1、 中考数学 （广东专用） 8.4 函数综合题型 1.(2019新疆,15,5分)如图,在平面直角坐标系xOy中,已知正比例函数y=-2x与反比例函数y=的图象交于 A(a,-4),B两点.过原点O的另一条直线l与双曲线y=交于P,Q两点(P点在第二象限),若以点A,B,P,Q为顶 点的四边形面积为24,则点P的坐标是 . k x k x 答案答案 (-4,2)或(-1,8) 解析解析 把y=-4代入y=-2x,解得x=2, 点A(2,-4). 把点A(2,-4)代入y=,解得k=-8,y=-. 易知点A与点B关于原点对称, B点坐标为(-2,4). 反比例函数的图象关于原点O成中心对称, 以点
2、A,B,P,Q为顶点的四边形是平行四边形, SPOB=24=6. 设点P的横坐标为m(m0且m-2),则P. 分别过点P,B作x轴的垂线,垂足为M,N,连接BP. 当m-2时,如图, k x 8 x 1 4 8 ,m m 点P,B在双曲线上,SPOM=SBON=4, 又SBON+S梯形PMNB=SPOB+SPOM, S梯形PMNB=SPOB=6, (-2-m)=6, 1 2 8 4 m 解得m=-4或m=1(舍去), P(-4,2). 当-2m0)的图象与(1)求得的函数的图象交于A,B两点,O为坐标原点且SAOB=30,求反比 例函数解析式;已知a0,点(a,y2)与(a,y1)分别在反比例
3、函数与(1)求得的函数的图象上,直接写出y2与y1的 大小关系. k x 解析解析 (1)根据题表中的数据发现:y1和x的和为10,y1=10-x, 且当x=0时,y1=10,令y1=0,得x=10, M(10,0),N(0,10). (2)设A(m,10-m),B(n,10-n), 分别过A和B作x轴的垂线,垂足为C和D,如图, SAOB=SAOM-SOBM =10(10-m)-10(10-n)=30, 化简得n-m=6, 令y1=y2,得x2-10 x+k=0, m+n=10,mn=k,n-m=6, 则=6,解得k=16, 反比例函数解析式为y2=, 1 2 1 2 2 ()4mnmn 2
4、 104k 16 x 解x2-10 x+16=0,得x=2或x=8,A(2,8),B(8,2), (a,y2)在反比例函数y2=的图象上,(a,y1)在一次函数y1=10-x的图象上,当0a8时,y2y1,当2a 8或a0时,y2y1,当a=2或a=8时,y2=y1. 16 x 3.(2019湖北武汉,24,12分)已知抛物线C1:y=(x-1)2-4和C2:y=x2. (1)如何将抛物线C1平移得到抛物线C2? (2)如图1,抛物线C1与x轴正半轴交于点A,直线y=-x+b经过点A,交抛物线C1于另一点B,请你在线段AB上 取点P,过点P作直线PQy轴交抛物线C1于点Q,连接AQ. 若AP=
5、AQ,求点P的横坐标; 若PA=PQ,直接写出点P的横坐标; (3)如图2,MNE的顶点M,N在抛物线C2上,点M在点N右边,两条直线ME,NE与抛物线C2均有唯一公共点, ME,NE均与y轴不平行.若MNE的面积为2,设M,N两点的横坐标分别为m,n,求m与n的数量关系. 4 3 解析解析 (1)将C1先向左平移1个单位长度,再向上平移4个单位长度得到C2. 或将C1先向上平移4个单位长度,再向左平移1个单位长度得到C2. (2)如图,设直线AB与y轴交于点D,延长AQ交y轴于点D, C1:y=(x-1)2-4,A(3,0), 又直线y=-x+b经过A(3,0), b=4,D(0,4),则易
6、知D(0,-4), 直线AD的解析式为y=x-4. 由得x1=3,x2=, xQ=,xP=xQ=, 点P的横坐标为. 4 3 4 3 2 (1)4, 4 4 3 yx yx 1 3 1 3 1 3 1 3 点P的横坐标为-. 详解:由得x1=-,x2=3, 故B. 设点P的横坐标为a, 2 3 2 (1)4, 4 4 3 yx yx 7 3 7 64 , 3 9 7 3 3 a 点P在线段AB上, 点P的坐标为. 点Q在抛物线C1上, 点Q的坐标为(a,a2-2a-3). PQ2=, 又PA=PQ, PA2=(a-3)2+=, (a-3)2=(a-3)(a+1)(a-3), 又a3,(a+1)
7、=1, 4 ,4 3 aa 2 2 2 7 3 aa 2 4 4 3 a 2 2 2 7 3 aa 11 3 a 11 3 a (a+4)=0, a1=-,a2=-4(舍), 点P的横坐标为-. (3)C2:y=x2,M(m,m2),N(n,n2). 设直线ME的解析式为y=kx+t, M(m,m2),t=m2-km, 由得x2-kx+km-m2=0, 依题意有=(-k)2-4(km-m2)=0,k=2m, 直线ME的解析式为y=2mx-m2, 同理,直线NE的解析式为y=2nx-n2, 2 3 a 2 3 2 3 2 2 ,yx ykxmkm 由得E. M(m,m2),N(n,n2), 直线
8、MN的解析式为y=(m+n)x-mn, 过E作EFy轴交MN于点F,则F, EF=-mn=(m-n)2, SMNE=(m-n)(m-n)2=(m-n)3=2, m-n=2. m与n的数量关系为m-n=2. 2 2 2, 2 ymxm ynxn , 2 mn mn 22 , 22 mn mn 22 2 mn1 2 1 2 1 2 1 4 4.(2018四川宜宾,24,12分)在平面直角坐标系xOy中,已知抛物线的顶点坐标为(2,0),且经过点(4,1),如图, 直线y=x与抛物线交于A、B两点,直线l为y=-1. (1)求抛物线的解析式; (2)在l上是否存在一点P,使PA+PB取得最小值?若存
9、在,求出点P的坐标;若不存在,请说明理由; (3)已知F(x0,y0)为平面内一定点,M(m,n)为抛物线上一动点,且点M到直线l的距离与点M到点F的距离总是 相等,求定点F的坐标. 1 4 解析解析 (1)抛物线的顶点坐标为(2,0), 设抛物线的解析式为y=a(x-2)2(a0). 该抛物线经过点(4,1), 1=4a,解得a=, 抛物线的解析式为y=(x-2)2=x2-x+1. (2)联立直线AB与抛物线的解析式, 得解得 点A的坐标为,点B的坐标为(4,1). 作点B关于直线l的对称点B,连接AB交直线l于点P,此时PA+PB取得最小值(如图所示). 1 4 1 4 1 4 2 1 ,
10、 4 1 1, 4 yx yxx 1 1 1, 1 , 4 x y 2 2 4, 1, x y 1 1, 4 点B(4,1),直线l为y=-1, 点B的坐标为(4,-3). 设直线AB的解析式为y=kx+b(k0), 将A,B(4,-3)代入y=kx+b, 得解得 1 1, 4 1 , 4 43, kb kb 13 , 12 4 , 3 k b 直线AB的解析式为y=-x+, 当y=-1时,有-x+=-1, 解得x=, 点P的坐标为. (3)点M到直线l的距离与点M到点F的距离总是相等, (m-x0)2+(n-y0)2=(n+1)2, 即m2-2x0m+-2y0n+=2n+1. M(m,n)为
11、抛物线上一动点, n=m2-m+1, 13 12 4 3 13 12 4 3 28 13 28 , 1 13 2 0 x 2 0 y 1 4 m2-2x0m+-2y0+ =2+1, 整理得m2+(2-2x0+2y0)m+-2y0-3=0. m为任意值, 定点F的坐标为(2,1). 2 0 x 2 1 1 4 mm 2 0 y 2 1 1 4 mm 0 11 22 y 2 0 x 2 0 y 0 00 22 000 11 0, 22 2220, 230, y xy xyy 0 0 2, 1, x y 5.(2020黑龙江齐齐哈尔,24,14分)综合与探究 在平面直角坐标系中,抛物线y=x2+bx
12、+c经过点A(-4,0),点M为抛物线的顶点,点B在y轴上,且OA=OB,直 线AB与抛物线在第一象限交于点C(2,6),如图. (1)求抛物线的解析式; (2)直线AB的函数解析式为 ,点M的坐标为 ,cosABO= ;连接OC,若过点O的 直线交线段AC于点P,将AOC的面积分成12的两部分,则点P的坐标为 ; (3)在y轴上找一点Q,使得AMQ的周长最小.具体作法如图,作点A关于y轴的对称点A,连接MA交y轴 于点Q,连接AM、AQ,此时AMQ的周长最小.请求出点Q的坐标; (4)在坐标平面内是否存在点N,使以点A、O、C、N为顶点的四边形是平行四边形?若存在,请直接写出 点N的坐标;若
13、不存在,请说明理由. 1 2 解析解析 (1)由已知,得 b=2,c=0. y=x2+2x. (2)OA=OB,OB=4,则B(0,4), 设直线AB的解析式为y=kx+m(k0), 把A(-4,0),B(0,4)代入可得 解得 直线AB的解析式为y=x+4. 1 1640, 2 1 426, 2 bc bc 1 2 40, 4, km m 1, 4, k m 由(1)可知y=x2+2x,则y=(x+2)2-2, M的坐标为(-2,-2), OA=OB=4,AOB=90, ABO=45, cosABO=cos 45=. OP将AOC的面积分成12两部分, SAPOSACO=13或SAPOSAC
14、O=23, APO与ACO有公共底边AO,且点C的坐标为(2,6), =或=. yP=2或yP=4. 点P在直线AB上, 1 2 1 2 2 2 1 2 1 2 P C yOA yOA 1 3 1 2 1 2 P C yOA yOA 2 3 x=-2或x=0. 点P的坐标为(-2,2)或(0,4). (3)设直线MA的解析式为y=k1x+b1(k10), 将A(4,0)和M(-2,-2)代入,得 k1=,b1=-. y=x-. 把x=0代入,得y=-. Q. (4)存在,N1(-2,6),N2(6,6),N3(-6,-6). 详解:由平行四边形的对边平行且相等的性质,可通过平移已知顶点来找到点N. 11 11 40, 22, kb kb 1 3 4 3 1 3 4 3 4 3 4 0, 3 A到C的平移变换与O到N的平移变换是一致的,即先向上平移6个单位,再向右平移6个单位,因此点O 平移后得到N(6,6); C到A的平移变换与O到N的平移变换是一致的,即先向下平移6个单位,再向左平移6个单位,因此点O 平移后得到N(-6,-6); O到A的平移变换与C到N的平移变换是一致的,即向左平移4个单位,因此C(2,6)平移后得到N(-2,6).
