y=7,xy=12, m=12,反比例函数解析式为y=. 当a-1时,a+100y2; 当-1a-时,0a+1-a,此时y1y2; 当-a0时,0-ay2; 当a0时,-a0a+1,此时y10y2. (2)由题意知A(3,4), 又一次函数y=kx+b的图象与x轴交于点(-1,0), 12 x 1 2 1 2 34, -0, kb kb
40、 解得则一次函数的解析式为y=x+1, 由解得 当kx+b-0时,对应的x的取值范围为x-4或0x0)图象上的一点,在x轴正半轴上有一点B,OB =4.连接OA,AB,且OA=AB=2. (1)求k的值; (2)过点B作BCOB,交反比例函数y=(其中x0)的图象于点C,连接OC交AB于点D,求的值. k x 10 k x AD DB 解析解析 (1)过点A作AEOB于E. OA=AB=2,OB=4,OE=BE=OB=2, 在RtOAE中,AE=6, 点A的坐标为(2,6). 点A是反比例函数y=图象上的点,6=,解得k=12. 10 1 2 22 -OA OE 22 (2 10) -2 k
41、x2 k (2)记AE与OC的交点为F. OB=4且BCOB,点C的横坐标为4. 又点C为反比例函数y=图象上的点, 点C的坐标为(4,3), BC=3. 设直线OC的表达式为y=mx,m0,将C(4,3)代入可得m=, 直线OC的表达式为y=x. AEOB,OE=2,点F的横坐标为2, 将x=2代入y=x可得y=,即EF=. AF=AE-EF=6-=. AE,BC都与x轴垂直,AEBC, 12 x 3 4 3 4 3 4 3 2 3 2 3 2 9 2 AFD=BCD,FAD=CBD,ADFBDC, =. AD DB AF BC 3 2 11.(2018甘肃白银,25,10分)如图,一次函数
42、y=x+4的图象与反比例函数y=(k为常数,且k0)的图象交于A (-1,a),B两点,与x轴交于点C. (1)求反比例函数的表达式; (2)若点P在x轴上,且SACP=SBOC,求点P的坐标. k x 3 2 解析解析 (1)一次函数y=x+4的图象经过点A(-1,a), -1+4=a,a=3, A点坐标是(-1,3). 反比例函数y=的图象经过点A(-1,3), k=-13=-3. 反比例函数的表达式是y=-. (2)联立一次函数与反比例函数的解析式得解得 点A的坐标是(-1,3),点B的坐标是(-3,1). 一次函数y=x+4的图象交x轴于点C, C点坐标是(-4,0),CO=4. SB
43、OC=CO|yB|=41=2. k x 3 x 4, 3 -, yx y x 1 1 -1, 3, x y 2 2 -3, 1. x y 1 2 1 2 点P在x轴上,设点P的坐标是(x,0). CP=|x-(-4)|=|x+4|, ACP中CP边上的高就是A点的纵坐标的绝对值,即为3. SACP=CP|yA|=|x+4|3. SACP=SBOC,|x+4|3=2, |x+4|=2,即x+4=2或x+4=-2, x=-2或x=-6, 点P的坐标是(-2,0)或(-6,0). 1 2 1 2 3 2 1 2 3 2 思路分析思路分析 (1)将点A的坐标代入一次函数解析式中求出A点坐标,然后将A点
44、坐标代入反比例函数解析 式中可求k; (2)设出点P的坐标,然后求出BOC的面积,建立方程可求出P点坐标. 12.(2018山西,17,8分)如图,一次函数y1=k1x+b(k10)的图象分别与x轴,y轴相交于点A,B,与反比例函数y2= (k20)的图象相交于点C(-4,-2),D(2,4). (1)求一次函数和反比例函数的表达式; (2)当x为何值时,y10? (3)当x为何值时,y10,得x+20.(5分) x-2. 当x-2时,y10.(6分) 1 1 -4-2, 24. kb kb 1 1, 2. k b 2 k x 2 2 k 8 x (3)x-4或0x2.(8分) 提示:利用两函
45、数图象交点坐标及图象的位置关系知,当y1y2时,xxC或0x0)与直线AB相交于点M,与反比例函数y=的图象相交于点N,若MN=4,求m的值; (3)直接写出不等式x的解集. k x k x 6 -5x 解析解析 (1)点A(-3,a)在直线y=2x+4上, a=2(-3)+4=-2. 点A(-3,-2)在y=的图象上,k=6. (2)点M是直线y=m与直线AB的交点, M. 点N是直线y=m与反比例函数y=的图象的交点,N. MN=xN-xM=-=4或MN=xM-xN=-=4. 解得m=2或m=-6或m=64, m0,m=2或m=6+4. (3)x-1或5x0,则C, 1 2 1 2 k x
46、 8 x 1 , 2 8 yx y x 8 ,m m 1 , 2 mm 可得PC=, 又POC中PC边上的高为m, SPOC=m=3, m2=28或4, m=2或2, 8 - 2 m m 1 2 8 - 2 m m 7 P或P(2,4). 4 7 2 7, 7 考点三 反比例函数的实际应用 1.(2020湖南长沙,5,3分)2019年10月,长沙晚报对外发布长沙高铁西站设计方案.该方案以“三湘四 水,杜娟花开”为设计理念,塑造出“杜娟花开”的美丽姿态.该高铁站建设初期需要运送大量土石方.某 运输公司承担了运送总量为106 m3土石方的任务,该运输公司平均运送土石方的速度v(单位:m3/天)与完
47、 成运送任务所需时间t(单位:天)之间的函数关系式是( ) A.v= B.v=106t C.v=t2 D.v=106t2 6 10 t 6 1 10 答案答案 A 因为平均运送速度=,所以运输公司平均运送土石方的速度v m3/天与完成运送任务 所需时间t天之间的函数关系式是v=,故选A. 运送总量 运送时间 6 10 t 2.(2019浙江温州,6,4分)验光师测得一组关于近视眼镜的度数y(度)与镜片焦距x(米)的对应数据如下表. 根据表中数据,可得y关于x的函数表达式为( ) 近视眼镜的度数y(度) 200 250 400 500 1 000 镜片焦距x(米) 0.50 0.40 0.25 0.20 0.10 A.y= B.y= C.y= D.y= 100 x100 x400 x400 x 答案答案 A 由
