1、 中考数学 （河北专用） 7.2 与圆有关的位置关系及有关计算 考点一 与圆有关的位置关系 1.(2020重庆A卷,5,4分)如图,AB是O的切线,A为切点,连接OA,OB,若B=20,则AOB的度数为 ( ) A.40 B.50 C.60 D.70 答案答案 D AB是O的切线,OAB=90, 又B=20,AOB=90-20=70,故选D. 2.(2019重庆A卷,4,4分)如图,AB是O的直径,AC是O的切线,A为切点,BC与O交于点D,连接OD.若 C=50,则AOD的度数为( ) A.40 B.50 C.80 D.100 答案答案 C AC是O的切线,AB是O的直径,ABAC,CAB=
2、90. C=50,B=180-90-50=40. AOD=2B=240=80,故选C. 3.(2019福建,9,4分)如图,PA,PB是O的两条切线,A,B为切点,点C在O上,且ACB=55,则APB等于 ( ) A.55 B.70 C.110 D.125 答案答案 B 连接OA,OB. PA,PB是O的两条切线, OAAP,OBPB. OAP=OBP=90. AOB=2ACB=255=110, APB=360-OAP-OBP-AOB =360-90-90-110=70.故选B. 方法总结方法总结 在应用切线性质时,一定要抓住“垂直”这一特征,故连接圆心与切点是常作的辅助线.而在 圆中通过连半
3、径构造同弧所对的圆周角和圆心角也是常用的辅助线作法. 4.(2018重庆,9,4分)如图,已知AB是O的直径,点P在BA的延长线上,PD与O相切于点D,过点B作PD的 垂线交PD的延长线于点C.若O的半径为4,BC=6,则PA的长为( ) A.4 B.2 C.3 D.2.5 3 答案答案 A 连接DO,PD与O相切于点D,PDO=90.BCPC,PCB=90,DOBC, PODPBC,=,=,PA=4,故选A. PO PB OD BC 4 8 PA PA 4 6 5.(2018山西,15,3分)如图,在RtABC中,ACB=90,AC=6,BC=8,点D是AB的中点,以CD为直径作O, O分别
4、与AC,BC交于点E,F,过点F作O的切线FG,交AB于点G,则FG的长为 . 答案答案 12 5 解析解析 如图,连接OF. FG为O的切线,OFFG. RtABC中,D为AB的中点, CD=BD,DCB=B. OC=OF,OCF=OFC,CFO=B, OFBD,ABFG. O为CD的中点,F为BC的中点, CF=BF=BC=4. RtABC中,AB=10, sin B=, 在RtBGF中,FG=BFsin B=4=. 1 2 22 ACBC AC AB 3 5 3 5 12 5 思路分析思路分析 连接OF,可判断OFFG,由OCF=OFC,OCF=B可得OFC=B,所以OFBD,所以 AB
5、FG.在RtABC中求出sin B,再在RtBFG中,利用FG=BFsin B求得FG. 6.(2020河北,22,9分)如图,点O为AB中点,分别延长OA到点C,OB到点D,使OC=OD.以点O为圆心,分别以 OA,OC为半径在CD上方作两个半圆.点P为小半圆上任一点(不与点A,B重合),连接OP并延长交大半圆于 点E,连接AE,CP. (1)求证:AOEPOC; 写出1,2和C三者间的数量关系,并说明理由; (2)若OC=2OA=2,当C最大时,直接指出CP与小半圆的位置关系,并求此时S扇形EOD(答案保留). 备用图 解析解析 (1)证明:OA=OP,OE=OC,AOE=POC, AOE
6、POC. 1+C=2. 理由如下:AOEPOC, E=C. 又1+E=2, 1+C=2. (2)相切. 如图,CP与小半圆相切,CPOP. 在RtOPC中,OP=1,OC=2, cosCOP=.COP=60. DOE=120. S扇形EOD=. 1 2 2 1202 360 4 3 思路分析思路分析 (1)根据SAS可证明AOEPOC;由得出C=E,因为1+E=2,所以1+ C=2.(2)易知当C最大时,CP与小半圆相切,根据OP=1,OC=2得出COP=60,故DOE=120,根据扇 形面积公式得解. 7.(2019陕西,23,8分)如图,AC是O的直径,AB是O的一条弦,AP是O的切线.作
7、BM=AB,并与AP交于 点M,延长MB交AC于点E,交O于点D,连接AD. (1)求证:AB=BE; (2)若O的半径R=5,AB=6,求AD的长. 解析解析 (1)证明:AP是O的切线, EAM=90, BAE+MAB=90,AEB+AMB=90.(1分) 又AB=BM, MAB=AMB, BAE=AEB, AB=BE.(3分) (2)连接BC. AC是O的直径, ABC=90. 在RtABC中,AC=10,AB=6, BC=8.(5分) 由(1)知,BAE=AEB, ABCEAM. C=AME,=, 即=. AM=. 又D=C, D=AMD. AD=AM=.(8分) AC EM BC A
8、M 10 12 8 AM 48 5 48 5 思路分析思路分析 (1)根据切线的性质得出MAE=90,然后利用等腰三角形和直角三角形的性质得出结论;(2) 首先判断ABCEAM,得出C=AME,利用比例关系求出AM的长,最后证明AD=AM即可得解. 解后反思解后反思 在圆中计算线段长度时往往利用相似三角形列比例式求解.圆的综合题中往往会涉及切 线、圆周角定理及其推论,因此找出与要求线段有关的相似三角形尤为重要. 8.(2017河北,23,9分)如图,AB=16,O是AB中点,点C在线段OB上(不与点O,B重合),将OC绕点O逆时针旋转 270后得到扇形COD,AP,BQ分别切优弧CD于点P,Q
9、,且点P,Q在AB异侧,连接OP. (1)求证:AP=BQ; (2)当BQ=4时,求优弧QD的长(结果保留); (3)若APO的外心在扇形COD的内部,求OC的取值范围. 3 解析解析 (1)证明:连接OQ.(1分) AP,BQ分别与优弧CD相切,OPAP,OQBQ,即APO=Q=90. 又OA=OB,OP=OQ,RtAPORtBQO.(3分) AP=BQ.(4分) (2)BQ=4,OB=AB=8,Q=90, sinBOQ=.BOQ=60.(5分) OQ=8cos 60=4,优弧QD的长为=.(7分) (3)设点M为RtAPO的外心,则M为OA的中点, OM=4. 当点M在扇形COD的内部时,
10、OMOC,4OC8.(9分) 3 1 2 3 2 (270-60)4 180 14 3 思路分析思路分析 (1)连接OQ.根据切线的性质得出APO=Q=90,由HL得出RtAPORtBQO,即可得 AP=BQ;(2)由BQ=4,OB=8,确定出BOQ的度数及OQ的长,进而根据弧长公式求出优弧QD的长; (3)APO的外心是OA的中点,OA=8,从而可由APO的外心在扇形COD的内部求出OC的取值范围. 3 解题技巧解题技巧 遇到含有切线的解答题,首先要想到的是作辅助线,由此获得更多能够证明题目要求的条件. 一般作辅助线的方法为“见切点,连圆心”,从而构造直角三角形(垂直)进行证明或计算. 考点
11、二 与圆有关的计算 1.(2020四川南充,3,4分)如图,四个三角形拼成一个风车图形,若AB=2,当风车转动90时,点B运动路径的 长度为( ) A. B.2 C.3 D.4 答案答案 A 已知AB=2,所以点B绕点A旋转90时,点B运动路径的长=,故选A. 902 180 2.(2020山西,8,3分)中国美食讲究色香味美,优雅的摆盘造型也会让美食锦上添花.图中的摆盘,其形状 是扇形的一部分,图是其几何示意图(阴影部分为摆盘),通过测量得到AC=BD=12 cm,C,D两点之间的 距离为4 cm,圆心角为60,则图中摆盘的面积是( ) A.80 cm2 B.40 cm2 C.24 cm2
12、D.2 cm2 答案答案 B 连接AB,CD,OA=OB,AC=BD,OC=OD,CDAB,又O=60,OCD是等边三角形, OC=CD=4 cm,OA=16 cm,S阴影=S扇形AOB-S扇形COD=-=40 cm2,故选B. 2 60 16 360 2 604 360 解题关键解题关键 判断OCD是等边三角形是解答本题的关键. 3.(2018辽宁沈阳,10,2分)如图,正方形ABCD内接于O,AB=2,则的长是( ) A. B. C.2 D. 2 AB 3 2 1 2 答案答案 A 连接AC、BD交于点O,四边形ABCD是正方形, BAD=ABC=BCD=CDA=90, AC、BD是直径,
13、点O与点O重合, AOB=90,AO=BO,AB=2,AO=2, 的长为=. 2 AB 902 180 思路分析思路分析 由正方形的性质可得AOB=90,AO=BO,由勾股定理可得圆的半径,将所得到的结果代入弧 长公式即可. 方法总结方法总结 求弧长一般需要两个条件,一个是圆心角度数,一个是圆半径.常用连接半径的方法,构造等腰 三角形或加上弦心距,构造直角三角形求解. 4.(2019浙江宁波,10,3分)如图所示,矩形纸片ABCD中,AD=6 cm,把它分割成正方形纸片ABFE和矩形纸 片EFCD后,分别裁出扇形ABF和半径最大的圆,恰好能作为一个圆锥的侧面和底面,则AB的长为 ( ) A.3
14、.5 cm B.4 cm C.4.5 cm D.5 cm 答案答案 B 设AB=x cm,根据题意可得=(6-x),解得x=4.故AB的长为4 cm.故选B. 90 180 x 5.(2019湖北黄冈,14,3分)用一个圆心角为120,半径为6的扇形作一个圆锥的侧面,则这个圆锥的底面圆 的面积为 . 答案答案 4 解析解析 扇形的弧长为=4,扇形的弧长即为这个圆锥底面圆的周长,设底面圆的半径为x,则2x= 4,得x=2,所以这个圆锥的底面圆的面积为22=4. 1206 180 思路分析思路分析 先根据弧长公式求出扇形的弧长,即圆锥底面圆的周长,再根据圆的周长公式和面积公式求 解即可. 6.(2
15、018河南,14,3分)如图,在ABC中,ACB=90,AC=BC=2,将ABC绕AC的中点D逆时针旋转90得到 ABC,其中点B的运动路径为,则图中阴影部分的面积为 . BB 答案答案 - 5 4 3 2 解析解析 如图,连接BD,BD,作DEAB于点E. 在RtBCD中,BC=2,CD=AC=1,BD=.由旋转得ABAB,BDB=90,DE=AA= AB=,BC=,S阴影=S扇形BDB-SBCD-SBCD=-21=-. 1 2 22 CBCD5 1 2 1 4 2 2 2 905 360 1 2 2 2 2 1 2 5 4 3 2 思路分析思路分析 首先确定所在圆的圆心为点D,根据题意求出
16、半径DB和圆心角BDB的度数,然后通过 S扇形BDB-SBCD-SBCD可求得阴影部分的面积. BB 7.(2018山东临沂,23,9分)如图,ABC为等腰三角形,O是底边BC的中点,腰AB与O相切于点D,OB与 O相交于点E. (1)求证:AC是O的切线; (2)若BD=,BE=1,求阴影部分的面积. 3 解析解析 (1)证明:连接OD,OA,作OFAC于F,如图, ABC为等腰三角形,O是底边BC的中点, AOBC,AO平分BAC,DAO=FAO, AB与O相切于点D,ODAB, ADO=AFO=90, 又AO=AO,AODAOF, OF=OD, 点D在O上,点F也在O上,即OF为O的半径
17、, OFAC,AC是O的切线. (2)设O的半径为r,则OD=OE=r, 在RtBOD中,r2+()2=(r+1)2,解得r=1, OD=1,OB=2,B=30,BOD=60,AOD=30, 在RtAOD中,AD=OD=, 阴影部分的面积=2SAOD-S扇形DOF 3 3 3 3 3 =21- =-. 1 2 3 3 2 60 1 360 3 3 6 8.(2016河北,25,10分)如图,半圆O的直径AB=4,以长为2的弦PQ为直径,向点O方向作半圆M,其中P点在 上且不与A点重合,但Q点可与B点重合. 发现 的长与的长之和为定值l,求l; 思考 点M与AB的最大距离为 ,此时点P,A间的距
18、离为 ;点M与AB的最小距离为 ,此时半圆M的弧与AB所围成的封闭图形面积为 ; 探究 当半圆M与AB相切时,求的长. AQ AP QB AP 解析解析 发现 连接OP,OQ,则OP=OQ=PQ=2. POQ=60.的长=. l=4-=.(2分) 思考 ;2;-.(6分) 探究 半圆M与AB相切,分两种情况: 如图1,半圆M与AO切于点T时,连接PO,MO,TM, 则MTAO,OMPQ. PQ 60 2 180 2 3 1 2 2 3 4 3 3 3 2 6 3 4 图1 在RtPOM中,sinPOM=, POM=30.(7分) 在RtTOM中,TO=, cosAOM=,即AOM=35.(8分
19、) POA=35-30=5, 1 2 22 ( 3) -12 6 3 的长=.(9分) 如图2,半圆M与BO切于点S时,连接QO,MO,SM. 图2 由对称性,同理得的长=. 由l=,得的长=-=. AP 5 2 180 18 BQ 18 4 3 AP 4 3 18 23 18 综上,的长为或.(10分) AP 18 23 18 思路分析思路分析 发现 先确定的长度,进而求出与的长之和. 思考 当PQAB时,M与AB的距离最大,此时,AOP=60,AP=2;当Q与B重合时,M与AB的距离最小. 探究 当半圆M与AB相切时,分以下两种情况讨论:当切点在线段OA上,当切点在线段OB上,然后分别求
20、出的长. PQ AP QB AP 评析评析 本题是运动型问题,涉及最值、分类讨论思想,解决本题的关键是将半圆放在合适的位置上.要注 意半圆M与AB相切时有两种情况,左侧相切和右侧相切是对称的,结合图形,根据cos 35=或cos 55= 确定角度,再求弧长即可. 6 3 3 3 教师专用题组 考点一 与圆有关的位置关系 1.(2020广东广州,7,3分)如图,RtABC中,C=90,AB=5,cos A=,以点B为圆心,r为半径作B,当r=3时, B与AC的位置关系是( ) A.相离 B.相切 C.相交 D.无法确定 4 5 答案答案 B C=90,AB=5,cos A=, AC=AB cos
21、 A=5=4, BC=3. r=3,B与AC的位置关系是相切.故选B. AC AB 4 5 4 5 22 -AB AC 22 5 -4 2.(2017山东泰安,17,3分)如图,圆内接四边形ABCD的边AB过圆心O,过点C的切线与边AD所在直线垂直 于点M,若ABC=55,则ACD等于( ) A.20 B.35 C.40 D.55 答案答案 A 连接OC, 因为CM为O的切线,所以OCMC. 因为AMMC,所以AMOC, 所以MAB=COB,MAC=OCA. 因为OB=OC,所以OCB=OBC=55, 所以MAB=COB=180-255=70, 因为OA=OC,所以OAC=OCA=MAC, 所
22、以MAC=MAB=35. 因为ADC+ABC=180, 所以ADC=180-ABC=180-55=125, 所以ACD=180-ADC-MAC=180-125-35=20.故选A. 1 2 3.(2016浙江台州,10,4分)如图,在ABC中,AB=10,AC=8,BC=6,以边AB的中点O为圆心,作半圆与AC相切, 点P,Q分别是边BC和半圆上的动点,连接PQ,则PQ长的最大值与最小值的和是( ) A.6 B.2+1 C.9 D. 13 32 2 答案答案 C 如图,设O与AC相切于点E,连接OE,作OP1BC垂足为P1,交O于Q1,此时垂线段OP1最短, P1Q1为最小值,为OP1-OQ1
23、.AB=10,AC=8,BC=6,AB2=AC2+BC2,C=90,又OP1B=90(垂线的性 质),OEA=90(切线的性质),OP1AC,OEBC.又AO=OB,P1C=P1B,AE=EC,OP1=AC=4,OE= BC=3. P1Q1=OP1-OQ1=OP1-OE=4-3=1. 如图,当Q2在AB边上且P2与B重合时,P2Q2为最大值,为5+3=8,PQ长的最大值与最小值的和是9.故选C. 1 2 1 2 4.(2019内蒙古包头,18,3分)如图,BD是O的直径,A是O外一点,点C在O上,AC与O相切于点C, CAB=90,若BD=6,AB=4,ABC=CBD,则弦BC的长为 . 答案
24、答案 2 6 解析解析 连接CD,BD是直径,DCB=90,又CAB=90,ABC=CBD,CABDCB,= ,即=,BC=2. BD BC BC AB 6 BC4 BC 466 5.(2018安徽,12,5分)如图,菱形ABOC的边AB,AC分别与O相切于点D,E.若点D是AB的中点,则DOE= . 答案答案 60 解析解析 AB,AC分别与圆O相切于点D,E,ODAB,OEAC,在菱形ABOC中,AB=BO,点D是AB的中 点,BD=AB=BO,BOD=30,B=60,又OBAC,A=120,在四边形ADOE中,DOE =360-90-90-120=60. 1 2 1 2 解题关键解题关键
25、 由题意得出OD垂直平分AB及AB=BO是解答本题的关键. 6.(2020北京,23,6分)如图,AB为O的直径,C为BA延长线上一点,CD是O的切线,D为切点,OFAD于 点E,交CD于点F. (1)求证:ADC=AOF; (2)若sin C=,BD=8,求EF的长. 1 3 解析解析 (1)证明:连接OD,如图. CD是O的切线,ODC=90, ADC+ADO=90. OFAD于点E, AEO=90,AE=DE, OAD+AOF=90. OA=OD, OAD=ODA, ADC=AOF.(3分) (2)在RtCDO中,sin C=. 设OD=x, 则OC=3x,BC=4x. AB为O的直径,
26、 ADB=90, AEO=ADB, OFBD, COFCBD, =. BD=8, OD OC 1 3 OF BD OC BC OF=8=6. AE=DE,AO=BO, OE=BD=4, EF=OF-OE=2.(6分) 3 4 x x 1 2 思路分析思路分析 (1)根据CD是O的切线,推出ADC+ODA=90,根据OFAD,推出AOF+OAD=90, 然后根据OD=OA,可得ODA=OAD,即可得证; (2)需要借助正弦值得到线段的比,进而借助相似三角形的性质求出OF的长,再根据中位线的性质求出 OE的长,即可解决. 解题关键解题关键 解决本题第(2)问的关键是通过三角函数值得到线段的比,借助
27、平行得到COFCBD,由 相似三角形对应边的比相等得到OF的长. 7.(2019江西,19,8分)如图1,AB为半圆的直径,点O为圆心,AF为半圆的切线,过半圆上的点C作CDAB交 AF于点D,连接BC. (1)连接DO,若BCOD,求证:CD是半圆的切线; (2)如图2,当线段CD与半圆交于点E时,连接AE,AC,判断AED和ACD的数量关系,并证明你的结论. 解析解析 (1)证法一:连接OC. AF为半圆的切线,A=90. BCDO,CBO=AOD,BCO=COD. OC=BO,CBO=BCO. COD=AOD. 在OAD和OCD中, OADOCD(SAS). , , , AOCO DOA
28、DOC DODO OCD=A=90. CD是半圆的切线. 证法二:连接OC. CDAB,BCOD, 四边形BCDO是平行四边形,CD=BO. OB=OA,CD=OA. CDOA,四边形OADC是平行四边形. 又AF为半圆的切线,A=90. OADC是矩形,OCD=90. CD是半圆的切线. (2)AED+ACD=90. 证法一:CDAB,ACD=BAC. 四边形ABCE是圆内接四边形, B+AEC=180. AED+AEC=180,AED=B. AB为半圆的直径,BCA=90. CAB+B=90. AED+ACD=90. 证法二:连接BE,则ACD=ABE. CDAB,AED=BAE. AB为
29、半圆的直径,AEB=90,ABE+BAE=90, AED+ACD=90. 思路分析思路分析 (1)要证CD与半圆相切,由于点C为半圆上一点,所以必须连接OC并证明OCD=90,其中证 法一的思路是通过证明OCDOAD,从而得到OCD=A=90.证法二的思路是证明四边形OADC 是矩形,从而得到OCD=90. (2)通过观察,易得到AED+ACD=90.证法一的思路是由ABCD得DCA=CAB,由四边形ABCE 为圆内接四边形得到B=AED,由AB为直径得ACB=90,从而得到B+CAB=90,最终推出AED +ACD=90.证法二的思路是连接BE,易证DCA=EBA,由ABCD得EAB=AED
30、,由AB为直径易 得EBA+EAB=90,最终推出AED+ACD=90. 8.(2018天津,21,10分)已知AB是O的直径,弦CD与AB相交,BAC=38. (1)如图,若D为的中点,求ABC和ABD的大小; (2)如图,过点D作O的切线,与AB的延长线交于点P,若DPAC,求OCD的大小. AB 解析解析 (1)AB是O的直径, ACB=90.BAC+ABC=90. 又BAC=38,ABC=90-38=52. 由D为的中点,得=. ACD=BCD=ACB=45. ABD=ACD=45. (2)如图,连接OD. AB AD BD 1 2 DP切O于点D,ODDP,即ODP=90. 由DPA
31、C,BAC=38, P=BAC=38. AOD是ODP的外角, AOD=ODP+P=128. ACD=AOD=64. 又OA=OC,ACO=BAC=38. OCD=ACD-ACO=64-38=26. 1 2 思路分析思路分析 (1)根据直径所对的圆周角是直角,等弧所对的圆周角相等可以求解;(2)连接OD,根据平行线 的性质,圆的切线的性质求得P,AOD的度数,即可求得OCD的大小. 考点二 与圆有关的计算 1.(2020内蒙古包头,9,3分)如图,AB是O的直径,CD是弦,点C,D在直径AB的两侧.若AOCAOD DOB=2711,CD=4,则的长为( ) A.2 B.4 C. D. CD 2
32、 2 2 答案答案 D AB是直径,AOD+DOB=180, 又AOCAODDOB=2711, AOC=20,AOD=70,COD=AOC+AOD=90, RtCOD中,CO=DO=CD=4=2, 的长为=.故选D. 2 2 2 2 2 CD 902 2 180 2 2.(2018山西,10,3分)如图,正方形ABCD内接于O,O的半径为2,以点A为圆心,以AC长为半径画弧交 AB的延长线于点E,交AD的延长线于点F,则图中阴影部分的面积是( ) A.4-4 B.4-8 C.8-4 D.8-8 答案答案 A 四边形ABCD为正方形,BAD=90,圆和正方形是中心对称图形,S阴影=S扇形AEF-
33、SABD= -=-=4-4,故选A. 2 90 4 360 2 AO BD 2 90 4 360 24 2 3.(2017浙江杭州,8,3分)如图,在RtABC中,ABC=90,AB=2,BC=1.把ABC分别绕直线AB和BC旋转一 周,所得几何体的底面圆的周长分别记作l1,l2,侧面积分别记作S1,S2,则( ) A.l1l2=12,S1S2=12 B.l1l2=14,S1S2=12 C.l1l2=12,S1S2=14 D.l1l2=14,S1S2=14 答案答案 A 由题意可得l1l2=r1r2=12,S1S2=r1r2=12,此题选A. 4.(2020云南昆明,5,3分)如图,边长为2c
34、m的正六边形螺帽,中心为点O,OA垂直平分边CD,垂足为B,AB =17 cm,用扳手拧动螺帽旋转90,则点A在该过程中所经过的路径长为 cm. 3 答案答案 10 解析解析 连接OC,OD,则COD=60,OC=OD=2 cm,COB=COD=30,OB=OCcos 30=3 cm, OA=OB+AB=20 cm,点A所经过的路径长=10(cm). 3 1 2 9020 180 5.(2020新疆,14,5分)如图,O的半径是2,扇形BAC的圆心角为60,若将扇形BAC剪下围成一个圆锥,则此 圆锥的底面圆的半径为 . 答案答案 3 3 解析解析 连接OA,作ODAC于点D. 在直角OAD中,
35、OA=2,OAD=BAC=30, 则AD=OA cos 30=, 则AC=2AD=2, 则扇形的弧长是=. 设此圆锥的底面圆的半径是r,则2r=, 解得r=.故此圆锥的底面圆的半径为. 1 2 3 3 602 3 180 2 3 3 2 3 3 3 3 3 3 6.(2019河南,14,3分)如图,在扇形AOB中,AOB=120,半径OC交弦AB于点D,且OCOA.若OA=2,则 阴影部分的面积为 . 答案答案 + 3 解析解析 OCOA,AOD=90,AOB=120,OA=OB=2,OAD=BOC=ABO=30,OD= AO tan 30=2,BD=2,过点O作OEAD于点E,则OE=.S阴
36、影=SAOD+S扇形BOC-SBOD=22+ -2=+. 3 3 1 2 3 2 30(2 3) 360 1 2 33 思路分析思路分析 根据扇形AOB中,AOB=120,AOOC,求得OAD=BOC=ABO=30,再分别求得OD、 BD的长,计算SAOD,SBOD,S扇形BOC,进而求阴影部分的面积. 3 7.(2019江苏无锡,24,8分)一次函数y=kx+b的图象与x轴的负半轴相交于点A,与y轴的正半轴相交于点B,且 sinABO=.OAB的外接圆的圆心M的横坐标为-3. (1)求一次函数的解析式; (2)求图中阴影部分的面积. 3 2 解析解析 (1)作MNBO于点N,连接MO, 由垂
37、径定理得点N为OB的中点, MN=OA, MN=3,OA=6,即A(-6,0), sinABO=,OA=6, OB=2,即B(0,2), 1 2 3 2 33 设一次函数的解析式为y=kx+b, 将A、B代入得解得 所以一次函数的解析式为y=x+2. (2)sinABO=,ABO=60,AMO=120. S阴影部分=S扇形AMO-SAMO=-6 =4-3. -60, 2 3, kb b 3 , 3 2 3, k b 3 3 3 3 2 2 120(2 3) 360 1 2 3 3 8.(2018江苏扬州,25,10分)如图,在ABC中,AB=AC,AOBC于点O,OEAB于点E,以点O为圆心,
38、OE为 半径作半圆,交AO于点F. (1)求证:AC是O的切线; (2)若点F是OA的中点,OE=3,求图中阴影部分的面积; (3)在(2)的条件下,点P是BC边上的动点,当PE+PF取最小值时,直接写出BP的长. 解析解析 (1)证明:作OHAC于点H, AB=AC,AOBC于点O,AO平分BAC, OEAB,OHAC,OE=OH,即点H在半圆上,AC是O的切线. (2)点F是AO的中点,AO=2OF=6, 又OEAB,OE=3,OAE=30,AOE=60, AE=OE=3, 图中阴影部分的面积=SAOE-S扇形EOF=33-=. (3)BP=. 详解:作F点关于BC的对称点F,连接EF交B
39、C于P,如图, 33 1 2 3 2 603 360 9 3-3 2 3 此时PE+PF取最小值. OF=OF=OE,F=OEF, 又AOE=F+OEF=60, F=30,F=EAF, EF=EA=3,即PE+PF的最小值为3, 在RtOPF中,OP=OF=3=, 在RtABO中,OB=OA=6=2, BP=OB-OP=2-=, 即当PE+PF取最小值时,BP的长为. 33 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 333 3 一、选择题(每小题3分,共18分) A组 20182020年模拟基础题组 时间:45分钟 分值:50分 1.(2020唐山乐亭毕业生学业考试,14)如图,AB是O的直径,
40、直线PA与O相切于点A,PO交O于点C,连 接BC.若P=42,则ABC的度数是( ) A.21 B.24 C.42 D.48 答案答案 B 直线PA与O相切于点A,OAPA, OAP=90,P=42, AOP=90-42=48,ABC=AOC=24,故选B. 1 2 2.(2020邯郸永年一模,15)如图,一个边长为4 cm的等边三角形ABC的高与O的直径相等.O与BC相切 于点C,与AC相交于点E,则CE的长为( ) A.4 cm B.3 cm C.2 cm D.1.5 cm 答案 B 连接OC,过点O作OFCE于F,则OCB=90,EF=CF, ABC为等边三角形,边长为4 cm,ABC
41、的高为2 cm, 等边三角形ABC的高与O的直径相等,OC= cm, 又ACB=60,OCF=30,OF= cm, 在RtOFC中,根据勾股定理得FC= cm, CE=2FC=3 cm.故选B. 3 3 3 2 3 2 3.(2020唐山玉田一模,10)三个正方形方格在扇形中的位置如图所示,点O为扇形的圆心,格点A,B,C分别 在扇形的两条半径和弧上,已知每个方格的边长为1,则扇形EOF的面积为( ) A. B. C. D. 5 4 9 8 3 2 答案答案 A 连接OC,在RtOBC中,由勾股定理得OC=, 易得EOF=45,扇形EOF的面积为=,故选A. 22 13 10 2 45( 10
42、) 360 5 4 4.(2019唐山路北一模,13)用半径为8的半圆围成一个圆锥的侧面,则圆锥的底面半径等于( ) A.16 B.4 C.6 D.8 答案答案 B 由题意可知圆锥的底面周长为8,圆锥的底面半径为82=4.故选B. 5.(2018石家庄长安质检,13)如图,网格中的每个小正方形的边长是1,点M,N,O均为格点,点N在O上,若 过点M作O的一条切线MK,切点为K,则MK=( ) A.3 B.2 C.5 D. 2534 答案答案 B 连接OM,ON,根据勾股定理可得OM=5,ON=, 过点M作O的切线MK,则OK=,OKM=90, MK=2,故选B. 22 34 22 12 5 5
43、 22 -OMOK 22 5 -( 5)5 6.(2018邢台宁晋质检,11)如图,半圆O的直径AB=4,P,Q是半圆O上的点,弦PQ的长为2,则与的长度 之和为( ) A. B. C. D. AP QB 2 3 4 3 5 3 答案答案 B 连接OP,OQ, 直径AB=4,PQ=2, OP=OQ=PQ=2,POQ=60, AOP+BOQ=120,设AOP=n,BOQ=m,则m+n=120. 故l+l=+ = (n+m)=120=,故选B. AP QB 2 180 n 2 180 m 90 90 4 3 二、填空题(每小题3分,共12分) 7.(2020唐山乐亭毕业生学业考试改编)如图,圆锥的
44、底面半径OB=6 cm,高OC=8 cm,则这个圆锥的侧面积 是 . 答案答案 60 cm2 解析解析 在RtOBC中,OB=6 cm,高OC=8 cm,BC=10 cm, 这个圆锥的侧面积=610=60 cm2. 22 86 8.(2020唐山丰润一模改编)如图,在平面直角坐标系中,已知D经过原点O,与x轴、y轴分别交于A、B两 点,B点坐标为(0,2),OC与D相交于点C,OCA=30,则图中阴影部分的面积为 . 3 答案答案 2-2 3 解析解析 连接AB,AOB=90,AB是直径, 根据同弧所对的圆周角相等得ABO=OCA=30, 由B点坐标为(0,2)知OB=2, 在RtAOB中,O
45、A=OBtanABO=OB tan 30=2=2,AB=4.D的半径为2, S阴影部分=S半圆-SAOB=22-22=2-2. 33 3 3 3 1 2 1 2 33 9.(2019唐山路北二模,18)如图所示,正五边形ABCDE的边长为1,B过五边形的顶点A、C,则劣弧AC的 长为 . 答案答案 3 5 解析解析 五边形ABCDE是正五边形,B=(5-2)180=108, 劣弧AC的长为=. 1 5 108 1 180 3 5 10.(2019唐山丰润期末改编)如图,P为O外一点,PA、PB分别切O于点A、B,CD切O于点E,分别交 PA、PB于点C、D,若PA=6,则PCD的周长为 . 答
46、案答案 12 解析解析 PA、PB分别切O于点A、B,CD切O于点E, PA=PB=6,AC=EC,BD=ED, PC+CD+PD=PC+CE+DE+PD=PC+AC+BD+PD=PA+PB=6+6=12,即PCD的周长为12. 三、解答题(共20分) 11.(2020保定莲池一模改编)在平行四边形ABCD中,AB=10,AD=m,D=60,以AB为直径作O. (1)求圆心O到CD的距离(用含m的代数式来表示); (2)当m取何值时,CD与O相切? 解析解析 (1)分别过A,O两点作AECD,OFCD,垂足分别为点E,点F, 则AEOF,OF就是圆心O到CD的距离. 四边形ABCD是平行四边形
47、,ABCD.四边形AEFO为平行四边形,AE=OF. 在RtADE中,D=60,sinD=, sin 60=.=.AE=m. OF=AE=m.圆心O到CD的距离为m. AE AD AE AD 3 2 AE m 3 2 3 2 3 2 (2)OF=m,AB为O的直径,且AB=10, 当OF=5时,CD与O相切于F点, 即m=5,m=,当m=时,CD与O相切. 3 2 3 2 10 3 3 10 3 3 12.(2019廊坊安次一模,25)四边形ABCD的对角线AC,BD交于点E,有AE=EC,BE=ED,以AB为直径的半圆 过点E,圆心为O. (1)利用图1,求证:四边形ABCD是菱形; (2)如图2,若CD的延长线与半圆相切于点F,已知直径AB=8. 连接OE,求OBE的面积; 求扇形AOE的面积. 图1 图2 解析解析 (1)证明:AE=EC,BE=ED,四边形ABCD是平行四边形, AB为半圆的直径,且过点E,AEB=90,即ACBD, 平行四边形ABCD是菱
