1、 专题专题 19 最值问题最值问题 阅读与思考阅读与思考 在实际生活与生产中， 人们总想节省时间或费用， 而取得最好的效果或最高效益， 反映在数学问题上， 就是求某个量的和、差、积、商的最大值和最小值，这类问题被称之为最值问题，在现阶段，解这类问题 的相关知识与基本方法有： 1、 通过枚举选取. 2、 利用完全平方式性质. 3、 运用不等式（组）逼近求解. 4、 借用几何中的不等量性质、定理等. 解答这类问题应当包括两个方面，一方面要说明不可能比某个值更大（或更小） ，另一方面要举例说 明可以达到这个值，前者需要详细说明，后者需要构造一个合适的例子. 例题与求解例题与求解 【例例 1】 若 c
2、 为正整数，且abc，bcd ，dab，则（ab） （bc） （cd） （da） 的最小值是 . （北京市竞赛试题） 解题思路解题思路：条件中关于 C 的信息量最多，应突出 C 的作用，把 a，b，d 及待求式用 c 的代数式表示. 【例【例 2】 已知实数 a，b 满足 22 1ab，则 44 aabb的最小值是（ ） A. 1 8 B.0 C.1 D. 9 8 ( 全国初中数学竞赛试题) 解题思路解题思路：对 44 aabb进行变形，利用完全平方公式的性质进行解题. 【例【例 3】 如果正整数 12345 ,x x x x x满足 12345 xxxxx= 12345 x x x x x，
3、求 5 x的最大值. 解题思路：不妨设 12345 xxxxx，由题中条件可知 23451345124512351234 11111 x x x xx x x xx x x xx x x xx x x x =1.结合题意进行分析. 【例【例 4】 已知, ,x y z都为非负数，满足1xyz，234xyz，记32wxyz，求w的 最大值与最小值. （四川省竞赛试题） 解题思路解题思路：解题的关键是用含一个字母的代数式表示w. 【例【例 5】 某工程车从仓库上水泥电线杆运送到离仓库恰为 1000 米的公路边栽立，要求沿公路的一边 向前每隔 100 米栽立电线杆一根，已知工程车每次之多只能运送电线
4、杆 4 根，要求完成运送 18 根的 任务， 并返回仓库， 若工程车每行驶 1 千米耗油 m 升 （在这里耗油量的多少只考虑与行驶的路程有关， 其他因素不计）.每升汽油 n 元，求完成此项任务最低的耗油费用. （湖北省竞赛试题） 解题思路解题思路：要使耗油费用最低，应当使运送次数尽可能少，最少需运送 5 次，而 5 次又有不同运送方 法，求出每种运送方法的行驶路程，比较得出最低的耗油费用. 【例例 6】 直角三角形的两条直角边长分别为 5 和 12，斜边长为 13，P 是三角形内或边界上的一点，P 到三边的距离分别为 1 d， 2 d， 3 d，求 1 d+ 2 d+ 3 d的最大值和最小值，
5、并求当 1 d+ 2 d+ 3 d取最大值和 最小值时，P 点的位置. （ “创新杯”邀请赛试题） 解题思路解题思路：连接 P 点与三角形各顶点，利用三角形的面积公式来解. 能力训练能力训练 A 级级 1.社 a，b，c 满足 222 9abc，那么代数式 222 ()()()abbcca的最大值是 . （全国初中数学联赛试题） 2.在满足23,0,0 xyxy的条件下，2xy能达到的最大值是 . （ “希望杯”邀请赛试题） 3.已知锐角三角形 ABC 的三个内角 A，B，C 满足 ABC.用表示 A-B，B-C，以及 90-A 中的最小值， 则的最大值是 . （全国初中数学联赛试题） 4.已
6、知有理数 a，b，c 满足 abc，且 a+b+c=0，.那么 c a 的取值范围是 . （数学夏令营竞赛试题） 5.在式子1234xxxx 中，代入不同的 x 值，得到对应的值，在这些对应的值中，最小的 值是（ ）. A.1 B.2 C.3 D.4 6.若 a，b，c，d 是整数，b 是正整数，且满足bcd ，dca ，bac，那么abcd 的最 大值是（ ）. A.-1 B.-5 C.0 D.1 (全国初中数学联赛试题) 7.已知,xya10,zy则代数式 222 xyzxyyzxz的最小值是（ ）. A.75 B.80 C.100 D.105 (江苏省竞赛试题) 8.已知x，y，z均为非
7、负数，且满足xyz=30， 350 xyz，又设542MxyZ，则 M 的最小值与最大值分别为（ ）. A.110，120 B.120，130 C.130，140 D.140，150 9.已知非负实数x，y，z满足 123 234 xyz ，记345wxyz.求w的最大值和最小值 （ “希望杯”邀请赛试题） 10.某童装厂现有甲种布料 38 米，乙钟布料 26 米，现计划用这两种布料生产 L，M 两种型号的童装共 50 套，已知做一套 L 型号的童装需用甲种布料 0.5 米，乙种布料 1 米，可获利 45 元；做一套 M 型号的童装 需用甲种布料 0.9 米，乙种布料 0.2 米，可获利 30 元，试问该厂生产的这批童装，当 L 型号的童装为多少 套是，能使该厂获得利润最大？最大利润为多少？ （江西省无锡市中考试题）
