1、3.4 3.4 相似三角形相似三角形的判定与性质的判定与性质第第1 1课时课时 相似三角形相似三角形的的判定判定知识点知识点平行线截三角形相似的定理平行线截三角形相似的定理11.定理定理：平行于三角形一边的直线与其他两边相交，截得的平行于三角形一边的直线与其他两边相交，截得的三角三角形与形与原三角形相似原三角形相似.深度理解深度理解“与其与其他两边他两边相交相交”是是指与其指与其他两边他两边所所在在直线相交直线相交.数学表达式：如图数学表达式：如图3.4-1，DEBC，ABC ADE.2.作用作用：本定理是相似三角形判定定理的预备定理，它本定理是相似三角形判定定理的预备定理，它通过平行通过平行
2、证三角形证三角形相似，再由相似证对应角相相似，再由相似证对应角相等、对应边成比例等、对应边成比例.特别提醒特别提醒书写书写两个三角形两个三角形相似相似时，要把表示时，要把表示对应对应顶点的顶点的大写字母大写字母写在对应的写在对应的位置位置上上.根据根据定理得到的定理得到的相相似三角形似三角形的三的三个基本个基本图形图形中都中都有有BCDE，图图3.4-1很很像像大写字母大写字母A，故我们，故我们称之为称之为“A”型相似；型相似；图图3.4-1很像很像大写字母大写字母X，故我们，故我们称之为称之为“X”型型相似相似(也也像像阿拉伯数字阿拉伯数字“8”).母母题题 教材教材 P78 例例 2如如图
3、图3.4-2 所示，已知所示，已知在在 ABCD中中，E为为AB延长线延长线上的一点，上的一点，AB3BE，DE与与BC相交相交于点于点F，请找出图中，请找出图中各对各对相似三角形，并求相似三角形，并求出相应的相似比出相应的相似比.解题秘方解题秘方：紧扣紧扣“平行线截三角形相平行线截三角形相似的两种基本图形似的两种基本图形：A型型和和X型型”进行查找进行查找.例11-1.期末期末娄底娄底如图如图，在，在 平行四边形平行四边形 ABCD中中，E 是是 AB 边延长线上边延长线上一点，一点，连接连接 DE，交交AC 于点于点 G，交，交 BC 于于点点F，那么图中，那么图中相似三角形相似三角形(不
4、不含含全等三角形全等三角形)共有共有()A 6 对对 B 5 对对C 4 对对 D 3 对对B例2答案：答案：D解题秘方解题秘方：掌握平行线截三角形相似的定理和掌握平行线截三角形相似的定理和相似三角形相似三角形的的对应边成比例是解题的关键对应边成比例是解题的关键.知识点知识点角的关系判定三角形相似定理角的关系判定三角形相似定理21.相似三角形相似三角形的判定定理的判定定理1：两角分别相等的两个三角形：两角分别相等的两个三角形相似相似.2.数学数学表达式：表达式：如图如图3.4-4 所示，所示，在在ABC和和DEF中中，AD，BE，ABC DEF.特别提醒特别提醒由由两角两角分别相等分别相等判定
5、两个判定两个三角形三角形相似，其关键是相似，其关键是找准找准对应角对应角.一般地一般地，相等，相等的角是对应角的角是对应角如如：公共角、：公共角、对顶角对顶角、同角、同角(等角等角)的余角的余角(补角补角)、同弧所同弧所对的圆周角对的圆周角(以后以后会会学到学到)都是都是相等的角相等的角，解题，解题时要注意时要注意挖掘题目挖掘题目中中的隐含条件的隐含条件.3.常见常见的相似三角形的类型：的相似三角形的类型：(1)“平行线平行线”型型：如图：如图3.4-5，若，若DEBC，则，则ADEABC.(2)“相交线相交线”型型：如图：如图3.4-5，若，若AEDB，则则AEDABC.(3)“子母子母”型
6、型：如图：如图3.4-5，若，若ACDB，则则ACDABC.(4)“K”型：如图型：如图3.4-5，若，若ADBCE90，则则ACBDEC.整体像一个横放的字母整体像一个横放的字母K，所以，所以称称为为“K”型相似型相似.如图如图3.4-6，在，在ABC中中，AD是是角平分线，角平分线，AD的垂的垂直平分线直平分线交交AD于于点点E，交，交BC的的延长线于点延长线于点F，连接，连接AF.求证求证：ABFCAF.例3解题秘方：解题秘方：紧扣紧扣“两角分别相等的两三角形相似两角分别相等的两三角形相似”证明证明.由于由于BFA是是公共角，因此只公共角，因此只需说明需说明B4即即可可.证明：证明：EF
7、垂直垂直平分平分AD，AFDF.FAD3.AD平分平分BAC，1 2.B31，4 FAD 2，B 4.BFAAFC，ABFCAF.3-1.【二模二模广州越秀区广州越秀区】如图，在如图，在平行四边形平行四边形ABCD 中，点中，点 E 为为 BC边上边上的的点点(不不与点与点 B，点点C 重合重合)，连接连接 DE 并并延长延长，交，交 AB 的延长线的延长线于点于点 F.求证：求证：CDE AFD.证明：证明：四边形四边形ABCD是平行四边形，是平行四边形，DCAF，CA.CDEF.CDEAFD.知识点知识点边角关系判定三角形相似定理边角关系判定三角形相似定理31.相似三角形相似三角形的判定定
8、理的判定定理2：两边成比例且夹角相等：两边成比例且夹角相等的的 两两个个三角形相似三角形相似.特别提醒特别提醒运用该运用该定理证明定理证明相似时，一定要相似时，一定要注意注意边角的关边角的关系系，相等，相等的角一定是成的角一定是成比例比例的两组对应边的两组对应边的夹角的夹角.类似于类似于判定三角形判定三角形全等的全等的SAS的的方法方法.如图如图3.4-8，在正方形，在正方形ABCD中中，P是是BC上上的一点的一点，且，且BP3PC，Q是是CD的的中点中点.求证求证：ADQQCP.解题秘方解题秘方：紧扣紧扣“边角关系判定三角边角关系判定三角形相似定理形相似定理”证明即可证明即可.例44-1.期
9、末期末岳阳岳阳如图如图，在，在 ABC 中，中，AB=6，AC=9，点点 D，E 分别分别在在AB，AC 上，上，D 为为 AB 的中点的中点，CE 7.求证：求证：AED ABC.知知4 4讲讲知识点知识点三边关系判定三角形相似定理三边关系判定三角形相似定理41.相似三角形相似三角形的判定定理的判定定理3：三边成比例的两个三角形：三边成比例的两个三角形相似相似.知知4 4讲讲图图3.4-10、图、图3.4-11 中小正方形的边长均为中小正方形的边长均为1，则图，则图3.4-11 中的哪一个中的哪一个三角形三角形(阴影部分阴影部分)与与图图3.4-10 中的中的ABC相似相似？例 5解题秘方：
10、解题秘方：利用网格的特征用勾股定理求三角形利用网格的特征用勾股定理求三角形三边的长三边的长，紧，紧扣扣“三边成比例的两个三边成比例的两个三角形相似三角形相似”判断判断.5-1.如图，网格中的如图，网格中的每个每个小正方形的边长小正方形的边长都是都是1，每个，每个小正方形的小正方形的顶点叫做格点顶点叫做格点 ACB 和和 DCE 的的顶点都在顶点都在格点格点上，上，ED 的延长线的延长线交交AB 于点于点 F求证求证：(1)ACB DCE；(2)EF AB证明：证明：ACBDCE，AEDC.又又EEDC90，EA90.EFA90，即，即EFAB.相似三角形的判定相似三角形的判定相似三角形相似三角形的判定的判定边、角边、角角角角角边角边边角边边边边边边边平行线平行线截三角截三角形相似形相似
