1、 中考数学 （江苏专用） 4.5 特殊的平行四边形 考点1 矩形 A组 20162020年江苏中考题组 1.(2018连云港,16,3分)如图,E、F、G、H分别为矩形ABCD的边AB、BC、CD、DA的中点,连接AC、 HE、EC、GA、GF,已知AGGF,AC=,则AB的长为 . 6 答案答案 2 解析解析 如图,连接BD. 四边形ABCD是矩形, ADC=DCB=90,AC=BD=, CG=DG,CF=FB,GF=BD=, AGFG,AGF=90, AGD+CGF=90,又DAG+AGD=90, DAG=CGF,ADGGCF,=, 设CF=BF=a,CG=DG=b, 6 1 2 6 2
2、AD GC DG CF =,b2=2a2, a0,b0,b=a, 在RtGCF中,CF2+CG2=GF2,即3a2=, a=,b=1,AB=2b=2. 2a b b a 2 6 4 2 2 思路分析思路分析 连接BD.由ADGGCF,可得=,设CF=BF=a,CG=DG=b,即=,可得b=a,在 RtGCF中,利用勾股定理求出a,即可解决问题. AD GC DG CF 2a b b a 2 解题关键解题关键 本题考查中点四边形、矩形的性质、相似三角形的判定和性质、勾股定理等知识,解题的 关键是综合运用所学知识,连接对角线,运用相似、勾股定理列出方程解决问题. 2.(2019连云港,22,10分
3、)如图,在ABC中,AB=AC.将ABC沿着BC方向平移得到DEF,其中点E在边BC 上,DE与AC相交于点O. (1)求证:OEC为等腰三角形; (2)连接AE、DC、AD,当点E在什么位置时,四边形AECD为矩形?并说明理由. 解析解析 (1)证明:AB=AC,B=ACB, ABC沿着BC方向平移得到DEF,ABDE, B=DEC,ACB=DEC, OE=OC,即OEC为等腰三角形. (2)当E为BC的中点时,四边形AECD是矩形. 理由:AB=AC,E为BC的中点, AEBC,BE=EC, ABC沿着BC方向平移得到DEF, BEAD,BE=AD,ADEC,AD=EC, 四边形AECD是
4、平行四边形, AEBC,四边形AECD是矩形. 3.(2017徐州,23,8分)如图,在ABCD中,点O是边BC的中点,连接DO并延长,交AB的延长线于点E,连接 BD,EC. (1)求证:四边形BECD是平行四边形; (2)若A=50,则当BOD= 时,四边形BECD是矩形. 解析解析 (1)证明:四边形ABCD为平行四边形, ABDC,AB=CD,OEB=ODC, 又O为BC的中点,BO=CO, 在BOE和COD中, BOECOD(AAS), OE=OD,四边形BECD是平行四边形. (2)若A=50,则当BOD=100时,四边形BECD是矩形.理由如下:四边形ABCD是平行四边形, BC
5、D=A=50, BOD=BCD+ODC, ODC=100-50=50=BCD,OC=OD, BO=CO,OD=OE,DE=BC, 又四边形BECD是平行四边形, , , , OEBODC BOECOD BOCO 四边形BECD是矩形. 4.(2020无锡,27,10分)如图,在矩形ABCD中,AB=2,AD=1,点E为边CD上的一点(与C、D不重合),四边形 ABCE关于直线AE的对称图形为四边形ANME,延长ME交AB于点P,记四边形PADE的面积为S. (1)若DE=,求S的值; (2)设DE=x,求S关于x的函数表达式. 3 3 解析解析 (1)四边形ABCD是矩形, D=90,ABCD
6、. 在RtAED中,DE=,AD=1,tanAED=,AE=,AED=60,ABCD,BAE=60, 四边形ABCE与四边形ANME关于直线AE对称, AEC=AEM,PEC=DEM,AEP=AED=60,APE为等边三角形,S=+ 1=. (2)过点E作EFAB于点F,则四边形ADEF是矩形,由(1)可知,AEP=AED=PAE, AP=PE,设AP=PE=a,AF=ED=x,PF=a-x, EF=AD=1, 在RtPEF中,(a-x)2+1=a2,解得a=, 3 3 3 2 3 3 3 4 2 2 3 3 1 2 3 3 3 2 2 1 2 x x S= x 1+ 1=x+. 1 2 1
7、2 2 1 2 x x 1 2 2 1 4 x x 解题关键解题关键 本题考查了矩形的判定和性质、轴对称的性质、锐角三角函数、等边三角形的判定和性质 等知识点,熟练掌握勾股定理、等边三角形面积的求法是解题的关键. 5.(2020连云港,27,12分) (1)如图1,点P为矩形ABCD对角线BD上一点,过点P作EFBC,分别交AB、CD于点E、F,若BE=2,PF=6, AEP的面积为S1,CFP的面积为S2,则S1+S2= ; (2)如图2,点P为ABCD内一点(点P不在BD上),点E、F、G、H分别为各边的中点.设四边形AEPH的面 积为S1,四边形PFCG的面积为S2(其中S2S1),求P
8、BD的面积(用含S1、S2的代数式表示); (3)如图3,点P为ABCD内一点(点P不在BD上),过点P作EFAD,HGAB,与各边分别相交于点E、F、 G、H.设四边形AEPH的面积为S1,四边形PGCF的面积为S2(其中S2S1),求PBD的面积(用含S1、S2的代 数式表示); (4)如图4,点A、B、C、D把O四等分.请你在圆内选一点P(点P不在AC、BD上),设PB、PC、围成 BC 的封闭图形的面积为S1,PA,PD,围成的封闭图形的面积为S2,PBD的面积为S3,PAC的面积为S4.根 据你选的点P的位置,直接写出一个含有S1、S2、S3、S4的等式(写出一种情况即可). AD
9、解析解析 (1)12.(2分) 提示:SAPB=SBPC=SPFC+SEPB,SAEP=SPFC,S1+S2=2SPFC=12. (2)如图1,连接PA、PC, 图1 在APB中,点E是AB的中点, 可设SAPE=SBPE=a. 同理设SBPF=SCPF=b,SCPG=SDPG=c,SDPH=SAPH=d,所以SDPH=SAPH=S1-a. 因为S四边形AEPH+S四边形PFCG=SAPE+SAPH+SCPF+SCPG=a+b+c+d, S四边形EBFP+S四边形HPGD=SBPE+SBPF+SDPG+SDPH=a+b+c+d, 所以S四边形EBFP+S四边形HPGD=S四边形AEPH+S四边
10、形PFCG=S1+S2, 所以SABCD=2(S1+S2), 所以SABD=SABCD=S1+S2, SPBD=SABD-(S1+SBPE+SPDH)=(S1+S2)-(S1+a+S1-a)=S2-S1.(6分) (3)易证四边形EBGP,四边形HPFD是平行四边形. 所以S四边形EBGP=2SEBP,S四边形HPFD=2SHPD, 所以SABD=SABCD=(S1+S2+2SEBP+2SHPD)=(S1+S2)+SEBP+SHPD. SPBD=SABD-(S1+SEBP+SHPD)=(S2-S1).(9分) (4)答案不唯一,如: 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 如图2或图3,此时|
11、S1-S2|=S3+S4; 如图4或图5,此时|S1-S2|=|S3-S4|.(12分) 图2 图3 图4 图5 6.(2017宿迁,26,10分)如图,在矩形纸片ABCD中,已知AB=1,BC=,点E在边CD上移动,连接AE,将多边形 ABCE沿直线AE翻折,得到多边形ABCE,点B、C的对应点分别为点B、C. (1)当BC恰好经过点D时(如图1),求线段CE的长; (2)若BC分别交边AD,CD于点F,G,且DAE=22.5(如图2),求DFG的面积; (3)在点E从点C移动到点D的过程中,求点C运动的路径长. 3 解析解析 (1)如题图1,设CE=EC=x,则DE=1-x, ADB+ED
12、C=90,BAD+ADB=90, BAD=EDC, 又B=C=90,ADBDEC,=, AB=AB=1,AD=,DB=, =,x=-2,CE=-2. (2)如题图2, BAD=B=D=90,DAE=22.5, EAB=EAB=67.5, BAF=BFA=45, DFG=AFB=DGF=45,DF=DG. 在RtABF中,AB=FB=1, AD DE DB EC 33-12 3 1-x 2 x 66 AF=AB=, DF=DG=-, SDFG=(-)2=-. (3)如图,以点A为圆心,AC长为半径画弧,点C运动的路径长为的长, 在RtADC中,tanDAC=, DAC=30,AC=2CD=2,
13、CAD=DAC=30,CAC=60, 的长=. 22 32 1 2 32 5 2 6 CC CC CD AD 3 3 CC 60 2 180 2 3 解题关键解题关键 本题考查矩形的性质、相似三角形的判定和性质、勾股定理、弧长公式等知识,解题的关 键是正确寻找相似三角形. 7.(2017无锡,28,8分)如图,已知矩形ABCD中,AB=4,AD=m,动点P从点D出发,在边DA上以每秒1个单位的 速度向点A运动,连接CP,作点D关于直线PC的对称点E,设点P的运动时间为t(s). (1)若m=6,求当P、E、B三点在同一直线上时对应的t的值; (2)已知m满足:在动点P从点D到点A的整个运动过程
14、中,有且只有一个时刻t,使点E到直线BC的距离等于 3,求所有这样的m的取值范围. 解析解析 (1)如图,设PD=t,则PA=6-t. 由题意知EPC=DPC, P、E、B三点共线,BPC=DPC, ADBC,DPC=PCB, BPC=PCB,BP=BC=6, 在RtABP中,AB2+AP2=PB2,42+(6-t)2=62, 解得t=6-2或6+2(舍去),PD=6-2, 当t=6-2时,P、E、B三点共线. 555 5 (2)如图,当点P与点A重合,点E在BC的下方,点E到直线BC的距离为3时, 作EQBC于Q,EMDC交DC的延长线于M,则EQ=3,CE=DC=4. 易证四边形EMCQ是
15、矩形, CM=EQ=3,M=90, EM=, 易知DAC=EDM,又ADC=M, ADCDME, 22 -EC CM 22 4 -37 =,即=,AD=4. 如图,当点P与点A重合,点E在BC的上方,点E到直线BC的距离为3时, 作EQBC交CB的延长线于Q,延长QE交DA的延长线于M,则EQ=3,CE=DC=4. 在RtECQ中,QC=DM=, 易证DMECDA, =,即=,AD=. 综上所述,在动点P从点D到点A的整个运动过程中,有且只有一个时刻t,使点E到直线BC的距离等于3,所 AD DM DC EM7 AD4 7 7 22 4 -37 DM CD EM AD 7 4 1 AD 4 7
16、 7 有这样的m的取值范围为m4. 4 7 7 7 思路分析思路分析 (1)设PD=t,则PA=6-t.首先证明BP=BC=6,在RtABP中利用勾股定理即可解决问题; (2)分两种情形求出AD的值即可解决问题:当点P与点A重合,点E在BC的下方,点E到直线BC的距离为3 时;当点P与点A重合,点E在BC的上方,点E到直线BC的距离为3时. 8.(2019苏州,27,10分)已知矩形ABCD中,AB=5 cm,点P为对角线AC上的一点,且AP=2 cm.如图,动点 M从点A出发,在矩形边上沿着ABC的方向匀速运动(不包含点C).设动点M的运动时间为t(s),APM 的面积为S(cm2),S与t
17、的函数关系如图所示. (1)直接写出动点M的运动速度为 cm/s,BC的长度为 cm; (2)如图,动点M重新从点A出发,在矩形边上按原来的速度和方向匀速运动.同时,另一个动点N从点D出 发,在矩形边上沿着DCB的方向匀速运动,设动点N的运动速度为v(cm/s).已知两动点M,N经过时间x (s)在线段BC上相遇(不包含点C),动点M,N相遇后立即同时停止运动,记此时APM与DPN的面积分别 为S1(cm2),S2(cm2). 求动点N运动速度v(cm/s)的取值范围; 试探究S1 S2是否存在最大值.若存在,求出S1 S2的最大值并确定运动时间x的值;若不存在,请说明理由. 5 解析解析 (
18、1)2;10. (2)动点M,N相遇后停止运动, 动点M和动点N运动的距离之和为AB+BC+DC=20(cm). 又动点M,N的运动速度分别是2(cm/s),v(cm/s),且两个动点的运动时间为x(s), 2x+xv=20,v+2=. 动点M,N在线段BC上相遇(不包含点C), 52x15,解得x. 设y=,x,由反比例函数的图象和性质得y8,即v+28,v6. 答:动点N运动速度v(cm/s)的取值范围为v6. 解法一:过点P作PQAD于点Q,PHBC于点H. 易知P、Q、H在一条直线上且QHAB. 20 x 5 2 15 2 20 x 5 2 15 2 8 3 8 3 2 3 2 3 A
19、D=10,CD=5,AC=5. PQAD,ADC=90, PQCD,APQACD, =,AP=2, PQ=2,AQ=4,PH=3,DQ=6. 动点M,N在线段BC上相遇(不包含点C), S1=SABC-SMPC-SMAB =105-3(15-2x)-(2x-5)5=-2x+15, S2=SDCP+SMCP-SDCM =56+3(15-2x)-5(15-2x)=2x, S1 S2=(-2x+15) 2x=-4x2+30 x=-4+. 5 AP AC PQ CD AQ AD 5 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 2 15 - 4 x 225 4 -40,且0). PA=PB,BE=E
20、C=a,PEAC,BJ=JH, 四边形ABCD是菱形, ACBD,BH=DH=,BJ=, PEBD, BJE=EOF=PEF=90, 10 3 10 6 EBJ=FEO,BJEEOF, =,=, a=,BC=2a=.故选A. BE EF BJ EO2 10 a 10 6 2 5 3 10 3 解后反思解后反思 本题考查菱形的性质,相似三角形的判定和性质,垂线段最短等知识.解题的关键是理解题意, 添加辅助线,构造相似三角形.属于中考选择题中的压轴题,有一定难度. 4.(2020淮安,14,3分)菱形的两条对角线长分别为6和8,则这个菱形的边长为 . 答案答案 5 解析解析 菱形的对角线互相垂直平
21、分, 菱形的边长为=5. 22 34 5.(2020无锡,14,3分)如图,在菱形ABCD中,B=50,点E在CD上,若AE=AC,则BAE= . 答案答案 115 解析解析 四边形ABCD是菱形,B=50, ABCD,BA=BC, BAC=BCA=ACD=65, AE=AC, ACE=AEC=65, BAE=180-AEC=115. 6.(2018镇江,12,2分)如图,点E、F、G分别在菱形ABCD的边AB,BC,AD上,AE=AB,CF=CB,AG=AD. 已知EFG的面积等于6,则菱形ABCD的面积等于 . 1 3 1 3 1 3 答案答案 27 解析解析 在CD上取一点H,使得CH=
22、CD. 连接FH,HG.连接AC,BD,交于点O,BD交EF于Q,EG交AC于P. =, EGBD,同理可证FHBD, EGFH,同理可证EFGH, 四边形EFHG是平行四边形. 四边形ABCD是菱形,ACBD, 1 3 AE AB AG AD EFEG, 四边形EFHG是矩形, 易证点O在线段FG上,四边形EQOP是矩形, SEFG=6,S矩形EQOP=3,即OP OQ=3, OPOA=BEAB=23, OA=OP,同理可证OB=3OQ, S菱形ABCD=AC BD= 3OP 6OQ=9OP OQ=27. 3 2 1 2 1 2 7.(2016南京,16,2分)如图,菱形ABCD的面积为12
23、0 cm2,正方形AECF的面积为50 cm2,则菱形的边长为 cm. 答案答案 13 解析解析 连接BE,EF,FD,AC, 菱形、正方形为轴对称图形,对角线所在直线是其对称轴,B,E,F,D在同一条直线上, S正方形AECF=AC EF=AC2=50 cm2, AC=10 cm, S菱形ABCD=AC BD=120 cm2,BD=24 cm. 设AC,BD的交点为O,由菱形的性质可得ACBD,AO=5 cm,OB=12 cm,AB=13 cm. 1 2 1 2 1 2 22 OAOB 22 512 解题关键解题关键 本题考查了四边形的综合问题,熟悉正方形和菱形的性质,会用勾股定理求线段的长
24、度是解 题的关键,属中档题. 8.(2019宿迁,22,8分)如图,矩形ABCD中,AB=4,BC=2,点E、F分别在AB、CD上,且BE=DF=. (1)求证:四边形AECF是菱形; (2)求线段EF的长. 3 2 解析解析 (1)证明:在矩形ABCD中,AB=4,BC=2, CD=AB=4,AD=BD=2,CDAB,D=B=90, BE=DF=,CF=AE=4-=, 易证ADFCBE, AF=CE=, AF=CF=CE=AE=, 四边形AECF是菱形. (2)过F作FHAB于H, 则四边形AHFD是矩形, AH=DF=,FH=AD=2,EH=-=1, EF=. 3 2 3 2 5 2 2
25、2 3 2 2 5 2 5 2 3 2 5 2 3 2 22 FHHE 22 215 9.(2017盐城,22,10分)如图,矩形ABCD中,ABD、CDB的平分线BE、DF分别交边AD、BC于点E、F. (1)求证:四边形BEDF是平行四边形; (2)当ABE为多少度时,四边形BEDF是菱形?请说明理由. 解析解析 (1)证明:四边形ABCD是矩形, ABDC,ADBC, ABD=CDB, BE平分ABD,DF平分BDC, EBD=ABD,FDB=CDB, EBD=FDB,BEDF, 又ADBC,四边形BEDF是平行四边形. (2)当ABE=30时,四边形BEDF是菱形. 理由如下:BE平分
26、ABD, ABD=2ABE=60,EBD=ABE=30, 四边形ABCD是矩形,A=90, EDB=90-ABD=30, EDB=EBD=30,EB=ED, 又四边形BEDF是平行四边形, 1 2 1 2 四边形BEDF是菱形. 解题关键解题关键 本题主要考查矩形的性质,平行四边形、菱形的判定,熟练掌握矩形的性质、平行四边形的 判定与菱形的判定是解题的关键. 10.(2018盐城,21,8分)在正方形ABCD中,对角线BD所在的直线上有两点E、F满足BE=DF,连接AE,AF, CE,CF,如图所示. (1)求证:ABEADF; (2)试判断四边形AECF的形状,并说明理由. 解析解析 (1)
27、证明:四边形ABCD为正方形,AB=AD, ABD=ADB,ABE=ADF, 在ABE与ADF中, ABEADF(SAS). (2)四边形AECF是菱形. 理由:连接AC,与EF相交于点O. 四边形ABCD是正方形, OA=OC,OB=OD,ACEF, OB+BE=OD+DF,即OE=OF, OA=OC,OE=OF, 四边形AECF是平行四边形, ACEF,四边形AECF是菱形. , , , ABAD ABEADF BEDF 11.(2019南京,26,9分)如图,在RtABC中,C=90,AC=3,BC=4.求作菱形DEFG,使点D在边AC上, 点E、F在边AB上,点G在边BC上. 图 小明
28、的作法 1.如图,在边AC上取一点D,过点D作DGAB交BC于点G. 2.以点D为圆心,DG长为半径画弧,交AB于点E,连接DE. 3.在EB上截取EF=ED,连接FG,则四边形DEFG为所求作的菱形. 图 (1)证明小明所作的四边形DEFG是菱形; (2)小明进一步探索,发现可作出的菱形的个数随着点D的位置变化而变化请你继续探索,直接写出 菱形的个数及对应的CD的长的取值范围. 解析解析 (1)证明:DG=DE,DE=EF,DG=EF. 又DGEF,四边形DEFG是平行四边形. 又DE=EF,DEFG是菱形.(3分) (2)当0CD或CD3时,菱形的个数为0; 当CD=或CD时,菱形的个数为
29、1; 当CD时,菱形的个数为2.(9分) 详解:如图1,当四边形DEFG是正方形时,设正方形的边长为x. 36 37 4 3 36 37 9 8 4 3 36 37 9 8 图1 在RtABC中,C=90,AC=3,BC=4, AB=5, 则CD=x,易得AD=x, AD+CD=AC,x+x=3, 22 34 3 5 5 4 3 5 5 4 x=,CD=x=, 观察图形可知,当0CD时,菱形的个数为0. 如图2,当四边形DAEG是菱形时,设菱形的边长为m. 图2 60 37 3 5 36 37 36 37 DGAB,=,=, 解得m=,CD=3-=. 如图3,当四边形DEBG是菱形时,设菱形的
30、边长为n. 图3 CD CA DG AB 3- 3 m 5 m 15 8 15 8 9 8 DGAB,=,=, n=,CG=4-=, CD=. 综上可知:当0CD或CD3时,菱形的个数为0; 当CD=或CD时,菱形的个数为1; 当CD时,菱形的个数为2. CG CB DG AB 4- 4 n 5 n 20 9 20 9 16 9 22 2016 - 99 4 3 36 37 4 3 36 37 9 8 4 3 36 37 9 8 疑难突破疑难突破 本题考查相似三角形的判定和性质,菱形的判定和性质,根据菱形的性质作图,找到分界点,是 解决问题的突破口,题目具有一定难度. 考点3 正方形 1.(2
31、016宿迁,7,3分)如图,把正方形纸片ABCD沿对边中点所在的直线对折后展开,折痕为MN;再过点B折 叠纸片,使点A落在MN上的点F处,折痕为BE.若AB的长为2,则FM的长为 ( ) A.2 B. C. D.1 32 答案答案 B 由条件,得BM=1,BF=2,所以在RtBMF中,FM=.故选B. 22 2 -1 3 2.(2020常州,17,2分)如图,点C在线段AB上,且AC=2BC,分别以AC、BC为边在线段AB的同侧作正方形 ACDE、BCFG,连接EC、EG,则tanCEG= . 答案答案 1 2 解析解析 连接CG.设BC=a,则AC=2a, 四边形ACDE为正方形, EC=2
32、a,ECD=ACD=45, 同理,CG=a,GCD=BCD=45,ECG=90, tanCEG=. 22 (2 )(2 )aa2 1 2 2 1 2 CG CE 2 2 2 a a 1 2 3.(2019苏州,15,3分)“七巧板”是我们祖先的一项卓越创造,可以拼出许多有趣的图形,被誉为“东方魔 板”.图是由边长为10 cm的正方形薄板分为7块制作成的“七巧板”,图是用该“七巧板”拼成的 一个“家”的图形.该“七巧板”中7块图形之一的正方形边长为 cm(结果保留根号). 答案答案 5 2 2 解析解析 如图,由题意得M是BC的中点,BC=10 cm,所以BM=MC=5 cm,易得三角形BME是
33、等腰直角三角形, 故BE=ME= cm. 故所求正方形边长为 cm. 5 2 2 5 2 2 4.(2019无锡,18,2分)如图,在ABC中,AB=AC=5,BC=4,D为边AB上一动点(B点除外),以CD为一边作 正方形CDEF,连接BE,则BDE面积的最大值为 . 5 答案答案 8 解析解析 过点C作CGBA交BA的延长线于点G,过点E作EHBG于点H,过点A作AMBC于点M. AB=AC=5,BC=4,BM=CM=2, 易证AMBCGB, =,即=,GB=8. 设BD=x(00),则ED=FH=4-a, SAEF=AE FH=a(4-a)=-(a-2)2+2, 当AE=2时,AEF的面
34、积最大. , , , FEHDCE FHED EFCE 1 2 1 2 1 2 解题关键解题关键 本题考查了正方形的性质、矩形的性质以及全等三角形的判定和性质等知识点,熟记全等 三角形的各种判定方法是解题的关键. 考点1 矩形 B组 20162020年全国中考题组 1.(2017甘肃兰州,8,4分)如图,矩形ABCD的对角线AC与BD相交于点O,ADB=30,AB=4,则OC=( ) A.5 B.4 C.3.5 D.3 答案答案 B 因为四边形ABCD为矩形,所以AC=BD,OC=AC.已知ADB=30,故在直角三角形ABD中, BD=2AB=8,所以AC=8,所以OC=AC=4,故选B. 1
35、 2 1 2 2.(2020广东广州,10,3分)如图,矩形ABCD的对角线AC,BD交于点O,AB=6,BC=8,过点O作OEAC,交AD 于点E,过点E作EFBD,垂足为F,则OE+EF的值为( ) A. B. C. D. 48 5 32 5 24 5 12 5 答案答案 C 四边形ABCD为矩形, ABC=90,ADBC,OA=OD,AC=10,sinACB=. ADBC,OA=OD,ODA=DAO=ACB. sinODA=sinDAO=sinACB=. 在RtAOE和RtDEF中,OE=AE sinOAD=AE,EF=DE sinODA=DE, OE+EF=AE+DE=(AE+DE)=
36、AD=8=.故选C. 22 ABBC 22 68 AB AC 6 10 3 5 3 5 3 5 3 5 3 5 3 5 3 5 3 5 3 5 24 5 一题多解一题多解 连接CE.由DEF=AEO=CEO,得OEF=CED,OEFCED,=sin DAC=.=,OE+EF=(EC+DE)=AD=. OE EC EF DE 3 5 OEEF ECDE 3 5 3 5 3 5 24 5 3.(2020云南,6,3分)已知四边形ABCD是矩形,点E是矩形ABCD的边上的点,且EA=EC.若AB=6,AC=2, 则DE的长是 . 10 答案答案 或 8 3 2 34 3 解析解析 四边形ABCD是矩
37、形,DC=AB=6,ADC=90, 在RtADC中,AD=2. 当点E在DC边上时,如图1,设EA=EC=x, 则DE=6-x,在RtADE中,AD2+DE2=AE2, 22+(6-x)2=x2,x=,DE=. 图1 当点E在AB边上时,如图2,易求得AE=, 22 -AC DC40-36 10 3 8 3 10 3 在RtADE中,DE=. DE的长为或. 图2 22 AEAD 2 34 3 8 3 2 34 3 解后反思解后反思 本题主要考查矩形的性质,勾股定理以及分类讨论的思想,因为点E的位置不确定,需根据EA =EC,讨论点E在边AB和边DC上的情况,分别求DE的长. 4.(2018四
38、川成都,14,4分)如图,在矩形ABCD中,按以下步骤作图:分别以点A和C为圆心,以大于AC的 长为半径作弧,两弧相交于点M和N;作直线MN交CD于点E.若DE=2,CE=3,则矩形的对角线AC的长为 . 1 2 答案答案 30 解析解析 如图,连接AE,由作图方法得MN垂直平分AC,EA=EC=3. 在RtADE中,AD=. 在RtADC中,AC=. 22 -AE DE 22 3 -25 22 ADDC 22 ( 5)530 思路分析思路分析 连接AE,根据题中的作图方法,可得MN垂直平分AC,则EA=EC=3,用勾股定理先计算出AD,再 计算出AC,得解. 解题关键解题关键 本题考查了矩形
39、的性质,基本作图(作已知线段的垂直平分线),勾股定理,识别基本作图并熟 练应用勾股定理计算是解题的关键. 考点2 菱形 1.(2020四川南充,7,4分)如图,面积为S的菱形ABCD中,点O为对角线的交点,点E是线段BC的中点,过点E 作EFBD于F,EGAC于G,则四边形EFOG的面积为( ) A.S B.S C.S D.S 1 4 1 8 1 12 1 16 答案答案 B 四边形ABCD是菱形, ACBD,SOBC=S, EFBD,EGAC, 四边形EFOG是矩形, EFOC,EGOB, 点E是线段BC的中点, EF、EG都是OBC的中位线, S四边形EFOG=SOBC=S. 故选B. 1
40、 4 1 2 1 8 2.(2019河北,5,3分)如图,菱形ABCD中,D=150,则1=( ) A.30 B.25 C.20 D.15 答案答案 D 四边形ABCD是菱形,D+BAD=180,AC平分BAD, D=150,BAD=30, 1=15,故选D. 3.(2019天津,8,3分)如图,四边形ABCD为菱形,A,B两点的坐标分别是(2,0),(0,1),点C,D在坐标轴上,则菱形 ABCD的周长等于( ) A. B.4 C.4 D.20 53 5 答案答案 C 由点A,B的坐标可得OA=2,OB=1,根据勾股定理可得AB=,由菱形的性质可得 AB=AD=CD=CB=, 所以菱形ABC
41、D的周长等于4,故选C. 22 OAOB 5 5 5 4.(2016宁夏,5,3分)菱形ABCD的对角线AC,BD相交于点O,E,F分别是AD,CD边上的中点,连接EF.若EF= ,BD=2,则菱形ABCD的面积为 ( ) A.2 B.4 C.6 D.8 2 2222 答案答案 A 因为E,F分别是AD,CD边上的中点,所以EFAC,且EF=AC,所以AC=2EF=2.所以S菱形ABCD =AC BD=22=2.故选A. 1 2 2 1 2 1 2 22 5.(2020广东广州,23,12分)如图,ABD中,ABD=ADB. (1)作点A关于BD的对称点C;(要求:尺规作图,不写作法,保留作图
42、痕迹) (2)在(1)所作的图中,连接BC,DC,连接AC,交BD于点O. 求证:四边形ABCD是菱形; 取BC的中点E,连接OE,若OE=,BD=10.求点E到AD的距离. 13 2 解析解析 (1)如图即为所求作的对称点C. (2)证明:ABD=ADB,AB=AD. C点与A点关于直线BD对称,AC与BD交于点O, AOBD,AO=OC, BO=OD. 四边形ABCD是平行四边形. 又AB=AD,四边形ABCD是菱形. 过点E作EFAD,交AD的延长线于点F. 四边形ABCD为菱形,BO=OD=BD=5,AB=2OE=13. 在RtAOB中,AO=12, AC=2AO=24. S菱形ABC
43、D=AC BD=AD EF, 1 2 22 -AB BO 22 13 -5 1 2 2410=13EF, EF=. 点E到AD的距离为. 1 2 120 13 120 13 6.(2017北京,22,5分)如图,在四边形ABCD中,BD为一条对角线,ADBC,AD=2BC,ABD=90,E为AD的 中点,连接BE. (1)求证:四边形BCDE为菱形; (2)连接AC,若AC平分BAD,BC=1,求AC的长. 解析解析 (1)证明:E为AD的中点, AD=2ED. AD=2BC,ED=BC. ADBC, 四边形BCDE为平行四边形. 又在ABD中,E为AD的中点,ABD=90, BE=ED,BC
44、DE为菱形. (2)设AC与BE交于点H,如图. ADBC,DAC=ACB. AC平分BAD,BAC=DAC, BAC=ACB,BA=BC, 由(1)可知,BE=AE=BC, AB=BE=AE,ABE为等边三角形, BAC=30,ACBE,AH=CH. 在RtABH中,AH=AB cosBAH=, AC=2AH=. 3 2 3 考点3 正方形 1.(2018天津,11,3分)如图,在正方形ABCD中,E,F分别为AD,BC的中点,P为对角线BD上的一个动点,则下 列线段的长等于AP+EP最小值的是( ) A.AB B.DE C.BD D.AF 答案答案 D 在正方形ABCD中,连接CE、PC.
45、 点A与点C关于直线BD对称,AP=CP, AP+EP的最小值为EC的长. E,F分别为AD,BC的中点, DE=BF=AD. AB=CD,ABF=ADC=90, ABFCDE.AF=CE.故选D. 1 2 思路分析思路分析 点A关于直线BD的对称点为点C,连接CE,AP+EP的最小值就是线段CE的长;通过证明CDE ABF,得CE=AF,即可得到PA+PE的最小值等于线段AF的长. 解后反思解后反思 本题考查轴对称、正方形的性质,主要依据“两点之间线段最短”.只要作出点A(或点E)关 于直线BD的对称点C(或点G),再连接EC(或AG),所得的线段长为两条线段和的最小值. 2.(2019天津
46、,17,3分)如图,正方形纸片ABCD的边长为12,E是边CD上一点,连接AE.折叠该纸片,使点A落 在AE上的G点,并使折痕经过点B,得到折痕BF,点F在AD上.若DE=5,则GE的长为 . 答案答案 49 13 解析解析 根据题意可知DAE+BAE=90,BFAE,BAE+ABF=90,DAE=ABF,四边形 ABCD是正方形,AD=AB,BAF=D=90,AFBDEA,AF=DE=5,AD=12,根据勾股定理 得AE=13.设AE与BF交于点H,易知AFHAED,=,即=,AH=,AG=2AH=, GE=AE-AG=. AH AD AF AE12 AH5 13 60 13 120 13
47、49 13 思路分析思路分析 首先根据题意确定BFAE,进而根据正方形的性质得出AFBDEA,故AF=DE=5,然后 根据两角对应相等,两三角形相似得出AFHAED,求得AH=,最后得出GE的长. 60 13 解题关键解题关键 本题考查正方形的性质,相似三角形的判定与性质,解题的关键是确定BFAE. 3.(2018江西,12,3分)在正方形ABCD中,AB=6,连接AC,BD,P是正方形边上或对角线上一点,若PD=2AP,则 AP的长为 . 答案答案 2,-或2 1423 解析解析 四边形ABCD是正方形,AB=6,ACBD,AC=BD=6,OA=OD=3. 有三种情况:点P在AD上时, AD=6,PD=2AP,AP=AD=2; 点P在AC上时,不妨设AP=x(x0),则DP=2x, 22 1 3 在RtDPO中,由勾股定理得DP2=DO2+OP2, 即(2x)2=(3)2+(3-x)2, 解得x=-(负值舍去), 即AP=-; 点P在AB上时,PAD=90,PD=2AP,ADP=3
