1、 中考数学 （福建专用） 6.4 视图与投影 20162020年全国中考题组 考点一 几何体及其展开图 1.(2020江西,5,3分)如图所示,正方体的展开图为( ) 答案答案 A 动手操作可知选A. 2.(2018陕西,2,3分)下图是一个几何体的表面展开图,则该几何体是( ) A.三棱柱 B.四棱锥 C.正方体 D.长方体 答案答案 A 由几何体的表面展开图可知这个几何体为三棱柱.故选A. 3.(2019山西,3,3分)某正方体的每个面上都有一个汉字,如图是它的一种展开图,那么在原正方体中,与 “点”字所在面相对的面上的汉字是( ) A.青 B.春 C.梦 D.想 答案答案 B 正方体的展
2、开图中隔一行或隔一列的两个面可能是相对面,题图中的“点”与“春”所在面 隔着“亮”“青”一列,因此“点”与“春”所在面是相对面,故选B. 4.(2016河北,8,3分)图1和图2中所有的正方形都全等,将图1的正方形放在图2的某一位置,所组 成的图形围成正方体的位置是( ) A. B. C. D. 不能 答案答案 A 将题图1的正方形放在处时,不能围成正方体. 考点二 几何体的三视图与投影 1.(2020福建,2,4分)如图所示的六角螺母,其俯视图是( ) 答案答案 B 俯视图的观察方向是从上往下,看到的是一个正六边形,中间有一个圆形,故选B. 2.(2020宁夏,8,3分)图2是图1长方体的三
3、视图,若用S表示面积,S主=a2,S左=a2+a,则S俯=( ) A.a2+a B.2a2 C.a2+2a+1 D.2a2+a 答案答案 A 由长方体及三视图可知俯视图与左视图的面积相等,故选A. 3.(2020山东青岛,4,3分)如图所示的几何体,其俯视图是( ) 答案答案 A 从上向下观察这个几何体,看得见的线画成实线,看不见的线画成虚线,故选A. 4.(2020贵州贵阳,6,3分)下列四幅图中,能表示两棵树在同一时刻太阳光下的影子的图是( ) 答案答案 C 两棵树在同一时刻太阳光下的影子方向相同,树高和影长成正比,所以C选项正确.故选C. 5.(2019福建,4,4分)如图是由一个长方体
4、和一个球组成的几何体,它的主视图是( ) 答案答案 C 根据几何体的特征以及位置关系可知,选项C中的图形是其主视图,故选C. 6.(2018福建,2,4分)某几何体的三视图如图所示,则该几何体是( ) A.圆柱 B.三棱柱 C.长方体 D.四棱锥 答案答案 C 由主视图是矩形可知选项D不符合题意,由俯视图是矩形可知选项A、B不符合题意,故选C. 7.(2016莆田,4,4分)图中三视图对应的几何体是( ) 答案答案 C 根据三视图的概念,结合各选项知选C. 8.(2017福建,2,4分)如图,由四个正方体组成的几何体的左视图是( ) 答案答案 B 从左面看到的是上下叠放在一起的两个小正方形,故
5、选B. 9.(2016福州,2,3分)如图是3个相同的小正方体组合而成的几何体,它的俯视图是( ) 答案答案 C 根据俯视图的定义可知选C. 10.(2016漳州,2,4分)下列四个几何体中,左视图为圆的是( ) 答案答案 D A的左视图是矩形;B的左视图是梯形;C的左视图是等腰三角形;D的左视图为圆.故选D. 11.(2016龙岩,5,4分)如图,正三棱柱的主视图为( ) 答案答案 B 从正面看是矩形,且中间有一条实线,故选B. 思路分析思路分析 根据三视图的含义及主视图观察的角度来解决此题. 12.(2016宁德,6,4分)如图是由7个大小相同的小正方体堆砌而成的几何体,若从标有的四个小
6、正方体中取走一个后,余下的几何体与原几何体的主视图相同,则取走的正方体是( ) A. B. C. D. 答案答案 A 原几何体的主视图是,取走正方体后的主视图与原几何体的主视 图相同.故选A. 13.(2019河北,14,2分)图2是图1中长方体的三视图,若用S表示面积,且S主=x2+2x,S左=x2+x,则S俯=( ) 图1 图2 A.x2+3x+2 B.x2+2 C.x2+2x+1 D.2x2+3x 答案答案 A 由长方体的三视图可知长方体的高为x,根据S主=x2+2x可得长方体底面长方形的长为(x+2);根 据S左=x2+x可得长方体底面长方形的宽为(x+1),所以S俯=(x+2)(x+
7、1)=x2+3x+2,故选A. 思路分析思路分析 首先根据长方体的主视图求出长方体底面长方形的长,进而根据长方体的左视图求出长方 体底面长方形的宽,两者的乘积即为长方体俯视图的面积. 方法指导方法指导 主视图、左视图、俯视图是分别从正面、左面、上面三个方向看同一个物体,所得到的是 平面图形.主视图体现物体的长和高,左视图体现物体的宽和高,俯视图体现物体的长和宽. 14.(2019吉林,13,3分)在某一时刻,测得一根高为1.8 m的竹竿的影长为3 m,同时同地测得一栋楼的影长 为90 m,则这栋楼的高度为 m. 答案答案 54 解析解析 因为时刻相同,所以光线是平行的.设这栋楼的高度为x m,
8、则=,解得x=54. 1.8 390 x 15.(2018黑龙江齐齐哈尔,13,3分)三棱柱的三视图如图所示,已知EFG中,EF=8 cm,EG=12 cm,EFG= 45,则AB的长为 cm. 答案答案 4 2 解析解析 如图,作EHFG于点H, 在RtEFH中,EH=EF sin 45=4 cm, 所以AB=EH=4 cm. 2 2 教师专用题组 考点一 几何体及其展开图 1.(2017内蒙古包头,4,3分)将一个无盖正方体形状盒子的表面沿某些棱剪开,展开后不能得到的平面图 形是( ) 答案答案 C 根据正方体表面展开图的特点知C不可能,故选C. 2.(2018北京,1,2分)下列几何体中
9、,是圆柱的为( ) 答案答案 A 选项A是圆柱,选项B是圆锥,选项C是四棱柱,选项D是四棱锥.故选A. 考点二 几何体的三视图与投影 1.(2020云南,8,4分)下列几何体中,主视图是长方形的是( ) 答案答案 A 选项A中圆柱的主视图是长方形,故选A. 2.(2019黑龙江齐齐哈尔,6,3分)如图是由几个相同大小的小正方体搭建而成的几何体的主视图和俯视 图,则搭建这个几何体所需要的小正方体的个数至少为( ) A.5 B.6 C.7 D.8 答案答案 B 结合主视图和俯视图可知这个几何体共有2层,底层有4个小正方体,第2层最少有2个小正方 体.故搭建这个几何体的小正方体的个数最少是6.故选B
10、. 3.(2020内蒙古呼和浩特,12,3分)一个几何体的三视图如图所示,则该几何体的表面积为 . 答案答案 3+4 解析解析 依题意得,S表=2S底+S侧, S底=12=,S侧=22+22=2+4, S表=2+2+4=3+4. 1 2 1 2 1 2 1 2 4.(2016北京,14,3分)如图,小军、小珠之间的距离为2.7 m,他们在同一盏路灯下的影长分别为1.8 m,1.5 m.已知小军、小珠的身高分别为1.8 m,1.5 m,则路灯的高为 m. 答案答案 3 解析解析 如图,由题意可知,B=C=45,ADBC, BC=2AD=BF+FH+HC=1.8+2.7+1.5=6, AD=3.即
11、路灯的高为3 m. 5.(2016陕西,20,7分)某市为了打造森林城市,树立城市新地标,实现绿色、共享发展理念,在城南建起了 “望月阁”及环阁公园.小亮、小芳等同学想用一些测量工具和所学的几何知识测量“望月阁”的高 度,来检验自己掌握知识和运用知识的能力.他们经过观察发现,观测点与“望月阁”底部间的距离不易 测得,因此经过研究需要两次测量.于是他们首先用平面镜进行测量,方法如下:如图,小芳在小亮和“望 月阁”之间的直线BM上平放一平面镜,在镜面上做了一个标记,这个标记在直线BM上的对应位置为 点C.镜子不动,小亮看着镜面上的标记,他来回走动,走到点D时,看到“望月阁”顶端点A在镜面中的像 与
12、镜面上的标记重合.这时,测得小亮眼睛与地面的距离ED=1.5米,CD=2米;然后,在阳光下,他们用测影 长的方法进行了第二次测量,方法如下:如图,小亮从D点沿DM方向走了16米,到达“望月阁”影子的末 端F点处,此时,测得小亮的影长FH=2.5米,身高FG=1.65米. 如图,已知:ABBM,EDBM,GFBM.其中,测量时所使用的平面镜的厚度忽略不计.请你根据题中提供 的相关信息,求出“望月阁”的高AB的长度. 解析解析 由题意得ABC=EDC=GFH=90, ACB=ECD,AFB=GHF. ABCEDC,ABFGFH.(3分) =,=, 即=,=,(5分) 解之,得AB=99(米). 答
13、:“望月阁”的高度为99米.(7分) AB ED BC DC AB GF BF FH 1.5 AB 2 BC 1.65 AB18 2.5 BC 思路分析思路分析 理解题意,正确画出图形,根据图形找出线段之间的数量关系是关键. A组 20182020年模拟基础题组 时间:20分钟 分值:44分 选择题（每小题4分，共44分） 1.(2020三明二检,2)如图所示的几何体由5个大小相同的小立方块搭成,其左视图是( ) 答案答案 A 从左面观察该几何体,从左往右有2列,每列正方形的个数依次为2,1, 故选A. 2.(2020宁德二检,4)下列是由4个大小相同的正方体搭成的几何体,其中,左视图与其他几
14、何体的左视图 不同的为( ) 答案答案 C 根据几何体的特征可得A、B、D的左视图均为,而C的左视图为,故选C. 3.(2020漳州平和质检,3)如图,该几何体的左视图是( ) 答案答案 B 根据几何体的特征可知,选项B中图形是其左视图,故选B. 4.(2020南平二检,4)如图是一个几何体的三视图,这个几何体的名称是( ) A.圆柱 B.三棱锥 C.球 D.圆锥 答案答案 A 根据三视图的画法及几何体的特征,可知该几何体为圆柱. 5.(2020漳州线上质检,2)如图是一个正六棱柱,其主视图是( ) 答案答案 A 主视图是从正面看得到的图形,从正面看是左右相邻的3个矩形,中间的矩形面积较大,两
15、边的 相同.故选A. 方法总结方法总结 三视图隐含“长对正,高平齐,宽相等”的数量关系,三视图中,看得见的用实线,看不见的用 虚线. 6.(2020福州福清线上质检,4)一个立体图形的三视图如图所示,那么这个立体图形是( ) A.四棱锥 B.三棱锥 C.圆锥 D.三棱柱 答案答案 A 从主视图以及左视图都为一个三角形,俯视图为正方形来看,可以确定这个几何体为四棱锥. 故选A. 7.(2019宁德二检,2)下列几何体中,主视图与俯视图相同的是( ) 圆柱 圆锥 球 正六棱柱 主视图 长方形 三角形 圆 俯视图 圆 带圆心的圆 圆 正六边形 答案答案 C 这几种几何体的主视图与俯视图如下: 故选C
16、. 8.(2019三明二检,3)如图,该几何体的左视图是( ) 答案答案 A 从左边看是一个矩形,中间有一条水平的虚线,故选A. 解题要点解题要点 画三视图时,注意看不到的线用虚线表示. 9.(2019泉州晋江质检,4)如图,棱长都相等的三棱柱横放在水平面上,则其俯视图正确的是( ) 答案答案 D 本题考查三棱柱的三视图,看得见的轮廓线用实线.故选D. 10.(2019泉州石狮质检,6)下列几何体是由4个正方体搭成的,其中主视图和俯视图相同的是( ) 答案答案 B A.主视图为,俯视图为,不符合题意. B.主视图为,俯视图为,符合题意. C.主视图为,俯视图为,不符合题意. D.主视图为,俯视
17、图为,不符合题意. 故选B. 解后反思解后反思 明确主视图是从正面看,俯视图是从上面看是解题的关键. 11.(2018漳州二检,3)如图是某几何体的左视图,则该几何体不可能是( ) 答案答案 D 选项A、B、C中图形的左视图均为已知图形,而选项D中图形的左视图在题图的基础上下边 一行多了一个正方形,故选D. B组 20182020年模拟提升题组 时间:15分钟 分值:20分 一、选择题（每小题4分，共12分） 1.(2019漳州二检,4)在圆锥、圆柱、球、正方体这四个几何体中,主视图不可能是多边形的是( ) A.圆锥 B.圆柱 C.球 D.正方体 答案答案 C 根据常见几何体的三视图,可知圆锥
18、的主视图是三角形,圆柱的主视图是矩形,球的主视图是 圆,正方体的主视图是正方形,故选C. 2.(2018宁德二检,4)由6个大小相同的小正方体拼成的几何体如图所示,则下列说法正确的是( ) A.主视图的面积最大 B.左视图的面积最大 C.俯视图的面积最大 D.三种视图的面积相等 答案答案 A 设每个小正方体的棱长为1, 主视图为 , 面积为5; 左视图为,面积为3; 俯视图为,面积为4,故选A. 3.(2020福州二检,8)若一个粮仓的三视图如图所示(单位:m),则它的体积参考公式:V圆锥=S底h,V圆柱=S底h 是( ) A.21 m3 B.36 m3 C.45 m3 D.63 m3 1 3
19、 答案答案 C 粮仓由两个部分组成,这两个部分分别为圆锥和圆柱. 故V粮仓=V圆锥+V圆柱, 由题图可得h圆锥=7-4=3(m),h圆柱=4(m),且底面圆的直径为6 m,即半径为3 m, 故S底=r2=32=9(m2). V圆锥=S底h圆锥=93=9(m3), V圆柱=S底h圆柱=94=36(m3), 所以V粮仓=V圆锥+V圆柱=9+36=45(m3). 1 3 1 3 二、填空题（每小题4分，共8分） 4.(2019福州二检,12)若某几何体从某个方向观察得到的视图是正方形,则这个几何体可以是 . 答案答案 正方体(答案不唯一) 解析解析 从任意角度看,只要有一个角度能看到正方形即可,如正
20、方体. 5.(2019福建考纲样卷,12)如图是正方体的一种展开图,其每个面上都标有一个数字,那么在原正方体中, 与数字“2”相对的面上的数字是 . 答案答案 4 解析解析 由相邻面和相对面的规律可知“1”与“6”所在的面是对面,“2”与“4”所在的面是对面, “3”与“5”所在的面是对面. 一、选择题（每小题4分，共28分） 1.原创题新型冠状病毒肺炎的爆发,使人们更加关注生物病毒的危害性.大家知道生物危险标志吗?生 物危险标志(Biohazard Symbol)由查尔斯 鲍德温(Charles Baldwin)设计,颜色是鲜艳的黄色(或橙色)与黑 色.则关于生物危险标志的对称性,下列说法正
21、确的是( ) A.既是轴对称图形,又是中心对称图形 B.是中心对称图形,但不是轴对称图形 C.是轴对称图形,但不是中心对称图形 D.既不是轴对称图形,也不是中心对称图形 答案答案 C 观察图形可知生物危险标志是轴对称图形,但不是中心对称图形.故选C. 2.原创题2020年2月,为了应对武汉发生的新型冠状病毒疫情,国家卫健委及相关单位在武汉建立了武 汉火神山医院、武汉雷神山医院,以及13所方舱医院.截至2020年2月15日,武汉已开放9个方舱医院.下图 是某方舱医院的病床示意图,则俯视图正确的是( ) 答案答案 C 从上向下看得到的图形是俯视图,可得答案.故选C. 3.已知sin 6=a,sin
22、 36=b,则sin26=( ) A.a2 B.2a C.b2 D.b 答案答案 A sin 6=a, sin26=a2.故选A. 易错警示易错警示 sin26表示sin 6的平方,而不是6平方的正弦值,不要误选D. 4.如图,ABC沿着由点B到点E的方向,平移得到DEF,已知BC=5,EC=3,那么平移的距离为( ) A.2 B.3 C.5 D.7 答案答案 A 根据平移的性质,易得平移的距离为BE,BE=5-3=2,故选A. 5.如图,大三角形与小三角形是位似图形.若小三角形一个顶点的坐标为(m,n),则大三角形中与之对应的 顶点坐标为( ) A.(-2m,-2n) B.(2m,2n) C
23、.(-2n,-2m) D.(2n,2m) 答案答案 A 由题图知两三角形的位似中心为原点,且位似比为12,所以大三角形中与点(m,n)对应的点 的坐标为(-2m,-2n),故选A. 6.数学兴趣小组开展以下折纸活动: (1)对折矩形纸片ABCD,使AD和BC重合,得到折痕EF,把纸片展平; (2)再一次折叠纸片,使点A落在EF上,并使折痕经过点B,得到折痕BM,同时得到线段BN. 观察,探究可以得到ABM的度数是( ) A.25 B.30 C.36 D.45 答案答案 B 连接AN,EF垂直平分AB, AN=BN,由折叠知AB=BN, AN=AB=BN, ABN为等边三角形, ABN=60,
24、ABM=NBM=30.故选B. 7.(2016山东青岛,5)如图,线段AB经过平移得到线段AB,其中点A,B的对应点分别为点A,B,这四个点都 在格点上.若线段AB上有一个点P(a,b),则点P在AB上的对应点P的坐标为( ) A.(a-2,b+3) B.(a-2,b-3) C.(a+2,b+3) D.(a+2,b-3) 答案答案 A 线段AB向左平移2个单位长度,再向上平移3个单位长度得到线段AB,由此可知线段AB上的 点P(a,b)的对应点P的坐标为(a-2,b+3),故选A. 思路分析思路分析 在平面直角坐标系中,点的平移与其坐标变化的关系是“上加下减,右加左减”,即点向上 (或下)平移
25、a个单位长度,则纵坐标加a(或减a);点向右(或左)平移b个单位长度,则横坐标加b(或减b). 二、填空题（每小题4分，共24分） 8.对于锐角,tan sin (填“”“ 解析解析 设RtABC的三边分别为a,b,c,其中的对边为a,斜边为c, tan =,sin =, b, 即tan sin . a b a c a b a c 9.(2018三明二检,13)如图,一名滑雪运动员沿倾斜角为34的斜坡从A滑行至B.已知AB=500米,则这名滑 雪运动员下降的垂直高度为 米. (参考数据:sin 340.56,cos 340.83,tan 340.67) 答案答案 280 解析解析 依题意所求高
26、度即是AC的长度,sinABC=,ABC=34,sin 340.56,AB=500米,则AC=AB sinABC5000.56=280米. AC AB 10.如图,ADBECF,直线l1,l2与这三条平行线分别交于点A,B,C和D,E,F,=,DE=6,则EF= . AB BC 2 3 答案答案 9 解析解析 ADBECF,=, 即=, EF=9. AB BC DE EF 2 3 6 EF 思路分析思路分析 根据平行线分线段成比例定理得到=,即=,然后根据比例性质求EF. AB BC DE EF 2 3 6 EF 11.(2018龙岩二检,14)如图,在ABC中,ACB=90,A=30,AB=
27、2,将ABC绕着点C逆时针旋转到 DEC位置时,点B恰好落在DE边上,若继续旋转,点B运动到点E的路径长为 . 答案答案 3 解析解析 在ABC中,ACB=90,A=30,AB=2,可得BC=1,ABC=60, 再根据旋转的定义及性质可得CE=BC=1,E=ABC=60,进而得到CBE为等边三角形,BCE=60, 根据弧长公式可求得的长度为, 即点B运动到点E的路径长为. BE 3 3 12.如图,在ABC中,ACB=90,AB=5,BC=3,P是AB边上的动点(不与点B重合),将BCP沿CP所在的直 线翻折,得到BCP,连接BA,则BA长度的最小值是 . 答案答案 1 解析解析 在RtABC
28、中,由勾股定理得AC=4,由轴对称的性质可知BC=CB=3,CB 长度固定不变, 当AB+CB有最小值时,AB的长度有最小值.根据两点之间线段最短可知当A、B、C三点在一条直线 上时,AB有最小值, 此时AB=AC-BC=4-3=1, 故答案为1. 22 ABBC 22 53 13.如图,ABC中,AB=AC,A=36,D为AC边上一点,将CBD沿直线BD翻折,使翻折后的点C恰好仍在 AC边上,CBD的度数是 . 答案答案 18 解析解析 若翻折后的点C恰好在AC边上的点E处,由折叠的性质可得BDC=BDE=90, AB=AC,A=36, C=72, 在RtBCD中,CBD=90-72=18.
29、 三、解答题（共48分） 14.素养题(8分)在证明“两边对应成比例且夹角对应相等的两个三角形相似”如图,已知= (ABDE),A=D,求证:ABCDEF时,利用了转化的数学思想,通过添加辅助线,将未知的判定方 法转化为已经解决的方法(即已知两组角对应相等推得相似). (1)分别在线段AB、AC上求作点G、H,满足AG=DE且GHBC;(要求:尺规作图,不写作法,保留作图痕 迹) (2)请利用上述方法完成这个定理的证明. DE AB DF AC 解析解析 (1)如图所示,点G、H即为所求. (2)GHBC, AGH=ABC,AHG=ACB, AGHABC, =, =,AG=DE, AG AB
30、AH AC DE AB DF AC AH=DF, A=D, AGHDEF(SAS), ABCDEF. 思路分析思路分析 (1)在AB上截取AG=DE,作同位角AGH=ABC,则GHBC. (2)先证明AGHABC,再由已知条件证明AGHDEF,即可证明ABCDEF. 15.(8分)如图,从A地到B地的公路需要经过C地,根据规划,将在A,B两地之间修建一条笔直的公路.已知 AC=10千米,CAB=34,CBA=45,求改直后公路AB的长(结果精确到0.1千米). (参考数据:sin 340.559,cos 340.829,tan 340.675) 解析解析 过点C作CDAB于点D. 在RtACD
31、中,sinCAD=,cosCAD=, CD=10sin 34100.559=5.59, AD=10cos 34100.829=8.29.(5分) 在RtBCD中,CBD=45, DB=CD=5.59.(7分) AB=AD+DB=8.29+5.5913.9(千米). 答:改直后公路AB的长为13.9千米.(8分) CD AC AD AC 名师指导名师指导 本题考查解直角三角形的实际应用,解题关键在于构造直角三角形. 16.(7分)晚饭后,小聪和小军在社区广场散步.小聪问小军:“你有多高?”小军一时语塞,小聪思考片刻, 提议用广场照明灯下的影长及地砖长来测量小军的身高.于是,两人在灯下沿直线NQ移
32、动,如图,当小聪 正好站在广场的A点(距N点5 块地砖长)时,其影长AD恰好为1块地砖长;当小军正好站在广场的B点(距N 点9块地砖长)时,其影长BF恰好为2块地砖长.已知广场地面由边长为0.8米的正方形地砖铺成,小聪的身 高AC为1.6米,MNNQ,ACNQ,BENQ.请你根据以上信息,求出小军身高BE的长.(结果精确到0.01米) CADMND. =.(2分) =. MN=9.6.(3分) 又EBF=MNF=90,EFB=MFN, EBFMNF. =.(5分) =. EB1.75. 小军的身高约为1.75米.(7分) CA MN AD ND 1.6 MN 1 0.8 (51)0.8 EB
33、MN BF NF 9.6 EB20.8 (29)0.8 解析解析 由题意得CAD=MND=90,CDA=MDN, 17.(13分)(1)图1是某个多面体的表面展开图. 请你写出这个多面体的名称,并指出图中哪三个字母表示多面体的同一点; 如果沿BC、GH将展开图剪成三块,恰好拼成一个矩形,那么BMC应满足什么条件?(不必说理由) (2)如果将一个三棱柱的表面展开图剪成四块,恰好拼成一个三角形,如图2,那么该三棱柱的侧面积与表 面积的比值是什么?为什么?(注:以上剪拼中所有接缝均忽略不计) 解析解析 (1)(直)三棱柱,点A、M、D表示多面体的同一点.(4分) BMC应满足的条件是 a.BMC=9
34、0,且BM=DH或CM=DH;(7分) b.MBC=90,且BM=DH或BC=DH; c.BCM=90,且BC=DH或CM=DH.(9分) (2)该三棱柱的侧面积与表面积的比值是.(10分) 理由如下:如图所示,连接AB、BC、CA. DEF是由一个三棱柱表面展开图剪拼而成的, 矩形ACKL、BIJC、AGHB为棱柱的三个侧面,且四边形DGAL、EIBH、FKCJ需拼成与底面ABC全 1 2 等的另一个底面三角形, =.(11分) 同理可得,=. ABCDEF, =, 即SDEF=4SABC.(12分) =.(13分) AC DF 1 2 AB DE BC EF AC DF 1 2 ABC D
35、EF S S 1 4 S S 侧 表 2 DEFABC DEF SS S 1 2 18.(12分)如图,ABC中,BAC=90,AB=AC=4,D是BC边上一点,将点D绕点A逆时针旋转60得到点E,连 接CE. (1)当点E在BC边上时,画出图形并求出BAD的度数; (2)当CDE为等腰三角形时,求BAD的度数; (3)在点D的运动过程中,求CE的最小值. 参考数据:sin 75=,cos 75=,tan 75=2+ 62 4 62 4 3 解析解析 (1)如图,由旋转可知AD=AE,DAE=60, ADE=AED=60. AB=AC,BAC=90, B=C=45, BAD=ADE-B=15.
36、 (2)下面分三类讨论: 当DE=EC时,AE=DE=EC, EDC=ECD,EAC=ECA, 而EDC+EAC=15,ECA+ECD=45, 这种情况不成立. 如图,当DE=DC时,DC=AD, DAC=DCA=45, ADBC, BAD=45. 如图,当CD=CE时, AD=AE,AC垂直平分DE, DAC=DAE=30, BAD=60. 综上所述,当CDE为等腰三角形时,BAD=45或60. (3)如图,将点C绕点A顺时针旋转60得到点F. 1 2 连接AF,BF,DF, 则ADFAEC, DF=CE,AF=AC=AB, 当DFBC时,DF的值最小,即CE最小. 此时,BAF=BAC-FAC=30, ABF=AFB=75, DBF=75-45=30, DF=BF. 1 2 cosABF=, DF=BF=AB cosABF=4=-, CE的最小值为-. 1 2 BF AB 1 2 62 4 62 62 名师指导名师指导 本题考查图形的旋转、等腰三角形的性质、全等三角形的判定和性质、三角函数的应用. (1)根据要求画图,由等腰三角形的性质、三角形外角性质求BAD的度数;(2)分情况讨论确定等腰三角 形存在的情况,求出BAD的度数;(3)将点C绕点A顺时针旋转60度得到点F,连接AF,BF,DF,当DFBC 时,DF的值最小,即CE的值最小,利用三角函数求解.
