1、 中考数学 （河南专用） 第四章 图形的认识 4.5 特殊的平行四边形 考点一 矩形 1.(2016天津,10,3分)如图,把一张矩形纸片ABCD沿对角线AC折叠,点B的对应点为B,AB与DC相交于 点E,则下列结论一定正确的是( ) A.DAB=CAB B.ACD=BCD C.AD=AE D.AE=CE 答案答案 D 由折叠知,EAC=BAC,ABCD, ECA=BAC,EAC=ECA, AE=CE.故选D. 2.(2017四川绵阳,9,3分)如图,矩形ABCD的对角线AC与BD交于点O,过点O作BD的垂线分别交AD,BC 于E,F两点.若AC=2,AEO=120,则FC的长度为( ) A.
2、1 B.2 C. D. 3 23 答案答案 A 四边形ABCD是矩形, OA=OB=OC=AC=. ADBC,OFC=AEO=120,BFO=60. EFBD,BOF=90, OBF=OCB=30, COF=BFO-OCF=30,OF=FC. OF=OB tan 30=1,FC=1, 故选A. 1 2 3 3.(2020云南,6,3分)已知四边形ABCD是矩形,点E是矩形ABCD的边上的点,且EA=EC.若AB=6,AC=2, 则DE的长是 . 10 答案答案 或 8 3 2 34 3 解析解析 四边形ABCD是矩形,DC=AB=6,ADC=90, 在RtADC中,AD=2. 当点E在DC边上
3、时,如图1,设EA=EC=x, 则DE=6-x,在RtADE中,AD2+DE2=AE2, 22+(6-x)2=x2,x=,DE=. 图1 当点E在AB边上时,如图2,易求得AE=, 22 -AC DC40-36 10 3 8 3 10 3 在RtADE中,DE=. DE的长为或. 图2 22 AEAD 2 34 3 8 3 2 34 3 解后反思解后反思 本题主要考查矩形的性质,勾股定理以及分类讨论的思想,因为点E的位置不确定,需根据EA =EC,讨论点E在边AB和边DC上的情况,分别求DE的长. 4.(2019河南,15,3分)如图,在矩形ABCD中,AB=1,BC=a,点E在边BC上,且B
4、E=a.连接AE,将ABE沿AE折 叠,若点B的对应点B落在矩形ABCD的边上,则a的值为 . 3 5 答案答案 或 5 3 5 3 解析解析 在矩形ABCD中,AB=CD=1,AD=BC=a,B=C=D=90,由折叠得BE=BE=a,ABE=90. 当点B落在边AD上时,易证四边形ABEB是正方形,BE=AB,即a=1,a=; 当点B落在边CD上时,如图. 3 5 3 5 5 3 1+2=2+3=90, 1=3,又D=C=90,BCEADB, =. 在RtADB中,由勾股定理得BD=, =,a=. 综上所述,满足条件的a的值为或. EC EB BD AB 22 -BA AD 2 1-a 2
5、3 2 1-a 5 3 5 3 5 3 解题关键解题关键 本题是以矩形为背景的折叠型题目,由于未指明折叠后点B的具体位置,所以分情况讨论是 解决本题的关键.根据题意得,当点B在矩形边上时,有两种可能:当点B在AD上时,由四边形ABEB是正 方形可求a的值;当点B在边CD上时,由“K字模型”中的相似三角形性质结合勾股定理可求a的值. 5.(2016河南,15,3分)如图,已知ADBC,ABBC,AB=3.点E为射线BC上一个动点,连接AE,将ABE沿AE 折叠,点B落在点B处,过点B作AD的垂线,分别交AD,BC于点M,N.当点B为线段MN的三等分点时,BE的长 为 . 答案答案 或 3 2 2
6、 3 5 5 解析解析 ADBC,ABBC,MNAD, 四边形ABNM为矩形,MN=AB=3, B为线段MN的三等分点,BM=1或2, ABE=ABC=90,ABM+EBN=90. EBN+BEN=90,ABM=BEN. 又AMB=ENB=90,AMBBNE, =, 设BE=BE=x. 当BM=1时,BN=2,在RtAMB中,AM=2,所以=,即x=; 当BM=2时,BN=1,在RtAMB中,AM=,所以=,即x=. 综上所述,BE的长为或. AB AM BE BN 22 - BA BM 22 3 -12 3 2 22 x3 2 2 22 - BA BM 22 3 -25 3 51 x3 5
7、5 3 2 2 3 5 5 思路分析思路分析 根据AMB=ENB=ABE=90及其他角的关系,判定AMBBNE,设BE=BE=x,用勾 股定理求AM的长,然后利用相似的性质求BE的长. 6.(2019云南,20,8分)如图,四边形ABCD中,对角线AC、BD相交于点O,AO=OC,BO=OD,且AOB=2 OAD. (1)求证:四边形ABCD是矩形; (2)若AOBODC=43,求ADO的度数. 解析解析 (1)证明:AO=OC,BO=OD, 四边形ABCD是平行四边形.(1分) 又AOB=2OAD,AOB是AOD的外角, AOB=OAD+ADO. OAD=ADO.(2分) AO=OD.(3分
8、) 又AC=AO+OC=2AO,BD=BO+OD=2OD, AC=BD. 四边形ABCD是矩形.(4分) (2)设AOB=4x,ODC=3x,则OCD=ODC=3x.(5分) 在ODC中,DOC+OCD+CDO=180. 4x+3x+3x=180,解得x=18.(6分) ODC=318=54.(7分) ADO=90-ODC=90-54=36.(8分) 名师点拨名师点拨 (1)对角线相等的平行四边形为矩形.(2)三角形的内角和为180.(3)三角形的一个外角等于与 它不相邻的两个内角之和. 7.(2020山东青岛,24,12分)已知:如图,在四边形ABCD和RtEBF中,ABCD,CDAB,点C
9、在EB上,ABC= EBF=90,AB=BE=8 cm,BC=BF=6 cm,延长DC交EF于点M,点P从点A出发,沿AC方向匀速运动,速度为2 cm/s;同时,点Q从点M出发,沿MF方向匀速运动,速度为1 cm/s.过点P作GHAB于点H,交CD于点G.设运 动时间为t(s)(0t5). 解答下列问题: (1)当t为何值时,点M在线段CQ的垂直平分线上? (2)连接PQ,作QNAF于点N,当四边形PQNH为矩形时,求t的值; (3)连接QC,QH,设四边形QCGH的面积为S(cm2),求S与t的函数关系式; (4)点P在运动过程中,是否存在某一时刻t,使点P在AFE的平分线上?若存在,求出t
10、的值;若不存在,请说 明理由. 解析解析 (1)ABCD,=. 又AB=BE=8,BC=BF=6,=,CM=. 点M在线段CQ的垂直平分线上,MQ=CM=, t=. 当t=时,点M在线段CQ的垂直平分线上. (2)如图所示, CM BF CE BE 6 CM8-6 8 3 2 3 2 3 2 3 2 ABC=EBF=90,AB=BE=8,BC=BF=6, AC=EF=10. ABCD, =,EM=. GHAB于点H,QNAF于点N, EM EF EC EB 5 2 PHBCQN,=,=, =,=, PH=t,QN=6-t. 四边形PQNH为矩形,PH=QN,即t=6-t,解得t=3. (3)如
11、图所示,作QNAF于点N,交DM的延长线于点I. PH AP CB AC QN QF BE EF 2 PH t 6 1010- - QN t EM 8 10 6 5 4 5 6 5 4 5 由(2)得QN=6-t,EM=,则QI=t. GHAB,ABC=90,GHBC,=, =,CG=BH=8-t, 4 5 5 2 4 5 BH AB CP AC 8 BH10-2 10 t8 5 S四边形QCGH=S梯形GMFH-SQCM-SQHF =(CG+CM+BH+BF) BC-CM QI-(BH+BF) QN =6-t-=-t2+t+(0t5). (4)存在t=,使点P在AFE的平分线上.理由如下:
12、连接FP,并延长交DC于点K,如图所示. 1 2 1 2 1 2 1 2 838 8-8-6 525 tt 1 2 3 2 4 5 1 2 8 8-6 5 t 4 6- 5 t 16 25 1 5 57 2 7 2 ABCD,点P在AFE的平分线上, =,MKF=AFK=MFK, MK=MF,CK=MK-CM=MF-CM=EF-EM-CM=10-=6. 又AF=AB+BF=8+6=14,AP=2t,PC=10-2t, CK AF PC AP 5 2 3 2 =,t=. 经检验,t=是分式方程的解,且符合题意. 点P在运动过程中,存在t=,使点P在AFE的平分线上. 6 14 10-2 2 t
13、t 7 2 7 2 7 2 一题多解一题多解 (3)过点Q作QNAF于点N,连接PQ.由图可知,S四边形QCGH=S五边形QCGHN-SQHN=S四边形BCGH+S四边形QNBC-S QHN. 四边形BCGH为矩形,面积为GH BH, 其中GH=BC=6,BH=AB-AH. 由(2)知AP=2t,PH=t,AH=t, 6 5 8 5 BH=AB-AH=8-t, S四边形BCGH=6=48-t. 四边形QNBC为直角梯形,面积为. 由(2)知FQ=-t,QN=,NF=, BN=BF-NF=6-=+t, S四边形QNBC= =-t2+3t+9. 8 5 8 8- 5 t 48 5 () 2 QNB
14、CBN 15 2 4 5 15 - 2 t 3 5 15 - 2 t 3 5 15 - 2 t 3 2 3 5 () 2 QNBCBN 4 1533 -6 5225 2 tt 6 25 三角形QNH为直角三角形,面积为. 易得NH=BH+BN=8-t+t=-t, SQNH=t2-t+. S四边形QCGH=48-t+-=-t2+t+(0t5). (4)要使点P在AFE的平分线上,根据角平分线的判定,满足点P到角两边的距离相等即可, 由(2)知点P到AB的距离为PH=t. 延长AC交EF于点R, AB=EB,ABC=EBF=90,BC=BF, ABCEBF(SAS), E=BAC. 2 QN NH
15、 8 5 3 2 3 5 19 2 4 1519 - 522 2 tt 2 5 34 5 57 2 48 5 2 6 -39 25 tt 2 23457 - 552 tt 16 25 1 5 57 2 6 5 在ABC和ERC中,ECR=ACB,由三角形内角和定理可得ABC=ERC=90, 点P到EF的距离为PR=PC+CR, 其中PC=AC-AP=10-2t. 线段CR为RtECM斜边上的高,根据等面积法可得=,即=, 2 EC CM 2 EM CR 3 2 2 2 5 2 2 CR CR=,PR=10-2t+=-2t. PH=PR,t=-2t,解得t=. 6 5 6 5 56 5 6 5
16、56 5 7 2 1.(2017河南,7,3分)如图,在ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,添加下列条件判定ABCD是菱形 的只有( ) A.ACBD B.AB=BC C.AC=BD D.1=2 不能 考点二 菱形 答案答案 C 根据对角线互相垂直的平行四边形是菱形可得选项A中条件可判定ABCD是菱形;根据一 组邻边相等的平行四边形是菱形可得选项B中条件可判定ABCD是菱形;对角线相等的平行四边形为 矩形,故选项C错误;因为CDAB,所以2=DCA,再由1=2,可得1=DCA,所以AD=CD,由一组 邻边相等的平行四边形是菱形,得ABCD是菱形,D中条件可判定ABCD是菱形.故选C. 2.
17、(2018陕西,8,3分)如图,在菱形ABCD中,点E、F、G、H分别是边AB、BC、CD和DA的中点,连接EF、 FG、GH和HE.若EH=2EF,则下列结论正确的是( ) A.AB=EF B.AB=EF C.AB=2EF D.AB=EF 23 5 答案答案 D 如图,连接AC、BD交于O, 四边形ABCD是菱形, ACBD,OA=OC,OB=OD, 点E、F、G、H分别是边AB、BC、CD和DA的中点, EF=AC,EH=BD, EH=2EF,BD=2AC,OB=2OA, AB=OA, 易知OA=EF,AB=EF,故选D. 1 2 1 2 22 OBOA5 5 思路分析思路分析 首先根据菱
18、形的性质得到ACBD,OA=OC,OB=OD,然后根据三角形中位线定理得出EF= AC,EH=BD,进而得到OB=2OA,最后根据勾股定理求得AB=OA,即得AB=EF. 1 2 1 2 55 3.(2020陕西,14,3分)如图,在菱形 ABCD中,AB=6,B=60,点E在边AD上,且AE=2.若直线l经过点E,将该 菱形的面积平分,并与菱形的另一边交于点F,则线段EF的长为 . 答案答案 2 7 解析解析 过A作AGBC于G,过E作EHBC于H, 则四边形AGHE为矩形,AE=GH=2. 在菱形ABCD中,AB=6,B=60, AG=ABsin B=6=3=EH,BG=ABcos B=6
19、=3. HC=BC-BG-GH=6-3-2=1. EF平分菱形ABCD的面积, AE=FC=2. FH=FC-CH=2-1=1. 3 2 3 1 2 在RtEFH中,由勾股定理可得EF=2. 22 EHFH 22 (3 3)1 7 4.(2019四川成都,24,4分)如图,在边长为1的菱形ABCD中,ABC=60.将ABD沿射线BD的方向平移得 到ABD,分别连接AC,AD,BC,则AC+BC的最小值为 . 答案答案 3 解析解析 作直线AA,并作点C关于直线AA的对称点E,连接EA,AC,AE. 四边形ABCD为菱形,ACBD,AB=BC,又ABC=60,ABC是等边三角形,AB=1,AC=
20、1,由平 移得BCBDAD,AABD, AD=BC.又EA=AC, AC+BC=EA+AD,当E,A,D三点共线时,EA+AD的值最小. AC=AE=AD=1,DAC=DCA=60, E=DAC=30,EDC=180-E-ACD=90, ED=EC cos E=2=,即AC+BC的最小值为. 1 2 3 2 33 5.(2020云南,22,9分)如图,四边形ABCD是菱形,点H为对角线AC的中点,点E在AB的延长线上,CEAB,垂 足为E,点F在AD的延长线上,CFAD,垂足为F. (1)若BAD=60,求证:四边形CEHF是菱形; (2)若CE=4,ACE的面积为16,求菱形ABCD的面积.
21、 解析解析 (1)证明:在菱形ABCD中,BAD=60, BAC=30.(1分) CEAB,垂足为E,H为对角线AC的中点, CE=AC=CH,ECH=90-EAC=60. CEH是等边三角形, CE=CH=EH. 同理可证CF=CH=FH.(3分) CE=EH=FH=CF, 四边形CEHF是菱形.(4分) (2)CE=4,SACE=16,CEAB,垂足为E, AE CE=16,解得AE=8.(6分) 四边形ABCD是菱形, AB=BC. 1 2 1 2 设AB=BC=x,则BE=8-x. 由BC2=CE2+BE2,即x2=42+(8-x)2, 解得x=5,即AB=5.(8分) SABC=AB
22、 CE=54=10, S菱形ABCD=2SABC=20.(9分) 1 2 1 2 思路分析思路分析 (1)根据菱形的性质和含30角的直角三角形的性质,判定CEH为等边三角形,得CE=CH= EH,进而得出四边形CEHF的四条边都相等;(2)由SACE=CE AE求得边AE的长,在RtBCE中利用勾股 定理得BC的长,进而可求得菱形ABCD的面积. 1 2 6.(2018新疆乌鲁木齐,18,10分)如图,在四边形ABCD中,BAC=90,E是BC的中点,ADBC,AEDC,EF CD于点F. (1)求证:四边形AECD是菱形; (2)若AB=6,BC=10,求EF的长. 解析解析 (1)证明:A
23、DBC,AEDC, 四边形AECD是平行四边形. BAC=90,E是BC的中点,AE=CE=BC, 四边形AECD是菱形.(5分) (2)过点A作AHBC于点H, BAC=90,AB=6,BC=10,AC=8, SABC=BC AH=AB AC,AH=. 1 2 1 2 1 2 24 5 点E是BC的中点,BC=10,四边形AECD是菱形, CD=CE=5. SAECD=CE AH=CD EF,EF=AH=.(10分) 24 5 思路分析思路分析 (1)先证四边形AECD是平行四边形,再由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半即可证 四边形AECD是菱形;(2)过点A作AHBC于点H,由三角形的
24、面积公式求出AH,再由平行四边形的面积公 式求出EF. 1.(2016陕西,8,3分)如图,在正方形ABCD中,连接BD,点O是BD的中点.若M、N是边AD上的两点,连接 MO、NO,并分别延长交边BC于两点M、N,则的全等三角形共有( ) A.2对 B.3对 C.4对 D.5对 图中 考点三 正方形 答案答案 C 易知ABDCBD,MONMON,DONBON,DOMBOM,故选C. 2.(2020河南,14,3分)如图,在边长为2的正方形ABCD中,点E,F分别是边AB,BC的中点,连接EC,FD,点G, H分别是EC,FD的中点,连接GH,则GH的长度为 . 2 答案答案 1 解析解析 设
25、EC与DF交于O,在正方形ABCD中,CD=BC,B=BCD=90,E,F分别为AB,BC的中点,BE= CF=AB=,CBEDCF,BCE=CDF,CE=DF,ECD+CDF=BCE+ECD=90, DOC=90,又OCF=BCE,COFCBE,=.在RtCEB中,CE= ,=,OF=,OC=,HO=HF-OF=DF-OF=CE-OF=,GO=CG-OC= . 在RtHOG中,由勾股定理得,HG=1. 1 2 2 CF CE OF BE OC BC 22 BCBE 10 2 102 OF 2 2 OC10 5 2 10 5 1 2 1 2 3 10 10 10 10 22 OGOH 3.(2
26、019江西,8,3分)我国古代数学名著孙子算经有估算方法:“方五,邪(通“斜”)七.见方求邪,七之, 五而一.”译文为:如果正方形的边长为五,则它的对角线长为七.已知正方形的边长,求对角线长,则先将 边长乘七再除以五.若正方形的边长为1,由勾股定理得对角线长为,依据孙子算经的方法,则它的 对角线的长是 . 2 答案答案 7 5 解析解析 根据孙子算经的方法,求一个正方形的对角线长,则先将边长乘七再除以五,所以边长为1的 正方形的对角线长为175=. 7 5 4.(2018内蒙古呼和浩特,16,3分)如图,已知正方形ABCD,点M是边BA延长线上的动点(不与点A重合),且 AM4 5,所以无论点
27、M 运动到何处,CHM 一定大于135,故正确.所以都正确. 2 思路分析思路分析 点E在运动的过程中,CBA=CHE=90,故B、E、H、C四点共圆,作出图形,再进行判断. 5.(2020内蒙古呼和浩特,18,8分)如图,正方形ABCD中,G是BC边上任意一点(不与B、C重合),DEAG于 点E,BFDE,且交AG于点F. (1)求证:AF-BF=EF; (2)四边形BFDE能否为平行四边形?如果能,请指出此时点G的位置;如果不能,请说明理由. 解析解析 (1)证明:由题意可知AB=AD,BAF+DAE=90, DEAG, DAE+ADE=90, ADE=BAF, 又BFDE, BFA=90
28、=AED, ABFDAE(AAS), BF=AE, AF-BF=AF-AE=EF. (2)不可能,理由: 假设四边形BFDE是平行四边形, 已知DEBF,则当DE=BF时,四边形BFDE为平行四边形, 由(1)知DE=AF, BF=AF,即此时BAF=45,此时点G与点C重合 而点G不与C重合, BAF45,矛盾, 四边形BFDE不能是平行四边形. 6.(2020四川南充,24,10分)如图,边长为1的正方形ABCD中,点K在AD上,连接BK,过点A,C作BK的垂线,垂 足分别为M,N,点O是正方形ABCD的中心,连接OM,ON. (1)求证:AM=BN; (2)请判定OMN的形状,并说明理由
29、; (3)若点K在线段AD上运动(不包括端点),设AK=x,OMN的面积为y,求y关于x的函数关系式(写出x的范 围);若点K在射线AD上运动,且OMN的面积为,请直接写出AK的长. 1 10 解析解析 (1)证明:AMBM,CNBN, AMB=BNC=90. 又ABC=90, MAB+MBA=90,NBC+MBA=90, MAB=NBC.(1分) 又AB=BC,AMBBNC,AM=BN.(2分) (2)OMN是等腰直角三角形.(3分) 理由如下:连接OB,O为正方形ABCD的中心, MAB-OAB=NBC-OBC,即MAO=OBN.(4分) OA=OB,AM=BN,AMOBNO, OM=ON
30、,AOM=BON.(5分) AOB=AON+BON=90,MON=90. OMN是等腰直角三角形.(6分) (3)在RtABK中,BK=. 由BK AM=AB AK,得BN=AM=.(7分) 由AK2=KM BK,得KM=.(8分) MN=BK-BN-KM=-=. SOMN=MN2=. 即y=(0x0),则有a (a-1)=1,化简得a2-a-1=0. 解得a=或(舍),所以AE的长为.(10分) (3)证法一:如图1,在线段EG上取点P,使得EP=DG. 在AEP与ADG中,AE=AD,AEP=ADG,EP=DG, 所以AEPADG,所以AP=AG,EAP=DAG. 所以PAG=PAD+DA
31、G=PAD+EAP=DAE=90, 所以PAG为等腰直角三角形. AE DC AF DF 15 2 1- 5 2 15 2 于是EG-DG=EG-EP=PG=AG.(14分) 证法二:如图2,过点A作AG的垂线,与DB的延长线交于点Q. 在AEG与ADQ中, AE=AD,AEG=ADQ,EAG=90+DAG=DAQ, 2 所以AEGADQ,所以EG=DQ,AG=AQ, 所以AGQ为等腰直角三角形. 于是EG-DG=DQ-DG=QG=AG.(14分) 2 思路分析思路分析 (1)先利用SAS证明AEFADB,再利用互余性质得出EGB=90,问题解决;(2)先根据矩 形性质可证AEFDCF,得到A
32、E DF=AF DC,再设AE=AD=a(a0),则DF=a-1,解方程即可;(3)两种证 法:在线段EG上截取线段EP=DG,然后证明AEPADG(SAS),得到AP=AG,EAP=DAG,再证 PAG=90,利用等腰直角三角形的性质得出结论;作AQAG交DB的延长线于点Q,然后利用(1)的结论 及已知证明AEGADQ,得到EG=DQ,AG=AQ,再由等腰直角三角形的性质得出结论. 难点突破难点突破 解决第(3)问的突破口是构造AEPADG(或AEGADQ),将问题转化为求证PG= AG(或QG=AG),体现了转化与化归的思想. 22 8.(2019福建,18,8分)如图,点E,F分别在矩形
33、ABCD的边AB,CD上,且DF=BE.求证:AF=CE. , , , ADCB DB DFBE 证明证明 四边形ABCD是矩形,D=B=90,AD=CB. 在ADF和CBE中, ADFCBE,AF=CE. 证明证明 AB=CD,AD=BC,四边形ABCD是平行四边形. OA=AC,OD=BD, 又OA=OD,AC=BD.ABCD是矩形. 1 2 1 2 9.9.(2019江西,13(2),6分)如图,四边形ABCD中,AB=CD,AD=BC,对角线AC、BD相 交于点O,且OA=OD.求 证:四边形ABCD是矩形. 10.(2019吉林,25,10分)如图,在矩形ABCD中,AD=4 cm,
34、AB=3 cm,E为边BC上一点,BE=AB,连接AE.动点P, Q从点A同时出发,点P以 cm/s的速度沿AE向终点E运动;点Q以2 cm/s的速度沿折线AD-DC向终点C运 动.设点Q运动的时间为x(s),在运动过程中,点P,点Q经过的路线与线段PQ围成的图形面积为y(cm2). (1)AE= cm,EAD= ; (2)求y关于x的函数解析式,并写出自变量x的取值范围; (3)当PQ= cm时,直接写出x的值. 2 5 4 解析解析 (1)3;45.(2分) 详解:BE=AB=3 cm, AE=3 cm, BAE=BEA=45, BAD=90, EAD=45. (2)当0x2时,如图. 图
35、 过点P作PFAD于点F. AP=x cm,AQ=2x cm,PF=AP sin 45=x cm. 2 22 ABBE2 2 y=AQ PF=2x x=x2, 即y=x2.(4分) 当2x3时,如图.连接PD,过点P作PFAD于点F. 图 DQ=(2x-4)cm,DF=(4-x)cm, y=SDAP+SDPQ =AD PF+DQ DF =4x+(2x-4)(4-x) 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 =-x2+8x-8,即y=-x2+8x-8.(6分) 当3x时,如图. 图 CQ=(7-2x)cm,EC=1 cm, y=S四边形AECD-SPCQ =(1+4)3-1(7-2x)
36、=x+4, 即y=x+4.(8分) 7 2 1 2 1 2 (3)或.(10分) 提示:根据图,可列方程x=,x=.根据图,可列方程(4-x)=,x=4-,不符合题意,舍去. 根据图,可列方程(7-2x)2+12=,x=. 评分说明:自变量取值含0或不含均不扣分. 5 2 8 25 8 2 5 4 5 2 8 2 5 4 5 2 8 2 5 4 25 8 7 2 一题多解一题多解 (2)过点P作PFAD于点F. 当0x2时,y=SAPQ=AQ PF. AP=x,AQ=2x,PF=AP sin 45=x, y=2x x=x2. 当2x3时,y=S四边形APQD=SAPF+S梯形PFDQ =AF
37、PF+(PF+DQ) DF. AF=x,PF=x,DQ=2x-4,DF=4-x, 1 2 2 1 2 1 2 1 2 y=x x+(x+2x-4)(4-x) =-x2+8x-8. 当3x时, y=S四边形AEQD=SAEF+S梯形EFDQ =AF EF+(EF+DQ) DF. AF=EF=3,DQ=2x-4,DF=1, y=33+(3+2x-4)1=x+4. 1 2 1 2 7 2 1 2 1 2 1 2 1 2 11.(2017福建,24,12分)如图,矩形ABCD中,AB=6,AD=8,P,E分别是线段AC,BC上的点,且四边形PEFD为矩 形. (1)若PCD是等腰三角形,求AP的长;
38、(2)若AP=,求CF的长. 2 解析解析 (1)在矩形ABCD中,AB=6,AD=8,ADC=90, DC=AB=6,AC=10. 要使PCD是等腰三角形,有如下三种情况: 当CP=CD时,CP=6,AP=AC-CP=4. 当PD=PC时,PDC=PCD, PCD+PAD=PDC+PDA=90, PAD=PDA,PD=PA, PA=PC,AP=,即AP=5. 当DP=DC时,过D作DQAC于Q,则PQ=CQ. SADC=AD DC=AC DQ, DQ=, 22 ADDC 2 AC 1 2 1 2 AD DC AC 24 5 CQ=, PC=2CQ=,AP=AC-PC=. 综上所述,若PCD是
39、等腰三角形,则AP=4,或AP=5,或AP=. (2)连接PF,DE,记PF与DE的交点为O,连接OC. 四边形ABCD和四边形PEFD都是矩形, ADC=PDF=90, 22 -DC DQ 18 5 36 5 14 5 14 5 即ADP+PDC=PDC+CDF, ADP=CDF. BCD=90,OE=OD,OC=ED. 在矩形PEFD中,PF=DE,OC=PF. OP=OF=PF,OC=OP=OF, OCF=OFC,OCP=OPC, 又OPC+OFC+PCF=180, 2OCP+2OCF=180, PCF=90,即PCD+FCD=90. 在RtADC中,PCD+PAD=90, PAD=FC
40、D. ADPCDF,=. 1 2 1 2 1 2 CF AP CD AD 3 4 AP=,CF=. 2 3 2 4 易错警示易错警示 在第(1)问中,分三种情况CP=CD、PD=PC、DP=DC讨论,不能丢解. 一题多解一题多解 在第(2)问中,连接PF,DE,PF与DE相交于点O,连接OC. 四边形DPEF是矩形,OP=OE=OD=OF. ECD是直角三角形,OC=OE=OD. D、P、E、C、F都在以O为圆心,OC为半径的圆上. PCF=BCD=90,DCF=ACB. ADBC,ACB=DAC. DCF=DAP. 又ADC=PDF=90, CDF=ADP,CDFADP. =,=, CF=.
41、 CF AP DC AD2 CF6 8 3 2 4 1.(2019河北,5,3分)如图,菱形ABCD中,D=150,则1=( ) A.30 B.25 C.20 D.15 考点二 菱形 答案答案 D 四边形ABCD是菱形,D+BAD=180,AC平分BAD, D=150,BAD=30,1=15,故选D. 2.(2019内蒙古呼和浩特,4,3分)已知菱形的边长为3,较短的一条对角线的长为2,则该菱形较长的一条对 角线的长为( ) A.2 B.2 C.4 D.2 25210 答案答案 C 因为菱形的对角线互相垂直且平分,所以两条对角线的一半与菱形的边形成直角三角形,根 据勾股定理可得,较长对角线长的
42、一半=2,故较长对角线的长为4,故选C. 22 3 -122 3.(2019天津,8,3分)如图,四边形ABCD为菱形,A,B两点的坐标分别是(2,0),(0,1),点C,D在坐标轴上,则菱形 ABCD的周长等于( ) A. B.4 C.4 D.20 535 答案答案 C 由点A,B的坐标可得OA=2,OB=1, 根据勾股定理可得AB=, 由菱形的性质可得AB=AD=CD=CB=, 所以菱形ABCD的周长等于4, 故选C. 22 OAOB5 5 5 4.(2017河北,9,3分)求证:菱形的两条对角线互相垂直. 已知:如图,四边形ABCD是菱形,对角线AC,BD交于点O. 求证:ACBD. 以
43、下是排乱的证明过程: 又BO=DO, AOBD,即ACBD. 四边形ABCD是菱形, AB=AD. 证明步骤正确的顺序是( ) A. B. C. D. 答案答案 B 证明:四边形ABCD是菱形,AB=AD, 又BO=DO,AOBD,即ACBD. 所以证明步骤正确的顺序是,故选B. 5.(2017江西,6,3分)如图,任意四边形ABCD中,E,F,G,H分别是AB,BC,CD,DA上的点,对于四边形EFGH的 形状,某班学生在一次数学活动课中,通过动手实践,探索出如下结论,其中的是( ) A.当E,F,G,H是各边中点,且AC=BD时,四边形EFGH为菱形 B.当E,F,G,H是各边中点,且AC
44、BD时,四边形EFGH为矩形 C.当E,F,G,H不是各边中点时,四边形EFGH可以为平行四边形 D.当E,F,G,H不是各边中点时,四边形EFGH不可能为菱形 错误 答案答案 D 连接AC,BD.当E,F,G,H是各边中点时,由三角形中位线定理可得EFAC且EF=AC,GHAC 且GH=AC,所以EFGH且EF=GH,所以四边形EFGH为平行四边形.当AC=BD时,因为EF=AC,EH= BD,所以EF=EH,所以四边形EFGH为菱形,选项A正确;当ACBD时,因为EFAC,EHBD,所以EF EH,所以四边形EFGH为矩形,选项B正确;当E,F,G,H不是各边中点时,若=,=,则GHAC,
45、 EFAC,所以GHEF.因为=,所以EF=GH,所以四边形EFGH为平行四边形,选项C正 确;例如,当E,F,G,H不是各边中点,且=,BD=2AC时,由上述可知四边形EFGH为平行 四边形,所以=,=,即=,所以=,即EF=EH,所以四边形EFGH为菱形, 选项D错误.综上,选D. 1 2 1 2 1 2 1 2 DH AD DG DC BE AB BF BC DH AD GH CA BE BA EF AC DH AD DG DC BE AB BF BC 2 3 BE AB EF AC 2 3 AE AB EH BD 1 3 EF AC 2EH BD2 EF AC EH BD 6.(202
46、0广东,15,4分)如图,在菱形ABCD中,A=30,取大于AB的长为半径,分别以点A,B为圆心作弧相 交于两点,过此两点的直线交AD边于点E(作图痕迹如图所示),连接BE,BD.则EBD的度数为 . 1 2 答案答案 45 解析解析 根据作图可知虚线为线段AB的垂直平分线, AE=BE,EBA=A=30. 四边形ABCD是菱形,ADBC,ABD=CBD. A=30,ABC=180-30=150, ABD=ABC=75, EBD=75-30=45. 1 2 7.7.(2020福建,18,8分)如图,点E,F分别在菱形ABCD的边BC,CD上,且BE=DF. 求证:BAE=DAF. 证明证明 本
47、小题考查菱形的性质、全等三角形的判定与性质等基础知识,考查推理能力、空间观念与几 何直观. 四边形ABCD是菱形,B=D,AB=AD. 在ABE和ADF中, , , , ABAD BD BEDF ABEADF,BAE=DAF. 说明:本参考答案仅给出一种解法供参考. 8.(2020吉林,24,8分)能够完全重合的平行四边形纸片ABCD和AEFG按图方式摆放,其中AD=AG=5,AB =9.点D,G分别在边AE,AB上,CD与FG相交于点H. 【探究】求证:四边形AGHD是菱形; 【操作一】固定图中的平行四边形纸片ABCD,将平行四边形纸片AEFG绕着点A顺时针旋转一定的 角度,使点F与点C重合,如图.则这两张平行四边形纸片未重叠部分图形的周长和为 ; 【操作二】将图中的平行四边形纸片AEFG绕着点A继续顺时针旋转一定的角度,使点E与点B重合,连 接DG,CF,如图.若sinBAD=,则四边形DCFG的面积为 . 4 5 解析解析 【探究】 证明:四边形ABCD和AEFG是平行四边形, AEFG,ABDC, ADGH,AGDH,(1分) 四边形AGHD是平行四边形.(2分) AD=AG, 四边形AGHD是菱形.(4分) 【操作一】 56.(6分) 详解:如图,设AE与DF相交于点N,AB与FG相交于点M, 四边
