1、 中考数学 （福建专用） 2.3 方程组 20162020年全国中考题组 考点一 二元一次方程组及其解法 1.(2020天津,7,3分)方程组的解是( ) A. B. C. D. 24, 1 xy xy 1 2 x y 3 2 x y 2 0 x y 3 1 x y 答案答案 A +得3x=3, 系数化为1,得x=1, 将x=1代入,得y=2, 故方程组的解为故选A. 24, 1, xy xy 1, 2, x y 2.(2019天津,9,3分)方程组的解是( ) A. B. C. D. 327, 6211 xy xy 1 5 x y 1 2 x y 3 1 x y 2 1 2 x y 答案答案
2、 D +得3x+2y+6x-2y=7+11, 合并同类项得9x=18, 解得x=2, 把x=2代入中,得6+2y=7, 所以y=, 所以方程组的解为故选D. 327, 6211, xy xy 1 2 2, 1 , 2 x y 3.(2018北京,3,2分)方程组的解为( ) A. B. C. D. 3, 3814 xy xy 1 2 x y 1 2 x y 2 1 x y 2 1 x y 答案答案 D 3-得5y=-5,解得y=-1,把y=-1代入得x=2,所以方程组的解为故选 D. 3, 3814, xy xy 2, 1. x y 4.(2019福建,17,8分)解方程组: 5, 24. x
3、y xy 解析解析 +,得(x-y)+(2x+y)=5+4, 即3x=9,解得x=3,将x=3代入, 得23+y=4,解得y=-2. 所以原方程组的解为 5, 24, xy xy 3, 2. x y 5.(2018福建,17,8分)解方程组: 1, 410. xy xy 解析解析 -,得3x=9, 解得x=3. 把x=3代入,得3+y=1, 解得y=-2. 所以原方程组的解为 1, 410, xy xy 3, 2. x y 6.(2016龙岩,19,8分)解方程组: 23, 344. xy xy 解析解析 解法一:由2,得2x+4y=6,(2分) 由+,得5x=10, 解得x=2,(5分) 把
4、x=2代入,得2+2y=3, 解得y=.(7分) 原方程组的解为(8分) 解法二:由,得x=3-2y,(2分) 把代入,得3(3-2y)-4y=4, 解得y=,(5分) 把y=代入,得x=3-2, 解得x=2.(7分) 1 2 2, 1 . 2 x y 1 2 1 2 1 2 原方程组的解为(8分) 解法三:由,得2y=3-x,(2分) 把代入,得 3x-2(3-x)=4, 解得x=2,(5分) 把x=2代入,得2y=3-2, 解得y=.(7分) 原方程组的解为(8分) 2, 1 . 2 x y 1 2 2, 1 . 2 x y 考点二 二元一次方程组的应用 1.(2018福建,8,4分)我国
5、古代数学著作增删算法统宗记载“绳索量竿”问题:“一条竿子一条索,索 比竿子长一托.折回索子却量竿,却比竿子短一托.”其大意为:现有一根竿和一条绳索,用绳索去量竿,绳 索比竿长5尺;如果将绳索对半折后再去量竿,就比竿短5尺.设绳索长x尺,竿长y尺,则符合题意的方程组 是( ) A. B. C. D. 5 1 5 2 xy xy 5 1 5 2 xy xy 5 25 xy xy 5 25 xy xy 答案答案 A 绳索长x尺,竿长y尺,由绳索比竿长5尺可得x=y+5;由绳索对半折后再去量竿,就比竿短5尺可 得x=y-5,由此可得方程组故选A. 1 2 5, 1 5. 2 xy xy 2.(2020
6、广西北部湾经济区,24,10分)倡导垃圾分类,共享绿色生活.为了对回收的垃圾进行更精准的分类, 某机器人公司研发出A型和B型两款垃圾分拣机器人,已知2台A型机器人和5台B型机器人同时工作2 h 共分拣垃圾3.6吨,3台A型机器人和2台B型机器人同时工作5 h共分拣垃圾8吨. (1)1台A型机器人和1台B型机器人每小时各分拣垃圾多少吨? (2)某垃圾处理厂计划向机器人公司购进一批A型和B型垃圾分拣机器人,这批机器人每小时一共能分拣 垃圾20吨,设购买A型机器人a台(10a45),B型机器人b台,请用含a的代数式表示b; (3)机器人公司的报价如下表: 型号 原价 购买数量少于30台 购买数量不少
7、于30台 A型 20万元/台 原价购买 打九折 B型 12万元/台 原价购买 打八折 在(2)的条件下,设购买总费用为W万元,问如何购买使得总费用W最少?请说明理由. 解析解析 (1)设1台A型机器人每小时分拣x吨垃圾,1台B型机器人每小时分拣y吨垃圾, 依题意得 解得 答:1台A型机器人每小时分拣0.4吨垃圾,1台B型机器人每小时分拣0.2吨垃圾. (2)依题意得0.4a+0.2b=20, b=-2a+100(10a45). (3)结合(2),当10a30时,b=100-2a, 40b80, 此时W=20a+120.8(100-2a)=0.8a+960; 当30a45且100-2a30时,3
8、0a35, 此时W=200.9a+120.8(100-2a)=-1.2a+960; 当30a45且100-2a30时,35a45, 2(25 )3.6, 5(32 )8, xy xy 0.4, 0.2. x y 此时W=200.9a+12(100-2a)=-6a+1 200. W= 当10a30时,取a=10,函数值最小,是968; 当30a35时,取a=35,函数值最小,是918; 当35a45时,取a=45,函数值最小,是930. 918930968,a=35. 当a=35时,b=100-2a=30. 综上,购买A型机器人35台,B型机器人30台总费用最少. 0.8960(1030), 1
9、.2960(3035), 61 200(3545). aa aa aa 3.(2017福建,20,8分)我国古代数学著作孙子算经中有“鸡兔同笼”问题:“今有鸡兔同笼,上有三十 五头,下有九十四足.问鸡兔各几何?”其大意是:“有若干只鸡和兔关在同一笼子里,它们一共有35个头, 94条腿.问笼中的鸡和兔各有多少只?”试用列方程(组)解应用题的方法求出问题的解. 解析解析 设鸡有x只,兔有y只, 依题意,得解得 答:鸡有23只,兔有12只. 35, 2494, xy xy 23, 12. x y 一题多解一题多解 设鸡有x只,则兔有(35-x)只. 根据题意,得2x+4(35-x)=94, 解得x=
10、23,35-x=12. 答:鸡有23只,兔有12只. 4.(2019吉林,20,7分)问题解决 糖葫芦一般是用竹签串上山楂,再蘸以冰糖制作而成.现将一些山楂分别串在若干根竹签上.如果每根竹 签串5个山楂,还剩余4个山楂;如果每根竹签串8个山楂,还剩余7根竹签.这些竹签有多少根?山楂有多少 个? 反思归纳 现有a根竹签,b个山楂.若每根竹签串c个山楂,还剩余d个山楂,则下列等式成立的是 (填写序号). (1)bc+d=a;(2)ac+d=b;(3)ac-d=b. 解析解析 问题解决 解法一:设竹签有x根,山楂有y个.(1分) 根据题意,得(3分) 解得 答:竹签有20根,山楂有104个.(5分)
11、 解法二:设竹签有x根.(1分) 根据题意,得5x+4=8(x-7),(3分) 解得x=20.5x+4=520+4=104. 答:竹签有20根,山楂有104个.(5分) 反思归纳 (2)(7分) 详解:每一根竹签上有c个山楂,共有a根竹签,所以此时有ac个山楂,还剩余d个山楂,所以共有(ac+d)个山 楂,所以ac+d=b.(2)正确. 54, 8(7), xy xy 20, 104. x y 教师专用题组 考点一 二元一次方程组及其解法 1.(2020江苏南京,11,2分)已知x、y满足方程组则x+y的值为 . 31, 23, xy xy 答案答案 1 解析解析 2-得5y=-5,解得y=-
12、1, 将y=-1代入,解得x=2,则x+y=2-1=1. 31, 23, xy xy 2.(2019山西,16(2),5分)解方程组: 328, 20. xy xy 解析解析 +,得4x=-8, x=-2. 将x=-2代入,得-2+2y=0, y=1. 所以原方程组的解为 2, 1. x y 3.(2018湖北武汉,17,8分)解方程组: 10, 216. xy xy 解析解析 -,得x=6, 把x=6代入,得y=4, 方程组的解为 10, 216, xy xy 6, 4. x y (2019安徽,17,8分)为实施乡村振兴战略,解决某山区老百姓出行难问题,当地政府决定修建一条高速公 路.其中
13、一段长为146米的山体隧道贯穿工程由甲乙两个工程队负责施工.甲工程队独立工作2天后,乙工 程队加入,两工程队又联合工作了1天,这3天共掘进26米.已知甲工程队每天比乙工程队多掘进2米,按此 速度完成这项隧道贯穿工程,甲乙两个工程队还需联合工作多少天? 考点二 二元一次方程组的应用 解析解析 设甲工程队每天掘进x米,乙工程队每天掘进y米,根据题意有 解得 所以(146-26)(7+5)=10(天). 答:甲乙两个工程队还需联合工作10天.(8分) 2, 326, xy xy 7, 5. x y 一题多解一题多解 设乙工程队每天掘进x米,则甲工程队每天掘进(x+2)米,由题意可得2(x+2)+(x
14、+x+2)=26, 解得x=5. 所以乙工程队每天掘进5米,甲工程队每天掘进7米. 因为剩下的工程还有146-26=120(米), 所以甲乙还需要联合工作=10(天), 答:甲乙两个工程队还需联合工作10天. 120 57 A组 20182020年模拟基础题组 时间:20分钟 分值:34分 一、选择题（每小题4分，共12分） 1.(2019龙岩二检,4)是方程组的解,则5a-b的值是( ) A.10 B.-10 C.14 D.21 ,xa yb 23, 327 xy xy 答案答案 A 将代入原方程组,得 由+,得5a-b=10,故选A. ,xa yb 23, 327, ab ab 方法点拨方
15、法点拨 常规方法是先解出a,b的值,再代入代数式5a-b中求值,观察本题可发现,将方程组中两方程相 加后,可直接得到5a-b的值. 2.(2020莆田二检,8)我国古代数学著作九章算术卷七有这样一个问题:“今有共买物,人出八,盈三; 人出七,不足四,问人数、物价几何?”意思是:现在有几个人共同出钱去买件物品,如果每人出8钱,则剩 余3钱;如果每人出7钱,则差4钱,问有多少人?物品的价格是多少?设有x人,物品的价格为y元,可列方程 (组)为( ) A.= B.= C. D. 3 8 x 4 7 x 3 8 y 4 7 y 83 74 xy xy 83 74 xy xy 答案答案 C 题中有两个等
16、量关系: 8人数-3=价格, 7人数+4=价格. 根据题意可得 故选C. 83, 74. xy xy 方法总结方法总结 列方程组解应用题的关键是审清题意,准确找出等量关系,然后设出未知数,列出方程组即可 解决问题. 3.(2020漳州二检,7)九章算术是中国古代数学著作之一,书中有这样一个问题:五只雀,六只燕共重一 斤,雀重燕轻,互换一只,恰好一样重.问:每只雀、燕的质量各为多少?设每只雀的质量均为x斤,每只燕的 质量均为y斤,则可列方程组为( ) A. B. C. D. 561 56 xy xyyx 651 56 xy xyyx 561 45 xy xyyx 651 45 xy xyyx 答
17、案答案 C 题中有两个等量关系. 5只雀的质量+6只燕的质量=1斤, 4只雀的质量+1只燕的质量=5只燕的质量+1只雀的质量. 故 561, 45. xy xyyx 二、填空题（共4分） 4.(2020三明二检,14)我国古代数学著作九章算术有一道关于买田的问题:“今有善田一亩,价三百; 恶田一亩,价五十.今并买顷,价钱一万,问善田、恶田各几何?”其意思是“好田300钱一亩,坏田50钱一 亩,合买好田、坏田100亩,共需10 000钱,问买了好田、坏田各多少亩?”设买了好田x亩,坏田y亩,可列方 程组为 . 答案答案 100 3005010 000 xy xy 解析解析 题中有两个等量关系:
18、好田亩数+坏田亩数=100亩, 购买好田的钱数+购买坏田的钱数=10 000钱. 根据题意,得 100, 3005010 000. xy xy 三、解答题（共18分） 5.(2020漳州平和质检,17)解方程组: 325, 28. xy xy 解析解析 由得y=2x-8,(2分) 把代入得3x+4x-16=5, 解得x=3,(4分) 把x=3代入得y=-2,(6分) 则方程组的解为(8分) 325, 28, xy xy 3, 2. x y 6.(2019南平适应性检测,23)某超市为了扩大影响,对商品A和B进行打折促销.打折前,买60件A商品和30 件B商品用了1 080元,买50件A商品和1
19、0件B商品用了840元.打折后,买500件A商品和500件B商品用了 9 600元,问打折后比打折前少花多少钱? 解析解析 设商品A原价每件x元,商品B原价每件y元, 依题意,得(4分) 解得(8分) 买500件A商品和500件B商品打折前后相差: 50016+5004-9 600=400(元). 答:打折后,买500件A商品和500件B商品比打折前少花400元.(10分) 60301 080, 5010840, xy xy 16, 4, x y B组 20182020年模拟提升题组 时间:20分钟 分值:34分 一、选择题（共4分） 1.(2019福州二检,10)一套数学题集共有100道题,
20、甲、乙、丙三人分别作答,每道题至少有一人解对,且每 人都解对了其中的60道.如果将其中只有1人解对的题称作难题,2人解对的题称作中档题,3人都解对的 题称作容易题,那么下列判断一定正确的是( ) A.容易题和中档题共60道 B.难题比容易题多20道 C.难题比中档题多10道 D.中档题比容易题多15道 答案答案 B 设容易题为a道,中档题为b道,难题为c道, 则 由-得2a+b=80, 由2-,得c-a=20, 由3-,得b+2c=120.故选B. 100, 32180, abc abc 二、填空题（共4分） 2.(2019泉州晋江质检,15)方程组的解满足x+y-2,则m的取值范围是 . 2
21、21, 23 xym xym 答案答案 m-8 解析解析 +得3x+3y=m+2,x+y=, x+y-2,-2,解得m-8. 221, 23, xym xym 2 3 m 2 3 m 三、解答题（共26分） 3.(2018福州质检,20)我国古代数学著作九章算术的“方程”一章里,一次方程组是由算筹布置而成 的.图中各行从左到右列出的算筹数分别表示未知数x、y的系数与相应的常数项,把图1所示的算筹图用 我们现在所熟悉的方程组的形式表述出来,就是请你根据图2所示的算筹图,列出方程组,并 求解. 410, 61134, xy xy 解析解析 依题意,得 由得y=7-2x. 把代入,得x+3(7-2x
22、)=11, 解这个方程,得x=2. 把x=2代入,得y=3. 这个方程组的解是 27, 311, xy xy 2, 3. x y 4.(2020漳州线上质检,21)滴滴快车是一种便捷的出行工具,其计价规则如下表: 计费项目 里程费 时长费 远途费 单价 1.8元/千米 0.3元/分钟 0.8元/千米 注:车费由里程费、时长费、远途费三部分构成,其中里程费按行车的实际里程计算;时长费按行车 的实际时间计算;远途费的收取方式:行车里程7千米以内(含7千米)不收远途费,超过7千米,超出部 分每千米收0.8元. 小王与小张各自乘坐滴滴快车前往约见地点,已知到达约见地点时他们的行车实际里程分别为6千米与
23、 8.5千米,两人付给滴滴快车的车费相同. (1)求这两辆滴滴快车的实际行车时间相差多少分钟; (2)实际乘车时间较少的人,由于出发时间比另一人早,所以提前到达约见地点,在大厅等候.已知他等候 另一人的时间是他自己实际乘车时间的1.5倍,且比另一人的实际乘车时间的一半多8.5分钟,计算俩人各 自的实际乘车时间. 解析解析 (1)设小王的实际乘车时间为x分钟,小张的实际乘车时间为y分钟.(1分) 由题意,得1.86+0.3x=1.88.5+0.3y+0.8(8.5-7).(3分) 10.8+0.3x=16.5+0.3y,即0.3(x-y)=5.7. x-y=19. 小王和小张的实际乘车时间即为两
24、辆滴滴快车的实际行车时间, 这两辆滴滴快车的实际行车时间相差19分钟.(4分) (2)由(1)及题意,得(6分) 解得 答:小王的实际乘车时间为37分钟,小张的实际乘车时间为18分钟.(8分) 19, 1.50.58.5. xy yx 37, 18. x y 5.(2020龙岩二检,22)新冠病毒潜伏期较长,能通过多种渠道传播,所以我们要做好最基本的防护:在公共 区域和陌生人保持距离,勤洗手,出门戴口罩.某区中小学陆续复学,为了提高同学们的防疫意识,决定组 织防疫知识竞赛活动,评出一、二、三等奖各若干名,并分别以洗手液、温度计和口罩作为奖品. (1)如果温度计的单价比口罩的单价多1元,购买1瓶
25、洗手液和5个口罩共需22元;购买2瓶洗手液比购买6 支温度计多花6元,求洗手液、温度计和口罩的单价各是多少元; (2)已知本次竞赛活动获得三等奖的人数是获得二等奖人数的2倍,且获得一等奖的人数不超过获奖总人 数的五分之一,如果购买这三种奖品的总费用为308元,求本次竞赛活动获得一、二、三等奖的各有多少 人. 解析解析 (1)设口罩的单价为x元,洗手液的单价为y元, 则温度计的单价为(x+1)元,(1分) 依题意有(3分) 解得 答:洗手液的单价为12元,温度计的单价为3元,口罩的单价为2元.(4分) (2)解法一:设获得一等奖的有m人,获得二等奖的有n人,获得三等奖的有2n人, 则12m+3n
26、+22n=308,即12m+7n=308.(6分) n=44-m,(7分) 获得一等奖的人数不超过获奖总人数的五分之一, m,化简得4m3n. 522, 26(1)6. xy yx 2, 12. x y 308 12 7 m12 7 2 5 mnn m,n都是正整数,由n=44-m可知,m是7的倍数, 当m=7时,n=32,2n=64;当m=14时,n=20,2n=40; 当m=21时,n=8,2n=16. 又4m3n,故m=21不合题意,舍去, 答:本次竞赛活动获得一等奖的有7人、获得二等奖的有32人、获得三等奖的有64人;或获得一等奖的 有14人、获得二等奖的有20人、获得三等奖的有40人
27、.(10分) 解法二:设获得一等奖的有m人,获得二等奖的有n人,获得三等奖的有2n人, 则12m+3n+22n=308,即12m+7n=308,(6分) 获得一等奖的人数不超过获奖总人数的五分之一, m,化简得4m3n. 由12m+7n=308,得n=,代入4m3n有4m3, 解得m14,(7分) 12 7 2 5 mnn 308 12 7 m 308 12 7 m 7 16 m,n都是正整数, 且n=44-m, m是7的倍数. 当m=7时,n=32,2n=64; 当m=14时,n=20,2n=40. 答:本次竞赛活动获得一等奖的有7人、获得二等奖的有32人、获得三等奖的有64人;或获得一等奖的 有14人、获得二等奖的有20人、获得三等奖的有40人.(10分) 308 12 7 m12 7
